Nombres transcendants
dans Arithmétique
Bonjour,
On savait depuis longtemps que $\pi$, $e$ et le nombre de Champernowne étaient transcendants, mais on ne savait rien de leur somme ou de leur produit. Je suis en train d'écrire un article dans lequel j'expose et prouve que, entre autres, $e{\pi}$, ${\pi}^2$ et $e^2$ sont transcendants. Ce qui m'étonne est que j'ai grillé sur le poteau de grands spécialistes de $\pi$ dont les Chudnovski (l'un d'eux a résolu le dixième problème de Hilbert à 17 ans !) et Simon Plouffe, etc... Ceci pour info.
Ma méthode me fait penser d'ailleurs que le produit de deux nombres transcendants est toujours transcendant, connaissez-vous des contre-exemples ? Merci.
On savait depuis longtemps que $\pi$, $e$ et le nombre de Champernowne étaient transcendants, mais on ne savait rien de leur somme ou de leur produit. Je suis en train d'écrire un article dans lequel j'expose et prouve que, entre autres, $e{\pi}$, ${\pi}^2$ et $e^2$ sont transcendants. Ce qui m'étonne est que j'ai grillé sur le poteau de grands spécialistes de $\pi$ dont les Chudnovski (l'un d'eux a résolu le dixième problème de Hilbert à 17 ans !) et Simon Plouffe, etc... Ceci pour info.
Ma méthode me fait penser d'ailleurs que le produit de deux nombres transcendants est toujours transcendant, connaissez-vous des contre-exemples ? Merci.
Réponses
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$e$ et $\frac1e$.
e.v.Personne n'a raison contre un enfant qui pleure. -
Félicitations.
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À part ça, si ces illustres mathématiciens, n'ont pas démontré que $ {\pi}^2$ et $ e^2$ sont transcendants, c'est peut-être qu'ils n'avaient pas de temps à perdre en trivialités.
e.v.Personne n'a raison contre un enfant qui pleure. -
Si j'en crois wiki :
Le théorème d’Hermite-Lindemann affirme que pour tout nombre algébrique $a$ non nul, le nombre $e^a$ est transcendant.
(La démo date de 1882....) -
Cependant, j'aimerais bien voir la transcendance de $e\pi$. Il y a plus d'une chance sur deux qu'il soit transcendant, mais mes connaissances ne vont pas plus loin.
e.v.Personne n'a raison contre un enfant qui pleure. -
Il serait intéressant également d'avoir une preuve de la transcendance de la constante d'Euler.
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Henri57:
Ta démonstration n'utilise que des additions et des multiplications ou tu t'es autorisé d'utiliser des fractions?
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FDP : uniquement des multiplications, je n'ai pour le moment que des résultats partiels sur les sommes !
ev : je ne peux rien dire de $\frac{1}{e}$, ma méthode ne prévoit rien, elle est limitée aux sommes et produits (c'est déjà bien !) -
Henri,
Que sais-tu de l'ensemble des nombres algébriques ?
e.v.Personne n'a raison contre un enfant qui pleure. -
Si griller de bons mathématiciens c'est raconter des conneries, tu les as bien grillés!
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Non, ça ne marche que pour les produits suivants : ${\pi}e$, ${\pi}^2$, $e^2$, et quelques autres. Je travaille sur $e+\pi$, mais ce n'est pas donné, je n'ai encore que des résultats partiels !
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distraction pour arrêter de tirer sur les ambulances:
prouver (en n'utilisant que les définitions de "rationnel", d"irrationnel" et de "puissance" et les propriétés élémentaires des puissances) qu'il existe a et b irrationnels tels que $a^b$ soit rationnel . -
Si $\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$ est rationnel, on prend $a=b=\sqrt{2}$. Si $\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$ est irrationnel, on prend $a=\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$ et $b=\sqrt{2}$. Même pas besoin de connaître le théorème de Gelfond-Schneider:)
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C'était la même!
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@GreginGre,
fieffé hypocrite, tu n'attends, tel nous tous, strictement rien de ce monsieur qui conjugue la prétention et la nullité (je l'ai déjà dit, elles vont ensemble). -
A rajouter dans la liste : les sujets '' bidons '' sur notre forum
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Bonjour,
Sylvain, il serait bon de démontrer l'irrationalité de la constante d'Euler .
bien cordialement
kolotoko -
Pourquoi répéter le message de Mph d'hier ?
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Kolotoko a écrit:il serait bon de démontrer l'irrationalité de la constante d'Euler
C'est ce que j'ai déjà dit hier...avec une pointe d'ironie concernant les éventuelles capacités de Henri57 sur ce thème.
Plus généralement, ce fil appartient aux nombreux sujets ouverts sur ce forum par des prétendants de tout poil affirmant avoir démontré en deux coups de cuillère à pot des résultats d'une difficulté sans nom.
Cela a été évoqué hier par duroc dans un autre fil.
Il y a quelques années, j'étais déjà venu sur cet espace de discussion et il me semble (mais ma mémoire peut me faire défaut) qu'il n'y avait pas autant de sujets bidons de la sorte... -
Grillé par Gérard ! (tu)
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Encore un fil à fermer au plus vite ?
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Il y en avait, mais noyés au milieu de nombreuses questions de lycéens (parfois collégiens) et étudiants (classes prépas, L1, L2, ..). Le fait que lycéens et étudiants débutants aient en partie déserté ce forum a rendus plus visibles ces messages "spéciaux" (spaciaux ?).Mph a écrit:... il me semble (mais ma mémoire peut me faire défaut) qu'il n'y avait pas autant de sujets bidons de la sorte..
Cordialement. -
à propos des sujets bidons, ce sont comme les cailloux d'une rivière, s'il y a beaucoup de flot, ça ne gêne pas la navigation mais si le flot baisse, on ne voit plus qu'eux.
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Bonjour,
à propos des résultats d'une difficulté sans nom :
un amateur éclairé a même prétendu avoir démontré un résultat , mais la démonstration ne tenait pas dans la marge ; ne citons pas de nom.
Ceci dit, pour certains problèmes la marge doit être encore plus large que large.
bien cordialement
kolotoko -
@kolotoko: tu ne vas quand même pas oser comparer Fermat à Henri57 ?
Fermat a effectivement crû démontrer son fameux théorème, mais il a fait une erreur digne du grand mathématicien qu'il était. Il a crû que $\Z[\zeta_p]$ était toujours factoriel (bien sûr, il ne l'a pas formulé comme ça à l'époque).
Du temps de Fermat, il n'y avait même pas la théorie des anneaux (elle a été inventée justement pour résoudre le problème de Fermat). Monsieur Pierre de Fermat a donc une excuse.
Henri57, lui , n'a même pas pris la peine de réfléchir sur les notions de nombre transcendant et algébrique (sinon, il aurait vu que $\pi^2,e^2$ et $1/e$ étaient trivialement transcendants). -
Citation:
sinon, il aurait vu que $ \pi^2,e^2$ et $ 1/e$ étaient trivialement transcendants).
Trivial en supposant quoi? -
Ce qui donne de l etendue physique au fil, c est aussi les interminables critiques repetees et debats sur le sujet du fil de bs, ici presents. H57 a poste 3 posts "rigolos" (franchement rien ne prouve en plus que ce n est pas cpge boutonneux et puceau qui trolle avec ses potes, ca y ressemble grandement)
Un nombre considerable de fils du forum meurent lentement apres peu de posts. Jai un peu du mal a comprendre SURTOUT EN MATHS***
comment on peut tenir des propos aussi serieux et acariatres contre ces non matheux qui finalement sont amusants.
*** de toute facon on doit prouver tout ce qu on dit dans cette matiere, on peut donc in some sense se feliciter de.la presence de.ces.gremlins qui sont des incitations AU SCEPTICISME plus que bienvenues a.notre epoque etrange de "mort lente des maths" dans sa transmission institutionnelleAide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Pour ajouter à ce que dit Greg, notons que l'erreur de Fermat a été reproduite par Lamé lors de sa conférence à {\it l'Académie des Sciences} le 1er mars 1847 lors de laquelle il a annoncé avoir triomphé du GTF. C'est Liouville, cher à Norbert Verdier, qui a découvert l'erreur et cette erreur a motivé Kummer : celui-ci a ainsi infirmé l'assertion "pour tout $n \geqslant 2$ entier, $\mathbb{Z} [\zeta_n]$ est factoriel" et créé les {\it nombres idéaux}, appelés aujourd'hui idéaux, pour restaurer la décomposition unique. C'était le 28 avril 1847, soit $200$ ans après Fermat...et c'est Cauchy, un peu plus tard, qui trouva le premier contre-exemple ($n=23$).
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Je suis certes inculte, mais je ne savais qu on connaissait "l erreur de Fermat" a ce niveau de details (j avais lu qu on n avait aucune idee)
au point ou on est rendu dans le fil et si ce n est pas trop dur, greg ou toi pouvez vous nous ecrire la preuve de hypfaussecidessusevoquee => GTF?Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
@Fin de partie: en utilisant la transcendance de $e$ et $\pi$ évidemment.
@mph: je croyais que c'était Dedekind qui avait inventé la notion de nombre idéal ?
@cc: Disons que l'idée est de copier la méthode de la descente infinie utilisée dans le cas $p=3$ et en travaillant dans $\Z[\zeta_p]$.
Je n'ai pas regardé en détails, mais on doit pouvoir suivre plus ou moins la démo du cas $p=3$ telle qu'elle est décrite ici
Ce papier te aussi donne la démo du second cas du théorème de Fermat (due à Kummer) pour les premiers $p$ réguliers (i.e. tels que l'ordre du groupe des classes d'idéaux de $\Z[\zeta_p]$ n'est pas divisible par $p$. En particulier, c'est le cas si l'anneau est principal). -
Soit $p>2$ un nombre premier.
Soit $\xi_p$ une racine primitive de $x^p-1$
une "preuve" qui utiliserait que $\Z[\xi_p]$ est factoriel (ce qui est faux) commencerait comme ça:
$x^p-1=(x-1)(x-{\xi_p})(x-{\xi_p}^2)...(x-{\xi_p}^{p-1})$
Donc:
$x^p-y^p=y^p\Big (\big (\dfrac{x}{y}\big )^p-1\Big)=y^p(\dfrac{x}{y}-1)(\dfrac{x}{y}-\xi_p)(\dfrac{x}{y}-{\xi_p}^2)...(\dfrac{x}{y}-{\xi_p}^{p-1})=(x-y)(x-y{\xi_p})(x-y{\xi_p}^2)...(x-y{\xi_p}^{p-1})$ -
GreginGre:
Je suis peut être mal réveillé , en quoi la connaissance de la transcendance de $e$ nous aide à connaître celle de $e^2$? -
Bonjour.
Si P(x²)= 0 où P a des coefficients rationnels ....
Cordialement. -
C'est dommage, à un jour près, ce sujet aurait pris une tournure plus amusante.
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Gerard0:
Merci , il faut que j'aille me recoucher -
Bof !
Trop pris par des discussions avec CC, tu as oublié de chercher comment prouver.
Cordialement. -
Probablement d'un naturel jaloux, j'éprouve une réelle souffrance à constater que personne n'a répondu à mon fil:
Système diophantien
Proposition:
Les seules solutions du système:
$x^n+y^p=z^q$ ET $0<x \leq y \leq z$ ET $2<n \leq p \leq q$ sont les éléments de $\{(x,y,z,n,p,q)=(2,2,2,u,u,u+1)$ où $u>2\}$, tandis que l'actuel fil occupe un monde fou.
Aurais-je dû l'intituler: "géniale extension de GTF" pour susciter de l'intérêt quitte à me faire moquer pour ma prétention, a fortiori pour ma bêtise si ma proposition est débile?
On rabat comme on peut!
Cordialement
Paul -
C'est sans doute dû à la formulation. Tu balances une proposition, sans commentaires, sans question ( et d'autre part sans formule de politesse !!)
Donc pour le lecteur, cela peut être compris de diverses manières:
- c'est donné à titre informatif,
- c'est un énoncé dont tu posteras la solution plus tard
- c'est un troll de plus
Dans les 3 cas, cela ne donne pas lieu à commentaires. Si tu voulais que l'on t'aide à démontrer ceci ou si tu voulais un avis, il aurait fallu le dire explicitement.
Je pense que le malentendu vient du fait que tu as utilisé "proposition" alors que tu pensais "conjecture". Mais de toute façon, le message sur la forme était maladroit. -
On peut toutefois comprendre le (re)sentiment de Depasse : cela fait plusieurs jours qu'il a posté un exercice que presque personne ne lit, et là il voit un zozo arriver et dire "c'est bon ! je te me vous montre très rapidement que $e \pi$ et $e + \pi$ (ou même $\gamma$, soyons fous) sont transcendants" et le fil recueille 3 pages de réponses directement.
Il y a de quoi rager... -
Elémentaires que $e^{-1}$, $e^{\pi}$, ${\pi}^2$ : non, je parle sérieusement ! Je suis parti un court moment et je suis revenu pour poster ma démonstration, seulement qu'est-ce je trouve ? Les mêmes insultes qu'avant, des insulttes et encore des insultes ! Considérez que c'est un poisson d'avril, alors ! Je vous offre une démo que $e{\pi}$ est transcendant la veille du 1 er avril et personne ne trouve à redire ! Pourtant, le destin m'a offert une bonne blague avec cette preuve ! Que puis-je y faire ? Si les éternels sceptiques dégagent de ce fil, je la poste la démo avec une partie de rigolade mathématique à la clé ! Alors, OK ?
-
Ta démonstration m'intéresse toujours, mais je constate que tu ne réponds toujours pas à ma question, ce qui est mauvais signe.
e.v.Personne n'a raison contre un enfant qui pleure. -
@ GreginGre,
je te remercie pour ta réponse et ton côté direct!
je manque d'expérience sur ce site et n'ai pas envisagé, avant de poster, toutes les critiques, fort à propos, que tu me renvoies.
Quelques (mauvaises?) justifications: A vous de juger!
- absence de formule de politesse: j'allais poster mon message sur le fil d'un troll (Monsieur Leblanc qui avait agacé bien du monde) dans l'espoir d'y mettre un terme et il aurait été très hypocrite à ce moment d'inclure une quelconque formule de politesse! Coïncidence: le site venait juste d'être fermé par Monsieur l'administrateur! J'ai ouvert une nouvelle discussion directement, en ne modifiant pas mon message.
-si elle est correcte, ma démonstration est élémentaire et tout sauf géniale! J'avais même imaginé l'appeler "preuve du théorème de Fermat-Wiles-MonsieurLeBlanc par mademoiselle la blanche".
-l'idée m'est venue, quand je rédigeais ma preuve, qu'elle était sans autre intérêt que de faire clore le fil de MonsieurLeBlanc. Mais, en même temps, je me rendais compte que j'étais infoutu de trouver deux puissances dont la somme soit une puissance (avec exposants supérieurs à 3 et bases supérieures à 2 et pas toutes 2). Je suis intimement persuadé qu'il existe pourtant une infinité de tels exemples (dans la série:"sinon ça se saurait!") et j'avais l'intention de vous en quémander quelques uns, manière d'être plus cultivé! Pour que cette quête ne tombe pas comme un cheveu sur la soupe, j'ai cru bon de vous faire ma proposition, mais le fait est que c'est un gros flop!
Merci encore pour tes bons conseils
Cordialement
Paul -
J'ai effacé ce message, voir plus loin !
-
Si l'équation ${\pi}^2-n{\pi}-{\pi}({\pi}-n)=0$ était vérifiée, $\pi$ serait algébrique et il ne l'est pas... Cette ligne aurait dû être effacée, j'ai fait un copier-coller d'un texte plus long et n'ai pas eu le temps d'effacer cette ligne !
Cette discussion a été fermée.
Bonjour!
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