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équation avec indicateur d'Euler

Envoyé par mathématiques_ 
équation avec indicateur d'Euler
il y a six années
Bonsoir ,

1) soit $k\in\mathbb{N}$

savez-vous comment résoudre l'équation $\varphi(n)=1$ d'inconnue $n$ où comme toujours, $\varphi$ désigne l'indicateur d'Euler.

2) Si oui, peut-on généraliser à $\varphi(n)=k$ pour un entier $k$ quelconque ?

Merci d'avance
Cordialement
Re: équation avec indicateur d'Euler
il y a six années
$\varphi(n)=1$ a $n=1$ et $n=2$ pour solutions.

Pour $\varphi(n)=k$, si $k+1$ est un nombre entier premier, il y a au moins une solution $n=k+1$.

Je ne sais pas en dire beaucoup plus...



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six années et a été effectuée par samsam.
Re: équation avec indicateur d'Euler
il y a six années
avatar
@Samsam: donc pour toi, $\varphi(k+1)=k$ pour tout $k$ ?

Regardes ce que ça donne pour $k=3$, et dis-moi si tu y crois toujours...


L'équation $\varphi(n)=k$ n'a pas toujours de solutions.

Par exemple, on voit que si $k$ est impair $>1$ l'équation n'a pas de solution.
Re: équation avec indicateur d'Euler
il y a six années
au lieu de "entier", je voulais écrire "premier", je vais corriger ça...
discret
Re: équation avec indicateur d'Euler
il y a six années
Le problème posé tel quel est impossible à répondre.

Par exemple, la conjecture de Carmichael stipule que, pour tout $n$, il est possible de trouver $m \neq n$ tel que $\varphi(m)= \varphi(n)$. A ma connaissance, cette conjecture est toujours ouverte.

Il y a toutefois des résultats quantitatifs. Par exemple, pour tout $k \in \N^*$, notons $b_k$ le nombre de solutions de l'équation $\varphi(n)=k$. Alors on sait (Pomerance, 1980) qu'il existe $\delta \in \left ] 0 \, ; \, 0,55 \, 655 \right [$ tel que l'inégalité $b_k > k^\delta$ soit vraie pour une infinité de valeurs de $k$.
Re: équation avec indicateur d'Euler
il y a six années
Bonjour à tous,

pourrais-je savoir quelle est l'importance de la conjecture de Carmichael ?

Que pourrait-elle apporter ?

Cordialement
discret
Re: équation avec indicateur d'Euler
il y a six années
Cette conjecture peut aussi s'exprimer ainsi : pour tout entier $k \geqslant 1$, $b_k \neq 1$.

Cette conjecture s'inscrit donc dans l'étude de la {\it valence} de la fonction $\varphi$, i.e. au nombre de fois qu'une valeur $\varphi(n)$ est prise par la fonction. L'entier $b_k$ défini ci-dessus est donc l'outil qui permet d'étudier cette valence. On sait que :

(i) Il existe une infinité d'entiers pairs $k$ tels que $b_k = 0$.

(ii) Il existe une infinité d'entiers $k$ tels que $b_k = 2$.

(iii) Pour tout $j \geqslant 1$, il existe un entier $k_j$ tel qu'il existe au moins $j$ entiers $n$ tels que $\varphi(n) = k_j$.

(iv) La conjecture de Carmichael a été vérifiée pour tout entier $n$ tel que $\varphi(n) < 10^{10000}$.

(v) Enfin, Pomerance, en 1974, a montré le résultat suivant : soit $n$ entier tel que, si $p$ est premier vérifiant l'implication $p-1 \mid \varphi(n) \Longrightarrow p^2 \mid n$, alors $b_{\varphi(n)} = 1$. Ainsi, Pomerance a donné un critère qui infirmerait la conjecture de Carmichael. Mais l'existence d'un tel entier $n$ vérifiant l'hypothèse ci-dessus est considérée comme hautement improbable.

{\bf Référence}. \textsc{P. Ribenboim}, {\it Nombres Premiers : Mystères et Records}, PUF, 1994.
Re: équation avec indicateur d'Euler
il y a six années
C'est impressionnant. Vraiment joli.
AD
Re: équation avec indicateur d'Euler
il y a six années
avatar
Citation
Discret
(i) Il existe une infinité d'entiers pairs $ k$ tels que $ b_k = 0$.

Ne serait-ce pas ... d'entiers impairs $k$ tels que ...
Alain
discret
Re: équation avec indicateur d'Euler
il y a six années
Bonjour Alain,

Non, c'est bien "pairs" : en 1956, Schinzel a montré que, pour tout $j \in \N^*$, les nombres $k_j :=2 \times 7^j$ ne sont pas des valeurs prises par le totient d'Euler (ce qui est moins trivial que pour "impairs", bien sûr).

@Mathematiques_ : la fonction $\varphi$ a fait l'objet, et continue de faire l'objet, de nombreuses recherches. Outre la référence indiquée qui ravira tous ceux qui ne sont pas nécessairement spécialites en arithmétique (Ribenboim a la particularité d'être très clair dans son texte), je te suggère de consulter l'ouvrage suivant, si tu aimes cette fonction :

\textsc{J. Sandor \& B. Crstici}, {\it Handbook of Number Theory} 2, Kluwer Acad. Publ., 2004, {\bf Chapitre 3}.
kolotoko
Re: équation avec indicateur d'Euler
il y a six années
Bonjour,

certains ouvrages sont écrits en français :

Introduction à la théorie des nombres . Jean-Marie De Koninck et Armel Mercier (Modulo)

Escapades arithmétiques . Frédéric Laroche (Ellipses)

par exemple

bien cordialement

kolotoko
AD
Re: équation avec indicateur d'Euler
il y a six années
avatar
Bonjour Discret
Ah bien sûr, dans ce cas n'aurais-tu pas dû mettre un item :

(o) Pour tout nombre impair k différent de 1, bk=0

Alain
discret
Re: équation avec indicateur d'Euler
il y a six années
Citation
AD
dans ce cas n'aurais-tu pas dû mettre un item

Je l'ai, sans doute à tort, considéré comme connu.

C'est justement le fait que l'on puisse trouver une infinité d'entiers pairs $k$ tels que $b_k=0$ qui fait l'intérêt de la chose.
discret
Re: équation avec indicateur d'Euler
il y a six années
@Kolokoto : je possède ces deux ouvrages que tu cites, mais ils n'abordent qu'une faible partie des innombrables propriétés de $\varphi$.

Tu aurais pu aussi ajouter la traduction française du livre de Hardy \& Wright, traduction de François Sauvageot avec une préface/introduction par l'impressionnante Catherine Goldstein, mais l'intérêt du bouquin que j'ai mis en référence est qu'il répertorie, avec quelques démonstrations et surtout des renvois à la littérature adéquate, les dernières avancées (du moins, à la date de parution du livre) de la recherche sur $\varphi$ et tous les totients analogues (ainsi que leurs analogues unitaires, bi-unitaires, etc). Bref, une vraie encyclopédie, certes écrite en anglais.

Je tiens quand même à préciser que je ne possède aucune action dans ce livre. drinking smiley
bs
Re: équation avec indicateur d'Euler
il y a six années
avatar
Bonjour,

Un ancien fil qui abordait l'équation $\varphi(x) =n$.

Amitiés.
discret
Re: équation avec indicateur d'Euler
il y a six années
Merci bs.

Il s'agissait donc surtout, si j'ai bien lu, d'un traitement empirique de cette question qui complète donc les informations théoriques que j'ai pu modestement apporter ici.

Y a-t-il eu d'autres informations sur $\varphi$ apportées ici dans le passé (histoire d'éviter les doublons) ? Merci d'avance.
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