équation avec indicateur d'Euler

@Samsam: donc pour toi, $\varphi(k+1)=k$ pour tout $k$ ?

Regardes ce que ça donne pour $k=3$, et dis-moi si tu y crois toujours...


L'équation $\varphi(n)=k$ n'a pas toujours de solutions.

Par exemple, on voit que si $k$ est impair $>1$ l'équation n'a pas de solution.

Le problème posé tel quel est impossible à répondre.

Par exemple, la conjecture de Carmichael stipule que, pour tout $n$, il est possible de trouver $m \neq n$ tel que $\varphi(m)= \varphi(n)$. A ma connaissance, cette conjecture est toujours ouverte.

Il y a toutefois des résultats quantitatifs. Par exemple, pour tout $k \in \N^*$, notons $b_k$ le nombre de solutions de l'équation $\varphi(n)=k$. Alors on sait (Pomerance, 1980) qu'il existe $\delta \in \left ] 0 \, ; \, 0,55 \, 655 \right [$ tel que l'inégalité $b_k > k^\delta$ soit vraie pour une infinité de valeurs de $k$.

Cette conjecture peut aussi s'exprimer ainsi : pour tout entier $k \geqslant 1$, $b_k \neq 1$.

Cette conjecture s'inscrit donc dans l'étude de la {\it valence} de la fonction $\varphi$, i.e. au nombre de fois qu'une valeur $\varphi(n)$ est prise par la fonction. L'entier $b_k$ défini ci-dessus est donc l'outil qui permet d'étudier cette valence. On sait que :

(i) Il existe une infinité d'entiers pairs $k$ tels que $b_k = 0$.

(ii) Il existe une infinité d'entiers $k$ tels que $b_k = 2$.

(iii) Pour tout $j \geqslant 1$, il existe un entier $k_j$ tel qu'il existe au moins $j$ entiers $n$ tels que $\varphi(n) = k_j$.

(iv) La conjecture de Carmichael a été vérifiée pour tout entier $n$ tel que $\varphi(n) < 10^{10000}$.

(v) Enfin, Pomerance, en 1974, a montré le résultat suivant : soit $n$ entier tel que, si $p$ est premier vérifiant l'implication $p-1 \mid \varphi(n) \Longrightarrow p^2 \mid n$, alors $b_{\varphi(n)} = 1$. Ainsi, Pomerance a donné un critère qui infirmerait la conjecture de Carmichael. Mais l'existence d'un tel entier $n$ vérifiant l'hypothèse ci-dessus est considérée comme hautement improbable.

{\bf Référence}. \textsc{P. Ribenboim}, {\it Nombres Premiers : Mystères et Records}, PUF, 1994.

Discret a écrit:

(i) Il existe une infinité d'entiers pairs $ k$ tels que $ b_k = 0$.

Ne serait-ce pas ... d'entiers impairs $k$ tels que ...
Alain

Bonjour,

certains ouvrages sont écrits en français :

Introduction à la théorie des nombres . Jean-Marie De Koninck et Armel Mercier (Modulo)

Escapades arithmétiques . Frédéric Laroche (Ellipses)

par exemple

bien cordialement

kolotoko

AD a écrit:

dans ce cas n'aurais-tu pas dû mettre un item

Je l'ai, sans doute à tort, considéré comme connu.

C'est justement le fait que l'on puisse trouver une infinité d'entiers pairs $k$ tels que $b_k=0$ qui fait l'intérêt de la chose.

Bonjour,

Un ancien fil qui abordait l'équation $\varphi(x) =n$.

Amitiés.