somme et différence de deux carrés

nanou08 · May 2013

Bonjour,

Je cherche à déterminer les couples $(x , y)$ d'entiers (tels que $1 \leq x < y$) dont la somme des carrés est un carré et la différence des carrés également.
Autrement dit, je cherche à résoudre dans $\mathbb{N}^* \times \mathbb{N}^*$ le système suivant :
$$ \left\{ \begin{array}{c} x^2 + y^2 = A^2 \\ y^2 - x^2 = B^2 \end{array} \right. $$
où $A$ et $B$ sont des entiers.
Géométriquement, dans un RON, cela revient à rechercher l'intersection du cercle de centre $O$ et de rayon $A$ avec l'hyperbole d'équation $y^2 -x^2 = B^2$. Comme nécessairement $B < A$, je sens que géométriquement, on a bien un point (enfin 4 points avec les signes -) d'intersection mais rien ne garantit que ce point soit à coordonnées entières. Je me dis qu'un agrandissant le cercle et/ou l'hyperbole, il y a moyen de faire tomber ce point sur des coordonnées entières mais je ne sais pas comment y arriver.
Je pressens donc l'existence d'une solution géométriquement mais ni géométriquement ni arithmétiquement je n'arrive à la trouver (ou à trouver la famille de solutions).

Qu'est-ce que tout cela vous évoque ?

GreginGre · May 2013

Si tu fais la somme et que tu multiplies par $2$, tu obtiens $(2y)^2=2A^2+2B^2= (A+B)^2+(A-B)^2$.

Ainsi, $(A+B,A-B,2y)$ est un triplet pythagoricien, donc d'une forme bien connue...
Tu dois pouvoir t'en sortir avec ça pour trouver $y$, en fonction de $A$, et $B$, non ?

Après, pour $x$, j'avoue que que je ne sais pas trop. SI on arrive à trouver $y$ faut remplacer, et voir ce que ça donne...

Enfin bon, c'est juste une idée comme ça, c'est pas sûr que ça marche....

Raymond Cordier · May 2013

Il n'y a pas de solution non triviale. Voir : Waclaw Sierpinski, Elementary Theory of Numbers, Warszawa, 1964, chapter II, § 6, p. 52 (ouvrage réédité par North Holland en 1988). Sierpinski dit que c'est une découverte de Fermat, mais sans donner de référence précise.
Bonne soirée.
RC

jacquot · May 2013

Bonjour,

Tous les triplets pythagoriciens sont de la forme $ 2pq \ ;\ p^2-q^2\ ;\ p^2+q^2$
Quitte à diviser par le PGCD, on pourra se ramener à $x\ ;\ y\ ;\ A$ premiers entre eux .

Maintenant la deuxième ligne donne $p^4+q^4-6p^2q^2=\pm B^2$
Est-ce que ça restreint la recherche?

As-tu des exemples de solutions pour ton système?
[Edit :je n'avais pas vu la réponse de Raymond]

Bonne continuation.
Amicalement. jacquot

Raymond Cordier · May 2013

Voir aussi : L. J. Mordell, Diophantine equations, Academic Press, 1969, p. 17. L'équation : $y^4-x^4=z^2$ n'a de solutions qu'avec $xyz=0$. Cela se démontre par une méthode de descente, inventée par Fermat.

Raymond Cordier · May 2013

Ce problème est lié à un autre, c'est le problème des "nombre congruents" (numeri congrui), attention cela n'a aucun rapport avec les congruences, "congrui" signifie en quelque sorte "convenables", qui conviennent au problème posé. Ce problème vient de loin, d'un défi mathématique entre Léonard de Pise (Leonardo Bigollo, Fibonacci) et Jean de Palerme, à la cour de Frédéric II de Hohenstaufen, en 1200 et quelques. On a raconté ça dans : Mille ans de chasse aux nombres congruents, Pour la Science, n° 117, juillet 1987.

Ces nombres congruents sont les nombres entiers qui sont à la fois somme et différence de deux carrés rationnels. Ce sont aussi les nombres entiers qui sont l'aire d'un triangle rectangle à côtés rationnels.

Le problème posé ici revient à chercher si le nombre 1 est congruent. Fermat a résolu ce problème par la négative dans ses "Observations sur Diophante", suite à sa lecture du Diophante traduit par Bachet, dans la marge duquel il consigna se célèbre conjecture. L'aire d'un triangle pythagoricien ne peut être un carré. Fermat a même expliqué sa méthode, pour une fois, mais je n'ai plus la référence exacte dans ses oeuvres. On devrait pouvoir la retrouver. Quelqu'un sait-il si les oeuvres de Fermat sont en ligne, ou bien devrai-je entreprendre le long voyage vers Jussieu ?

Pierre Colmez fait remarquer que le problème des nombres congruents est "probablement le plus vieux problème non résolu à ce jour" : http://www.math.jussieu.fr/~colmez/congruents.pdf

Autre référence : Uspensky, Heaslet, Elementary Number Theory, McGraw-Hill, 1939, chapter XII, § 5, p. 402.

Bonne soirée.

RC

Sylvain · May 2013

La question de l'existence des nombres parfaits impairs date aussi de pas mal de temps...

l.g · May 2013

il me semble qu'avec la formule des triplets Pythagoriciens et du théorème de Pythagore on devrait s'en sortir facilement :

Tous les triplets pythagoriciens sont de la forme $ 2pq \ ;\ p^2-q^2\ ;\ p^2+q^2$

si : $x²+y²=A²$ il s'agit d'un triplet pythagoricien dont $x;y;A$ sont les côtés d'un triangle rectangle paramétré par deux entiers >0 premiers entreux de parité différente: $p,q$
où $A$ est l'hypoténuse donc il existe :
p₁ et q₁ tel que
p₁² - q₁² = $x$
p₁² + q₁² = $A$

2p₁q₁ = $y$

si : $y²-x²=B²$ il s'agit aussi d'un triplet pythagoricien dont $x;y;B$ sont les côtés d'un triangle rectangle...? où $y$ est l'hypothénuse...? car comme x et y sont toujours paramétré par p et q donc il existe :
p₂ et q₂ tel que
p₂² - q₂² = $x$
p₂² + q₂² = $B$

2p₂q₂ = $y$

soit: p₁ = p₂ = p₃
et q₁ = q₂ = q₃

c'est à dire un couple d'entiers p₃ et q₃ qui ont paramétré deux triangles rectangles primitifs ....? ie; deux triplets Pythagoriciens...où le côté $y^$ du triangle = 2pq pourait être plus grand que l'hypoténuse ou encore que 2pq = p² + q²

car dans Pythagore l'hypothénuse est le côté le plus grand ce qui donne:

(p² + q²)² - (2pq)² = (p² - q²)² ou (p² + q²)² - (p² - q²)² = (2pq)² ; c'est tout.

ou alors on change de paramètre...! ie : si le couple $x,y$ est un couple de pramètres et qu'ils donnent un carré par addition : $A²$ le couple de paramètres est choisis dans un triplet pythagoriciens paramétré par p et q ,

si $x,y$ donne un carré par soustraction $B²$ le couple de paramètres est aussi choisis dans un triplet pythagoriciens paramétré par p' et q' , de valeur différente de p et q.! et où $y$ est l'hypothenuse donc p'² + q'² et non 2pq

ou alors on peut supposer que Fermat avait tout faux , Pythagore et sa formule aussi, ("qui donne tous les triplets primitifs....!")

dans un triplet Pythagoricien il ne peut y avoir qu'un et un seul carré.