Somme des diviseurs de n!

Oui, c'était assez facile. On peut aussi attaquer directement comme ça :
$$\frac{\sigma(n!)}{n!} = \sum_{d \mid n!} \frac{1}{d} \geqslant \sum_{d=1}^n \frac{1}{d} = H_n.$$

Bon ! Comme il y a des fortiches ici, en voici un autre, un peu du même genre et d'un niveau à peine plus élevé : montrer l'inégalité
$$\sigma(n) < \tfrac{1}{2} \, n \log n + 3 n \quad \left( n \geqslant 1 \right).$$

Excellent, Juge Ti ! Sincèrement !

On peut même (légèrement) améliorer ton terme secondaire via $\displaystyle \sum_{\substack{d \mid n \\ d > \sqrt n}} \frac{1}{\sqrt n} \leqslant \frac{\tau(n)}{\sqrt n}$ et donc pour $n \geqslant 3$ $$\sigma(n) \leqslant \tfrac{1}{2} \, n \log n + n + \tau(n) \sqrt n \leqslant \tfrac{1}{2} \, n \log n + n + n^{1/2+1.5379 \log 2 / \log\log n}$$ Pour la dernière majoration, voir cet excellent site encore trop méconnu : http://math.univ-lille1.fr/\~{}ramare/TME-EMT/accueil.html

[Corrigé selon ton indication. AD]

Bravo JLT ! Excellent !

Variante, toujours avec l'IAG car c'était le coeur de cet exercice :
$$\frac{1}{\tau(n)} \sum_{d \mid n} d \geqslant \left ( \prod_{d \mid n} d \right)^{1/\tau(n)} = \left( n^{\tau(n)/2} \right)^{1/\tau(n)} = \sqrt n.$$

Vous en voulez encore ?

Merci bs pour avoir pris le relais.

S'il me le permet, je reprends le calcul de Juge Ti à partir de la seconde, pour voir si on peut aller plus loin. Avec l'égalité $\lfloor t \rfloor = t - \frac{1}{2} - \psi(t)$ où $\psi$ est la première fonction de Bernoulli, il vient
$$\sum_{k \leqslant n} \frac{\sigma(k)}{k} = \sum_{d \leqslant n} \frac{1}{d} \left \{ \frac{n}{d} - \frac{1}{2} - \psi \left( \frac{n}{d} \right ) \right \} = n \left ( \zeta(2)- \sum_{d > n} \frac{1}{d^2} \right ) - \frac{1}{2} \sum_{d \leqslant n} \frac{1}{d} - \sum_{d \leqslant n} \frac{1}{d} \psi \left( \frac{n}{d} \right ).$$
Autant il est facile d'estimer les deux premières sommes, autant la dernière pose un gros problème de théorie des nombres. Pour cette dernière, je vais donc faire appel aux maîtres du genre : en particulier, un résultat dû à Walfisz montre que
$$\sum_{d \leqslant n} \frac{1}{d} \psi \left( \frac{n}{d} \right ) = O \left ( \log^{2/3} n \right ).$$
En reportant cette estimation ci-dessus et en calculant les autres sommes de manière habituelle, on obtient donc
$$\sum_{k \leqslant n} \frac{\sigma(k)}{k} = n \zeta(2) - \frac{\log n}{2} + O \left ( \log^{2/3} n \right ).$$
A l'heure actuelle, il n'y a pas mieux dans le monde !

{\bf Exercice suivant}. Montrer que $\sigma(n) \leqslant \dfrac{n+1}{2} \, \tau(n)$ (les notations sont présentes dans les messages plus haut).

Vas-y Egoroff, mets-nous ta solution, que je te félicite toi aussi ! -D

Un dernier mot : je voudrais remercier ici tout ceux qui ont permis de faire vivre ce fil : JLT, Juge Ti, Raymond Cordier, E(T)C, Egoroff, bs, Denise Chemla et AD pour sa correction.