Un développement asymptotique

Avant qu'il ne s'en aille, duroc avait indiqué un moyen relativement simple fondé sur le théorème taubérien d'Ikehara-Wiener. As-tu essayé ?

Voir le livre :
titre : Multiplicative Number theory I
Auteurs : MONTGOMERY et VAUGHAN
page 42, exercice 14

@mathématiques :
Et l'indication de zéphyr ?
De plus, ce n'est sûrement pas pressant. Prends donc le temps de chercher avant de venir demander de l'aide.
On a besoin d'aide quand on a cherché longtemps (avec une feuille et un crayon, des livres ouverts, des pages d'articles imprimés) et qu'on a pas avancé.
Vu le nombre de fils que tu crées sur des sujets très divers, je doute que tu aies passé beaucoup de temps à chercher ce problème-ci !

Petit up,

Le livre que j'indique se trouve dans toutes les bonnes bibliothèques de Mahtématiques.
Pour faire le calcul demandé, il suffit d'écrire $\phi(n)^3=n^3*(\phi(n)/n)^3$.
Je rappelle que $\phi(n)$ désigne le nombre d'entiers inférieurs à $n$ et premiers avec $n$.
L'exercice auquel je fais référence dit que si $k$ est un réel, il existe une constante $c(k)$ telle que : $$\sum_{n<x}\Big(\dfrac {\phi(n)} n\Big)^k=c(k)x+o(x^{\epsilon})$$.

Un $O(\log \log x)$ tu veux dans doute dire, non ?

Si c'est ça, j'avoue être intéressé par la démonstration, si tu peux nous la taper, merci !

@Mathematiques_

Je le fait une seule fois : posons $f(n) = (\varphi(n)/n)^3$, fonction clairement multiplicative, et soit $F$ sa série de Dirichlet. On note que, pour tout premier $p$ et entier $\alpha \geqslant 1$, on a $f(p^\alpha) = (1 - 1/p)^3$, donc, pour $\textrm{Re}\,s >1$, on en déduit
$$F(s) = \prod_p \left ( 1 + \left ( 1 - \frac{1}{p} \right)^3 \sum_{\alpha=1}^\infty \frac{1}{p^{\alpha \, s}} \right) = \prod_p \left ( 1 + \left ( 1 - \frac{1}{p} \right)^3 \frac{1}{p^s-1} \right ) = \zeta(s) G(s)$$
avec
$$G(s) = \prod_p \left ( 1 - \frac{3p^2-3p+1}{p^{s+3}} \right)$$
de sorte que $G(s)$ est absolument convergente dans le demi-plan $\textrm{Re}\,s > 0$. D'après le théorème d'Ikehara-Wiener indiqué en son temps par duroc, on obtient pour $x \rightarrow \infty$
$$\sum_{n \leqslant x} \left ( \frac{\varphi(n)}{n} \right)^3 = x G(1) + o(x).$$

Argg je craignais que tu n'aies pas eu le temps de toutes les lire.

J'aurais beaucoup aimé qu'enonce puisse lire mes interventions, elles lui étaient destinées et elles permettront je pense de dissiper tout malentendu

Merci d'avance si tu peux faire quelque chose JLT

PS : si tu peux le faire, essaye de les garder dans l'ordre, car quand tu as essayé de déplacer les messages dans un autre fil, ils étaient tous mélangés (j'ai eu le temps de voir le fil avant que les messages ne soient cachés)

Merci, JLT, j'ai pu suivre et répondre à Skyffer3.

Quant aux erreurs de manip, c'est le métier qui entre...(tu)

Bonjour Zephyr,

Un terme d'erreur pareil, cela ne me semble pas possible (c'est pour ça que j'avais tiqué l'autre fois) sauf pour $k=1$ : en effet, en utilisant une version améliorée de la méthode de Walfisz, Le chercheur suisse Pétermann obtient en 1998 la meilleure égalité asymptotique du moment :
$$\sum_{n \leqslant x} \left( \frac{\varphi(n)}{n} \right)^k = c_k x + \sum_{m=0}^k a_m (\log x)^{k-m} + O_k \left ( (\log x)^{2k/3} (\log \log x)^{4k/3} \right)$$
où $a_m,c_k >0$ sont des constantes, $c_k$ étant égale à $G_k(1)$ où $G_k(s)$ est la fraction $F_k(s) / \zeta(s)$ comme vu précédemment.

{\bf Réf}. \textsc{Y.-F. S. Pétermann}, {\it On an estimate of Walfisz and Saltykov for an error term related to the Euler function}, J. Théorie Nombres Bordeaux {\bf 10}(1998), 203--236.

Zephir a écrit:

je maintiens mon $O(\log x)$ pour le terme d'erreur

Pas possible : tu serais meilleur que Chowla et Walfisz réunis !! Ou alors, publie vite ce résultat, car il est nouveau.

Cela dit, il est assez incompréhensible que ton erreur ne dépende pas aussi de l'exposant $k$, non ?

Zephir a écrit:

Es-tu d'accord que le produit pour $p<x$ des $1+{\rm O}\left(\dfrac 1 p\right)$ est un ${\rm O}(\log(x))$ ?

Ben, déjà là, il risque d'y avoir un problème : si la constante impliquée dans ton $O(1/p)$ dépend de $k$, alors c'est faux. Par exemple, d'après Mertens, on a
$$\prod_{k < p \leqslant x} \left( 1 - \frac{k}{p} \right)^{-1} \ll (\log x)^k$$
et la constante impliquée dépend de $k$.

Oui enonce, j'ai confondu $A\log(\log(x))$ avec $\log(A(\log(x))$ d'où ...
Comme quoi, le calcul mental peut réserver des surprises :-(

Je tombe donc, après rectification sur $\O(\log(x)^{k+\epsilon})$ et ... on a du mal à faire mieux. Pour faire mieux, il faut aller fouiller dans une somme de parties fractionnaires du style $$\sum_{p<x} \Big\{\dfrac x p\Big\},$$ où $\{a\}$ est la partie fractionnaire du réel $a$.

@Sylvain : Non, il n'y a pas de dépendance par rapport à $p$, mais je ne l'ai pas dit. La variable est $p$ dans le$\O$.

A l'aide de mes bouquins, voici une solution rédigé à la proposition suivante.

{\bf Lemme}. Pour $x$ grand, on a
$$\sum_{n \leqslant x} \left ( \frac{\varphi(n)}{n} \right)^k = x \prod_p \left \{ 1 + \frac{1}{p} \left( \left( 1 - \frac{1}{p} \right)^k - 1 \right ) \right \} + O \left ( (\log x)^k \right ).$$

{\bf Preuve}. La lettre $p$ désigne toujours un nombre premier.

On pose $f(n) = (\varphi(n)/n)^k$ et soit $g = f \star \mu$ (où $\star$ est le produit de convolution de Dirichlet). On a facilement
$$g(p) = \left( 1 - \frac{1}{p} \right)^k - 1 \quad \textrm{et} \quad g \left( p^\alpha \right) = 0 \quad \left( \alpha \geqslant 2 \right )$$
donc $g$ est à support les entiers sans facteur carré, et on remarque aussi que $|g(p)| \leqslant k/p$ donc, pour tout entier $n \geqslant 1$, on en déduit
$$\left | g(n) \right | \leqslant \frac{k^{\omega(n)} \mu(n)^2}{n}.$$
Les calculs usuels donnent alors
\begin{align*}
\sum_{n \leqslant x} \left ( \frac{\varphi(n)}{n} \right)^k &= \sum_{d \leqslant x} g(d) \left \lfloor \frac{x}{d} \right \rfloor = x \sum_{d=1}^\infty \frac{g(d)}{d} + O \left ( x \sum_{d > x} \frac{|g(d)|}{d} + \sum_{d \leqslant x} |g(d)| \right ) \\
&= x \prod_p \left \{ 1 + \frac{1}{p} \left( \left( 1 - \frac{1}{p} \right)^k - 1 \right ) \right \} + O \left ( \sum_{d \leqslant x} |g(d)| + x \int_x^\infty \left ( \sum_{d \leqslant t} |g(d)| \right ) \frac{\textrm{d}t}{t^2} \right )
\end{align*}
et avec la majoration de $|g(n)|$ ci-dessus, il vient
$$\sum_{d \leqslant x} |g(d)| \leqslant \sum_{d \leqslant x} \frac{k^{\omega(d)} \mu(d)^2}{d} \leqslant \prod_{p \leqslant x} \left( 1 + \frac{k}{p} \right ) \ll (\log x)^k$$
ce qui achève la démonstration.

Ce résultat a été découvert pour la première fois par Chowla en 1930.

En tout cas moi je suis là et je trouve ça beau (tu), même si je n'y comprends pas grand chose ^^ Peut-être qu'un jour 8-)

@enonce :
J'arrive à la même conclusion en faisant le calcul direct de $x$ fois le membre de gauche - la constante $c(k)$. J'en ai donné les grandes lignes dans un message précédent.
Ton calcul est plus facile à écrire.
Je suis d'accord avec "ta simple sommation partielle".
On attend de mathématics_ qu'il nous fasse ce calcul.

Cordialement,
zephir.

enonce a écrit:

Si tu as des questions particulières, je peux peut-être, avec mes petits moyens, t'aider à y voir plus clair

C'est très gentil de ta part
Mais inutile de perdre ton temps, au moins pour l'instant. Mon bagage en arithmétique s'arrête légèrement au dessus d'un bon élève de prépa. Autant dire que je n'ai pas encore étudié la fonction de Möbius, ni le produit de convolution de Dirichlet.

Mais je suis en train de me mettre à jour. Je suis actuellement dans la lecture du cours d'algèbre de Michel Demazure, dont la première partie est consacrée à des questions de primalité avec un aspect théorie des groupes très intéressant pour se remettre dedans, et j'ai acheté le livre d'Olivier Bordellès apparemment très recommandé ici, que je lirai à mon retour en France en espérant trouver le temps. Si tu savais le nombre de livres de maths que je possède et que je n'ai pas encore lu du tout ou seulement à moitié ... :? J'ai honte

Bonjour Skyffer,

Quel livre de Olivier Bordellès ? Arithmetic Tales ? Si tel est le cas, à quel prix ? Non, parce que sur Amazon, il est à $67,36, alors ...

Avec tout mon respect,

T. Poma

Skyffer3 a écrit:

Je parle du livre "Thèmes d'arithmétique"

J'ai déjà vu ce livre, c'est en quelque sorte la version allégée du Springer (ce dernier fait 560 pages environ). Je dirais qu'il est bien pour débuter (disons Bac + 2) mais, si l'on veut aller plus loin, il devient insuffisant. L'autre est particulièrement complet, mais c'est vrai, comme le souligne Thierry, il n'est pas spécialement donné !

Je pense que tout dépend du niveau que l'on souhaite atteindre.

A noter que le Arithmetic Tales (Springer) est référencé (sur MathSciNet, MathReview, ZentralBlatt, etc. Les références que j'ai pu trouver sont bonnes, d'ailleurs), contrairement à la version Ellipses.

Skyffer3 a écrit:

par exemple l'analyse complexe

Justement ! L'analyse complexe joue un rôle très important en théorie des nombres (elle donne même une autre méthode que la convolution pour les sommations de fonctions arithmétiques), et une large part lui est dédiée dans le bouquin Springer de Bordellès, alors que, sauf erreur, il n'y en a pas (ou pratiquement pas) dans le "Thèmes d'Arithmétiques".