Une équation

AlainG
AlainG
dans Arithmétique
Bonjour,

je cherche tous les entiers $n$ tels que $3^n-2$ soit un carré parfait.

Il est clair que $n=1$ et $n=3$ sont des solutions. Ensuite, je me suis dis que les carrés sont congrus à 0 ou 1 modulo 4, donc si $3^n-2$ est un carré parfait on a : $3^n-2\equiv 0\pmod 4$ ou $3^n-2\equiv 1\pmod 4$, c'est-à-dire $3^n\equiv 2\pmod 4$ ou $3^n\equiv 3\pmod 4$. Par suite on obtient : $3^n\equiv 2\pmod 4$ ou $3^{n-1}\equiv 1\pmod 4$. Or, la première congruence est impossible car $3^n$ n'est pas un nombre pair, on cherche alors les $n$ tels que :
$$
3^{n-1}\equiv 1\pmod 4.
$$
Comme $3^2\equiv 1\pmod 4$, alors $n-1$ est pair, donc $n$ est impair. Mais, après je ne sais pas comment finir. Vous avez des idées svp !

Merci

Réponses

  • mph
    mph
    C'est le cas difficile.

    (i) On note d'abord que la condition $n$ impair peut aussi se déduire du raisonnement suivant : si $n$ était pair, alors $3^n \equiv 1 \pmod 4$ et on aurait donc $x^2 = 3^n-2 \equiv -1 \pmod 4$ ce qui ne se peut (car$-1$ n'est pas résidu quadratique modulo $4$), donc $n$ est impair.

    (ii) Si $n$ est impair, on a un résultat général qui découle d'un théorème dû à Bilu, Hanrot et Voutier sur les suites de Lucas : {\it soit $t<0$ sans facteur carré tel que $t \not \equiv 1 \pmod 8$. Pour $n \geqslant 3$ et $-100 \leqslant t \leqslant -1$, l'équation diophantienne $y^2 = x^n+t$ n'a aucune solution entière, sauf pour $(t,n) = (-2,3)$ et $19$ autres couples $(t,n)$ pour lesquels} $|t| > 2$ (et que j'ai eu la flemme de recopier).

    {\bf Référence}. \textsc{H. Cohen}, {\it Number Theory Vol. 1: Tools and Diophantine Equations}, Springer GTM 239, 2007, {\bf Theorem 6.7.13}.
  • mph
    mph
    J'ai oublié d'ajouter dans le théorème les solutions triviales lorsque $t=-1$ et $y=0$, bien sûr !
  • l.g
    l.g
    il me semble qu'il n'y a pas beaucoup de carré avec 2 de différence....
    si l'exposant est impair, en retranchant 1, il est clair que 32n est un carré parfait et comme x2 - 2 ne peut être un carré....
    il y a bien une formule qui donne la suite des carrés successifs, et elle n’est pas égale à 2.
    donc tu devrais conclure...non?
  • uvdose
    uvdose
    Je ne comprends pas bien ton raisonnement dans le cas où $n$ est impair, L.G.

    Il me semble qu'en travaillant dans l'anneau euclidien $\mathbb{Z}\left[\text{i}\sqrt{2}\right]$, on peut s'en tirer facilement.
  • mph
    mph
    uvdose a écrit:
    Il me semble qu'en travaillant dans l'anneau euclidien $\mathbb{Z}\left[\text{i}\sqrt{2}\right]$, on peut s'en tirer facilement
    C'est le principe de la démonstration du théorème (qui fournit la réponse à la question posée, rappelons-le) que j'ai indiqué ci-dessus. Comme la référence est donnée, rien n'empêche le demandeur de voir la preuve dedans.
  • uvdose
    uvdose
    mph> encore faut-il qu'AlainG possède l'ouvrage en question... De plus citer un théorème buldozer pour écraser un moustique...
  • mph
    mph
    uvdose a écrit:
    De plus citer un théorème buldozer pour écraser un moustique
    Sauf erreur, le "moustique" n'est peut-être pas si petit que cela.

    Mais peut-être as-tu une preuve (relativement) élémentaire à proposer ?
  • AlainG
    AlainG
    merci pour toutes vos réponses. Je ne possède pas le livre de Cohen. Je voulais plutôt une preuve élémentaire comme celle-ci qui, j'ignore, si elle est correcte ou pas :

    l'équation à resoudre est $3^m-2=x^2$ avec $x$ entier naturel non nul.
    On montre que $n$ est impair, on pose $y=3^{(m-1)/2}$, $x$ et $y$ sont donc impairs. On pose $a=\dfrac{9y-5x}{2}$ et $b=\dfrac{3a-5b}{2}$ l'équation initiale est équivalente alors à : $a^2-3b^2=1$, qui est une équation de Pell de solution minimale $(2,1)$. La solution générale vérifie $a_n+b_n\times \sqrt{3}=(2+\sqrt{3})^n$. On a $y=3a+5b$. Il nous faut donc les entiers non negatifs $n$ tels que $c_n=3a_{n+1}+5b_{n+1}$ est une puissance de 3. On montre que $c_{n+2}=4c_{n+1}-c_n$, $c_0=3$ et $c_1=11$. On montre que $c_{n+9}+c_n\equiv 0 \pmod 9$ et que $c_{n+3}+c_n\equiv 0 \pmod 3$. Déduire qu'aucun element de $c_n$ n'est multiple de 9 et puis que les seuls couples vérifiant l'équation initiale sont $(m,x)=(1,1);(3,5)$.
  • Jules Renucci
    Jules Renucci
    Bonjour

    Il est curieux de constater que pour les valeurs paires de n la partie fractionnaire des x tend vers zéro.
    A partir de n=32 cette partie fractionnaire est quasiment nulle...
    Simple remarque
  • uvdose
    uvdose
    J.R.> Il est clair que $\lim\limits_{k \rightarrow +\infty} \left(\sqrt{3^{2k}-2}-3^k\right)=0$...
  • lou 16
    lou 16
    Bonjour,

    L' argument de Alain G qui dit que "aucun des c(n) n' est divisible par 9 " me parait erroné:

    c(4)= 4*11-3=41 et c(5) = 4*41-11= 9*17.

    J' ai trouvé une preuve qui recense toutes les solutions , à savoir (1;+/-1) (3;+/-5),et qui utilise la factorialité de Z[a] (a est la racine carrée de -2) , mais à l' inverse de uvdose , je ne m' en suis pas sorti" facilement:"

    Mon inaptitude au Latex ne me permet pas de la détailler, mais en voici un résumé:

    L' équation proposée conduit à: x+a = +/- (1+a)^n , puis à chercher les entiers n pour lesquels la suite définie par; x(0) =0, x(1)=1 , x(n+2)= 2*x(n+1) -3*x(n), prend les valeurs 1 ou -1.
    En étudiant la 2-valuation de x(n)+1 et de x(n)-1, on trouve que seuls n=1 et n =3 conviennent.

    Amicalement,
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