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Entiers de Gauss premiers entre eux

Envoyé par bs 
bs
Entiers de Gauss premiers entre eux
il y a six années
avatar
Bonjour,

La probabilité pour que deux nombres entiers choisis au hasard soient premiers entre eux est $\dfrac{6}{\pi^2}$, sujet précédemment abordé et démontré dans notre forum.

[www.les-mathematiques.net] [www.les-mathematiques.net] [www.les-mathematiques.net]

Quelle est la probabilité pour que deux entiers de Gauss choisis au hasard soient premiers entre eux ?

[Suite remarque de samok, merci de proposer un énoncé compréhensible par tous ? ]

Amicalement.
Re: Entiers de Gauss premiers entre eux
il y a six années
avatar
Bonjour,

compte tenu du scandale déclenché par une question du Kangourou, il conviendrait de faire gaffe à la rédaction de l'énoncé.

S
Re: Entiers de Gauss premiers entre eux
il y a six années
:)-D Certes, et que penser de la variable aléatoire suivante: on tire au hasard :D deux entiers n,p et on regarde pcgd(n,p)?

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six années et a été effectuée par christophe c.
Re: Entiers de Gauss premiers entre eux
il y a six années
Et on les tire de manière indépendante :D

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Entiers de Gauss premiers entre eux
il y a six années
Une remarque quand-même en écho un peu alternatif à samok: l'analyse non standard (ou les ultrafiltres) est d'un grand secours et le terme "proba" est presque tout à fait légitime.

On se donne un entier supergrand $n$.

1) A chaque $A\subseteq \N$ qui est standard, on associe l'unique réel $p(A)$ (qui $\in [0;1]$) standard tel que $card(A\cap n)/n$ est supreproche de $p(A)$

2) Si on veut tirer "deux" entiers au sort, à une partie $B\subseteq \N^2$ standard, on associe $p_2(B)$ l'unique réel $b$ (qui $\in [0;1]$) standard tel que $card(B\cap n^2)/card(n^2)$ est supreproche de $b$

3) etc, etc avec $p_3, p_4, etc$

4) On a alors que certains $X\subseteq n^i$ sont tels que $p_i(X)$ dépend du $n$ superproche choisi et pas d'autres, et c'est intéressant (et formel) en soi. De plus, ce qui est attendu de l'indépendance est préservé (ie $p_{i+j}(A\times B) = p_i(A).p_j(B)$ dans les cas où ça a un sens)
Re: Entiers de Gauss premiers entre eux
il y a six années
avatar
J'aurais envie de dire intuitivement:$(\displaystyle\sum_{z\in\Z\setminus\{0\}}\frac{1}{(\vert z\vert^2)^2})^{-1}$, i.e $\dfrac{1}{\zeta_{\Q(i)/\Q}(2)}$.

Greg

Ora, lege, lege, relege, labora et invenies (Prie, lis, lis , relis, travaille et tu trouveras)



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a six années et a été effectuée par GreginGre.
bs
Re: Entiers de Gauss premiers entre eux
il y a six années
avatar
Re,

Greg, c'est un résultat relativement simple [qui s'écrit avec des nombres entiers et des constantes célèbres], "trop beau" pour être vrai, c'est vraiment magique :)

Amicalement.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six années et a été effectuée par bs.
Re: Entiers de Gauss premiers entre eux
il y a six années
avatar
Je ne sais pas si c'est vrai, je n'ai pas cherché à le démontrer ;) je laisse ça aux experts...

Greg

Ora, lege, lege, relege, labora et invenies (Prie, lis, lis , relis, travaille et tu trouveras)
Re: Entiers de Gauss premiers entre eux
il y a six années
GregInGre : Ta somme vaut environ 6. Je ne vois pas trop comment ça pourrait être une proba...
enonce
Re: Entiers de Gauss premiers entre eux
il y a six années
Sans vouloir m'immiscer, je crois que la bonne réponse est plutôt $\dfrac{1}{G \zeta(2)}$, où $G$ est la constante de Catalan.

Lire par exemple ce petit document : [www.maa.org]
Re: Entiers de Gauss premiers entre eux
il y a six années
avatar
@Guego: j'avais oublié de mettre l'inverse dans la première partie de ma phrase (mais pas dans la deuxième)...De toute façon, apparemment, c'est quand même pas ça ^^

Greg

Ora, lege, lege, relege, labora et invenies (Prie, lis, lis , relis, travaille et tu trouveras)
Re: Entiers de Gauss premiers entre eux
il y a six années
Le $\dfrac{1}{G\zeta(2)}$ a bien l'air de correspondre. Ça vaut environ $0.6637$. Or, en se limitant aux entiers de Gauss de parties réelles et imaginaires comprises entre $-15$ et $15$, on trouve une proba de $\dfrac{610904}{923521} \approx 0.6615$.
bs
Re: Entiers de Gauss premiers entre eux
il y a six années
avatar
Bonjour,

Oui, la réponse est effectivement $\dfrac{1}{G \zeta(2)}=\dfrac{6}{\pi^2 G}$, où $G$ est la constante de Catalan.

La probabilité pour qu'un entier de Gauss pris au hasard soit squarefree (= sans facteur carré) est également : $\dfrac{1}{G \zeta(2)}$

Apparemment, on peut trouver une preuve ici ou là, merci de proposer un lien ou le document :

G.E. Collins and J.R. Johnson, The probability of relative primality of Gaussian integers, Proc. 1988 Int. Symbolic and Algebraic Computation(ISSAC), Rome, ed.P.Gianni. Lect. Notes in Comp.Sci.358,Springer-Verlag, 1989, pp252-258; MR 90m:11165.

E.Pegg, The neglected Gaussian integers (Math Puzzle).

Tout ceci se trouve dans l'excellent Mathematical constants de Steven R. Finch [www.amazon.com]

Amicalement.
Re: Entiers de Gauss premiers entre eux
il y a six années
avatar
Je pense pouvoir donner des arguments assez simples pour la valeur $ 4\Big(\displaystyle\sum_{z\in\mathbb{Z}[ i ]\setminus\{0\}}\frac{1}{\vert z\vert^4}\Big)^{-1}$ (c'est presque la même valeur que Greg, il a sans doute juste oublié qu'il y avait 4 inversibles dans $\mathbb{Z}[ i ]$).

C'est peut-être la même chose que la réponse officielle.

[Edit: post du 10/7/13 édité le 15/6/14 à cause d'un bug latex du nouveau système]



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq années et a été effectuée par aléa.
Re: Entiers de Gauss premiers entre eux
il y a six années
avatar
On peut voir les arguments? ;)

Greg

Ora, lege, lege, relege, labora et invenies (Prie, lis, lis , relis, travaille et tu trouveras)
Re: Entiers de Gauss premiers entre eux
il y a six années
Numériquement, ça a l'air d'être la même chose. Je note $S(n)$ l'expression que trouve aléa, mais en me limitant aux complexes de parties réelles et imaginaires comprises entre $-n$ et $n$.
 > evalf(1/(Catalan*Zeta(2)));
                                 0.6637008046

> S(2000);
                                 0.6637008754
Re: Entiers de Gauss premiers entre eux
il y a six années
avatar
Afin de simplifier les écritures, je vais tirer au hasard, non pas des entiers de Gauss non nuls , mais des classes d'équivalences modulo les inversibles.

J'appelle loi Zeta de paramètre $s$ la loi telle qui assigne à la classe de $z$ la masse
$4|z|^{-s}\Big(\displaystyle\sum_{z\in\mathbb{Z}[ i ]\setminus\{0\}}\frac{1}{\vert z\vert^s}\Big)^{-1}$.
Cette loi est bien définie pour $s>2$.

Si $X,Y$ sont indépendants, de loi Zeta de paramètre $s$ et $t$
On a alors les propriétés suivantes:
- $P(z|X)=|z|^{-s}$
- si $z$ et $z'$ sont premiers entre eux, être divisible par $z$ ou $z'$ sont des événements indépendants
- $X\wedge Y$ suit la loi Zeta de paramètre $s+t$.

Ainsi $P_s(X\wedge Y=1)=Zeta_{2s}(1)=4\Big(\displaystyle\sum_{z\in\mathbb{Z}[ i ]\setminus\{0\}}\frac{1}{\vert z\vert^{2s}}\Big)^{-1}$.

Comme référence pour ces idées, vous pouvez regarder dans Garet-Kurtzmann, pages 52-53 et 140-141. Ce sont des exos non corrigés avec juste des indications, je vais regarder si j'ai le corrigé au fond d'un disque dur.

La densité de Dirichlet des couples premiers entre eux est la limite de $P_s(X\wedge Y=1)$ lorsque $s$ tend vers $2$: c'est $4\Big(\displaystyle\sum_{z\in\mathbb{Z}[ i ]\setminus\{0\}}\frac{1}{\vert z\vert^{4}}\Big)^{-1}$.

Il est bien connu que lorsque la densité naturelle existe, elle coïncide avec la densité de Dirichlet.

[Edit: post du 10/7/13 édité le 15/6/14 à cause d'un bug latex du nouveau système]



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq années et a été effectuée par aléa.
Re: Entiers de Gauss premiers entre eux
il y a six années
avatar
Bon , ça va, mon intuition n'était pas complètement fausse , du coup ;)

Je suppose que le $4$ vient du fait que $\Z$ possède $4$ inversibles. Du coup, je me pose la question suivante. Que se passe-t-il si on remplace $\Z$ par $\Z[\sqrt{2}]$ ? C'est un anneau euclidien, donc principal, donc on peut parler de pgcd ...avec une infinité d'inversibles.

En fait, on pourrait se poser plus généralement les questions suivantes. Soit $K/\Q$ un corps de nombres.

1. Quelle est la probabilité que deux éléments $a,b$ de l'anneau des entiers $\mathcal{O}_K$ soient premiers entre eux (i.e. $d\mid a $ et $d\mid b$ $\Rightarrow d\in \mathcal{O}_K^\times$) ?

Cela revient à dire que les idéaux $(a)$ et $(b)$ ne sont divisibles par aucun idéal premier commun.

2. Quelle est la probabilité que deux idéaux principaux de l'anneau des entiers $\mathcal{O}_K$ soient premiers entre eux ? (la seule différence est que l'on considère les éléments modulo les inversibles)

3. Plus généralement, quelle est la probabilité que deux idéaux quelconques soient premiers entre eux?


Je pense que cela fait intervenir la quantité $(\zeta_{K/\Q}(2))^{-1}=\dfrac{1}{\displaystyle\sum_\mathfrak{a}\frac{1}{N_{K/\Q}(\mathfrak{a})^2}},$ où $\mathfrak{a}$ parcourt les idéaux non nuls de l'anneau des entiers.
enonce
Re: Entiers de Gauss premiers entre eux
il y a six années
Citation
Greg
Plus généralement, quelle est la probabilité que deux idéaux quelconques soient premiers entre eux?
Je pense qu'en adaptant la démonstration du cas rationnel aux corps de nombres, on arrive à ton résultat.

Plus précisément, soit $K$ un corps de nombres algébriques fixé et $\mu_K$ la fonction de Möbius attachée à $K$, définie par
$$\mu_K(\mathfrak{a}) := \begin{cases} (-1)^r, & \textrm{si\ } \mathfrak{a} = \mathfrak{p}_1 \dotsb \mathfrak{p}_r \\ 0 , & \textrm{sinon} \end{cases}$$
où les variables écrites en Fraktur désignent des idéaux entiers non nuls de $O_K$, et les $\mathfrak{p}_i$ sont des idéaux premiers. Il est connu que la série de Dirichlet de $\mu_K$ est $\zeta_K(s)^{-1}$, absolument convergente dans le demi-plan $\sigma > 1$. Ainsi
$$\sum_{\mathfrak{d} \mid \mathfrak{a}} \mu_K (\mathfrak{d}) = \begin{cases} 1, & \textrm{si\ } \mathfrak{a} = O_K \\ 0, & \textrm{sinon} \end{cases}$$
et donc pour tous $x,y \geqslant 1$ et en posant $m := \min(x,y)$, on a
\begin{align*}
\sum_{\substack{\mathbb{N} \mathfrak{a} \leqslant x \\ \mathbb{N} \mathfrak{b} \leqslant y \\ (\mathfrak{a}, \mathfrak{b}) = 1}} 1 &= \sum_{ \mathbb{N}\mathfrak{d} \leqslant m} \mu_K(\mathfrak{d}) \left \lfloor \frac{x}{\mathbb{N}\mathfrak{d}} \right \rfloor \left \lfloor \frac{y}{\mathbb{N}\mathfrak{d}} \right \rfloor \\
&= xy \sum_{ \mathbb{N}\mathfrak{d} \leqslant m} \frac{\mu_K(\mathfrak{d})}{\mathbb{N}\mathfrak{d}^2} + O \left ( (x+y) \sum_{ \mathbb{N}\mathfrak{d} \leqslant m} \frac{1}{\mathbb{N}\mathfrak{d}} \right ) \\
&= \frac{xy}{\zeta_K(2)} + O \left ( \frac{xy}{m} + (x+y) \sum_{d \leqslant m} \frac{\nu_K(d)}{d} \right ) \\
&= \frac{xy}{\zeta_K(2)} + O \left ( \frac{xy}{m} +(x+y) \log m \right )
\end{align*}
où $\mathbb{N}\mathfrak{d}$ désigne la norme de l'idéal entier $\mathfrak{d}$ et $\nu_K(d)$ est le nombre d'idéaux entiers de $O_K$ de norme égale à $d$. J'ai utilisé à la fin l'estimation connue $\sum_{d \leqslant x} \nu_K(d) \ll x$.

J'espère ne pas avoir fait d'erreur ! N'hésitez pas à vérifier et, si besoin, à contredire ce calcul...
Re: Entiers de Gauss premiers entre eux
il y a six années
avatar
La méthode que j'ai décrite semble s'appliquer de manière assez directe aux idéaux des corps de nombres. Il me manque quand même un truc, c'est de savoir que la série de Dirichlet ${\displaystyle\sum_\mathfrak{a}\frac{1}{N_{K/\mathbb{Q}}(\mathfrak{a})^s}}$ a comme abscisse de convergence 1.
enonce
Re: Entiers de Gauss premiers entre eux
il y a six années
Citation
Aléa
savoir que la série de Dirichlet ${\displaystyle\sum_\mathfrak{a}\frac{1}{N_{K/\mathbb{Q}}(\mathfrak{a})^s}}$ a comme abscisse de convergence 1
Cela découle directement du fait que les coefficients de cette série, à savoir les nombres $\nu_K(n)$ dont je parle ci-dessus, vérifient $\nu_K(n) \ll \tau_d(n) \ll n^{\varepsilon}$, si $d$ est le degré de $K$.

Je termine mon approche arithmétique de ce problème. Je ne devais pas être très réveillé l'autre jour, mais il est évident que, si $K = Q ( \sqrt{-1})$, alors $\zeta_K(2) = G \zeta(2)$ où $G$ est la constante de Catalan.

Dans ce qui suit, tous les résultats proviennent de la référence [1].

D'après [1, Proposition 7.131], si $K$ est un corps quadratique de discriminant $d_K$, alors sa fonction zêta de Dedekind se factorise via la fonction zêta de Riemann par $\zeta_K(\sigma) = \zeta(\sigma) L(s,\chi)$ ($\sigma >1$) où $L(s,\chi)$ est la fonction $L$ associée à l'unique caractère réel primitif de Dirichlet modulo $|d_K|$.

Mais si $K = Q ( \sqrt{-1})$, alors $|d_K| = 4$ et donc la fonction $L$ associée est la série de Dirichlet de l'unique caractère réel $\chi_4$ de Dirichlet modulo $4$. D'après [1, Example 3.76], on a $\chi_4(n) = (-1)^{(n-1)/2}$ si $n$ est impair et $0$ sinon, de sorte que
$$\zeta_K(2) = \zeta(2) \sum_{ \substack{n=1 \\ n \, \textrm{impair}}}^\infty \frac{(-1)^{(n-1)/2}}{n^2} = \zeta(2) \sum_{ k=0}^\infty \frac{(-1)^{k}}{(2k+1)^2} = G \zeta(2).$$
CQFD.

{\bf Référence}.

[1] \textsc{O. Bordellès}, {\it Arithmetic Tales}, Springer, 2012.
Re: Entiers de Gauss premiers entre eux
il y a six années
Salut à tous,

Si je comprends bien {\bf enonce} a confirmé la constatation numérique de Guégo, à savoir que
$$ \sum_{(u,v) \in \Z^2 \setminus \{0\}} \frac{1}{(u^2+v^2)^2} = 4G\zeta(2) $$
Pour les ignorants en fonctions $L$, y a-t-il une démonstration "élémentaire" de cette identité ?
enonce
Re: Entiers de Gauss premiers entre eux
il y a six années
Bonjour Egoroff,

Le fait que $\zeta_K(2) = G \, \zeta(2)$ pour $K = \Q(\sqrt{-1})$ est, comme je viens de le vérifier plus haut, une conséquence immédiate de la factorisation de la fonction zêta de Dedekind d'un corps quadratique en fonction de la fonction zêta de Riemann.

Cette factorisation n'est elle-même qu'une conséquence de la factorisation de chacune de ces trois fonctions en produits eulériens. Puisque l'égalité que j'ai écrite ci-dessus est valide pour tout réel $\sigma >1$, cette factorisation peut être considérée comme élémentaire (i.e. pas d'utilisation de la variable complexe).

Ceci dit, je crois deviner le sens de ta question que tu aurais pu éventuellement formuler comme suit : {\it pour ceux qui ignorent la factorisation en produits eulériens des fonctions zêta et $L$, y a-t-il une autre démonstration} ? Oui, Aléa en a donné un exemple en page 1.
Re: Entiers de Gauss premiers entre eux
il y a six années
Salut {\bf Enonce},

Et merci pour ta réponse. Je fais partie des ignorants des fonctions $L$ et de leurs produits eulériens :) Je lis peut-être trop vite mais i me semble qu'{\bf Aléa} a montré que la densité cherchée était $4 \times$ l'inverse du membre de droite, tandis que {\bf Bs} et toi avez donné des références montrant que la densité en question valait $4 \times$ l'inverse du membre de gauche. Je me demandais s'il existait une démonstration "directe" de l'égalité entre ces deux membres, disons niveau L2-L3 ?
enonce
Re: Entiers de Gauss premiers entre eux
il y a six années
Citation
Egoroff
Je me demandais s'il existait une démonstration "directe" de l'égalité entre ces deux membres, disons niveau L2-L3
Aucune idée, mais il est très possible qu'il y en ait une. Il faudrait que je regarde en détail...
bs
Re: Entiers de Gauss premiers entre eux
il y a six années
avatar
Coucou,

Merci à tous pour vos approches et vos réponses.

Citation
Un intervenant
Du coup, je me pose la question suivante. Que se passe-t-il si on remplace $\Z$ par $\Z[\sqrt{2}]$ ? C'est un anneau euclidien, donc principal, donc on peut parler de pgcd ...avec une infinité d'inversibles.

Ben alors...quelle est la probabilité pour que deux entiers d'Eiseinstein $\big($c'est à dire appartenant à $\Z[j] \big)$, choisis au hasard soient premiers entre eux ;)

Amicalement.
Re: Entiers de Gauss premiers entre eux
il y a six années
avatar
Quelques indications d'inégalités et égalités vérifiées par la fonction béta de Dirichlet. et une formule-type Euler pour Béta(2n). Aidera, qui sait?

[forum.diplomaths.fr]
Re: Entiers de Gauss premiers entre eux
il y a six années
avatar
Bon, j'ai une idée de preuve pas trop dure. Je n'ai pas regardé les détails.
On veut calculer la valeur de $\sum_{z\in\mathbb{Z}[ i ]\setminus\{0\}}\frac{1}{\vert z\vert^4}$, que l'on peut réécrire

$\sum_{n\ge 1}\frac{r(n)}{n^2}$, où $r(n)$ est le nombre d'écritures de $n$ comme somme de deux carrés.

Les résultats classiques sur les entiers de Gauss nous disent que $r/4$ est une fonction multiplicative, ce qui devrait permettre de vérifier sans trop de difficulté la formule $r(n)/4=\sum_{d|n} \chi_4(d)= (1*\chi_4)(n)$.
Et alors c'est fini car on a $\sum_{n\ge 1}\frac{r(n)}{n^2}=4(\sum_{n\ge 1}\frac{\chi_4(n)}{n^2})(\sum_{n\ge 1}\frac{1}{n^2})$.

[Edit: post du 10/7/13 édité le 15/6/14 à cause d'un bug latex du nouveau système]



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq années et a été effectuée par aléa.
enonce
Re: Entiers de Gauss premiers entre eux
il y a six années
@bs : j'ai fait le calcul ce matin pour un corps de nombres quelconque : si le nombre de classes vaut $1$, la réponse à ta question est donc donnée par $\zeta_K(2)^{-1}$.

La difficulté vient donc d'une évaluation explicite de la fonction zêta de Dedekind de $K$ au point $2$. Lorsque $K$ est quadratique de discriminant pas trop élevé (comme celui que tu proposes, puisqu'il est égal à $\Q(\sqrt{-3})$), on peut espérer s'en sortir. Sinon, il faut voir au cas par cas, sachant qu'en général on a pas de formule simple.

Ton corps $K = \Q(\sqrt{-3}) = \Q(j)$ est quadratique de valeur absolue du discriminant égal à $3$, de sorte que, comme ci-dessus
$$\zeta_K(2) = \zeta(2) L(2,\chi_3)$$
où $\chi_3$ est l'unique caractère primitif réel de Dirichlet de module $3$. Il est défini par $\chi_3(n) = \pm 1$ si $n \equiv \pm 1 \pmod 3$ et $\chi_3(n) = 0$ si $3 \mid n$ de sorte que $L(2,\chi_3) \approx 0,78 \, 130 \, 241 \dotsc$ (sauf erreur de ma part, et contrairement au cas $d_K >0$, on n'a pas de formule exacte lorsque $d_K <0$, à part le cas où la constante a un nom, comme celle de Catalan).
bs
Re: Entiers de Gauss premiers entre eux
il y a six années
avatar
Bonjour,

thumbs down enonce, oui, la probabilité pour que deux entiers d'Eiseinstein choisis au hasard soient premiers entre eux est effectivement égale à $\dfrac{1}{ \zeta(2) H}$ où $H=L(2,\chi_3) \approx 0,78 \, 130 \, 241 \dotsc$ mais aussi $ \displaystyle H = \sum_{k=0}^\infty \big[ \frac {1}{(3k+1)^2}- \frac {1}{(3k+2)^2} \big]$. Cette dernière expression de $H$ est-elle immédiate ? Certainement d'après ton premier message en haut de cette page.

Merci à tous pour vos contributions.

Amicalement.
Re: Entiers de Gauss premiers entre eux
il y a six années
avatar
Je complète mon message précédent par une référence pour une preuve de l'identité
$ r(n)/4=\sum_{d\vert n} \chi_4(d)= (1*\chi_4)(n)$.

Hardy and Wright: p. 241-243
enonce
Re: Entiers de Gauss premiers entre eux
il y a six années
Et je complète le message d'Aléa en indiquant que sa fonction $n \longmapsto \frac{1}{4} \, r(n)$ n'est autre que la fonction $\nu_K$ où $K = \Q(\sqrt{-1})$ et $\nu_K(n)$ est le nombre d'idéaux entiers non nuls de $O_K$ de norme égale à $n$, comme je l'ai déjà indiqué dans l'un de mes messages au-dessus, ce qui prouve que j'ai bien appris mon cours !
enonce
Re: Entiers de Gauss premiers entre eux
il y a six années
Ah, et oui, pour répondre à bs, j'ai vérifié ma dernière assertion ci-dessus : lorsque $d_K <0$, il n'y a effectivement pas de formule exacte pour les valeurs au point $2$ des fonctions $L$ considérées. En revanche, si $d_K >0$, on a bien quelques formules exactes connues.

Prenons par exemple le corps quadratique réel $K = \Q (\sqrt 5)$. Alors comme ci-dessus, on a $\zeta_K(2) = \zeta(2) L(2,\chi_5)$ avec $L(2,\chi_5) = \dfrac{24}{25 \sqrt 5} \, \zeta(2)$ de sorte que la probabilité d'obtenir deux idéaux entiers étrangers est donc de
$$\frac{25 \sqrt 5}{24 \zeta(2)^2} = \frac{75 \sqrt 5}{2 \pi^4} \approx 0,86 \, 0828 \dotsc$$
Re: Entiers de Gauss premiers entre eux
il y a six années
Aléa, Enonce,

Merci à tous les deux, je suis convaincu même s'il me manque un peu de culture arithmétique pour comprendre le passage $r = 4(1 \star \chi_4)$. Comme dirait Christophe, je le prends comme axiome pour l'instant (en attendant de me cultiver).
enonce
Re: Entiers de Gauss premiers entre eux
il y a six années
Bonjour Egoroff, et de rien !

De toute façon, le plus simple, le plus rapide et le plus général pour montrer ce type d'identité est d'utiliser la multiplicativité des fonctions en jeu.

Plus généralement donc, si $K$ est un corps quadratique et si $\chi$ est son caractère réel de Dirichlet associé, alors la fonction de compte $\nu_K$ vérifie $\nu_K = \chi \star \textrm{Id}$ où $\textrm{Id} : n \longmapsto n$ et $f \star g$ est l'habituel produit de convolution de Dirichlet.

Pour la démo, comme les deux membres de cette égalité représentent des fonctions multiplicatives, il te suffit de la vérifier pour $n=1$ et pour $n=p^\alpha$ est une puissance d'un nombre premier. Or, compte tenu de la décomposition d'un nombre premier dans $K$, on a immédiatement $\nu_K(p) = 1 + \chi(p)$ (et donc l'égalité est vraie pour $n=p$) et l'égalité $\displaystyle \nu_K(p^\alpha) = \sum_{d \mid p^\alpha} \chi(d)$ se vérifie aussi en distinguant les cas $p$ inerte, complètement décomposé ou ramifié et, à chaque fois, en utilisant leur norme. Quelques lignes suffisent.
Re: Entiers de Gauss premiers entre eux
il y a six années
Bonjour Enonce,

Et re-merci pour ce complément. Malheureusement je suis indécrottable : autant je vois à peu près ce qu'est un caractère de Dirichlet et pourquoi il suffit de vérifier l'égalité sur les puissances de nombres premiers, autant ce passage :
Citation
enonce
l'égalité $ \displaystyle \nu_K(p^\alpha) = \sum_{d \mid p^\alpha} \chi(d)$ se vérifie aussi en distinguant les cas $ p$ inerte, complètement décomposé ou ramifié et, à chaque fois, en utilisant leur norme.
est du chinois pour moi, faute de connaissances suffisantes en théorie algébrique des nombres. Mais ne désespère pas, j'apprendrai tout ça un jour !
enonce
Re: Entiers de Gauss premiers entre eux
il y a six années
Connaissant ton niveau général en mathématiques, je suis fortement convaincu que tu apprendras ça en un rien de temps ! De toute façon, c'est comme tout : une fois que tu as les codes,...
Re: Entiers de Gauss premiers entre eux
il y a six années
Merci enonce pour ce compliment encourageant. Le livre d'O. Bordellès chez Springer couvre-t-il ce genre de sujets ?
enonce
Re: Entiers de Gauss premiers entre eux
il y a six années
Le dernier chapitre de ce livre, qui fait pas moins de 110 pages à lui tout seul, est entièrement consacré à une introduction aux corps de nombres algébriques. Comme à chacun de ses chapitres, l'auteur démarre au début (après une brève motivation historique), puis monte relativement haut dans les aigus et, comme tous les autres chapitres, il y a une section "Further Developments" dans laquelle il aborde plusieurs thèmes plus ou moins disjoints et ayant trait à la recherche.

Il n'y a pas à proprement parler les calculs effectués ci-dessus, mais, pour presque tous les messages (sauf le dernier page 1), j'avais ce livre ouvert sous mes yeux.
Re: Entiers de Gauss premiers entre eux
il y a six années
Merci pour ces informations. Tu ferais un très bon vendeur smoking smiley
enonce
Re: Entiers de Gauss premiers entre eux
il y a six années
Citation
Egoroff
Tu ferais un très bon vendeur
Ouaip ! Je crois que je vais changer de métier ! :D
Re: Entiers de Gauss premiers entre eux
il y a six années
avatar
Enonce, reconnais que tu as quand même un niveau en arithmétique très nettement supérieur à la moyenne. La lecture détendue du livre de Borde ne suffit pas, quand on n'est pas "spécialiste"* du domaine, à maîtriser les notions ardues dont tu parles, il faut des mois ou des années de pratique pour cela. Borde lui même disait qu'il considérait la théorie du corps de classe très difficile, alors je ne vois que deux possibilités : soit tu as un QI vertigineux, soit...tu es l'auteur de la référence que tu cites. Ces deux possibilités ne sont d'ailleurs pas exclusives l'une de l'autre.

*j'entends par là titulaire d'un diplôme sanctionnant des études assez approfondies, genre M2 ou DEA de théorie des nombres, ou peu s'en faut.
enonce
Re: Entiers de Gauss premiers entre eux
il y a six années
Citation
Sylvain
soit tu as un QI vertigineux, soit...tu es l'auteur de la référence que tu cites
Je crois que j'ai un QI vertigineux...

Plus sérieusement, j'ignore le niveau que je peux avoir en arithmétique (et c'est très difficile à déterminer à la lecture de mes messages postés ici), mais il y a une chose que je sais : j'ai beaucoup de références dans ce domaine ici, chez moi, et j'ai lu pas mal d'articles là-dessus. J'ai toujours considéré que l'apprentissage de n'importe quel branche des maths passait {\bf d'abord} par la lecture, relecture, re-relecture, etc, de bons livres et articles dudit domaine.

Je répète : la plupart de mes interventions ici sont dues à ce travail de lecture. Il est d'ailleurs (fortement) conseillé de vérifier ce que j'avance quand j'envoie un message.
Re: Entiers de Gauss premiers entre eux
il y a cinq années
avatar
Trouvé, sur la toile, un document qui donne la preuve de $ \nu_K = \chi \star \textrm{Id}$ dans le cas qui nous intéresse, à l'aide des fonctions de Dirichlet. On est dans la démarche proposée par enonce, mais dans le cas particulier qui nous intéresse. L'identité de convolution est ici obtenue comme corollaire de l'identité sur les fonctions de Dirichlet.

[www2.edc.org]
enonce
Re: Entiers de Gauss premiers entre eux
il y a cinq années
Merci, Aléa.

Pour qui connais la chose, rien de nouveau ici, mais c'est expliqué assez clairement (je n'ai pas vu le nom de l'auteur). Par ailleurs, la preuve s'adapte aisément à un corps quadratique quelconque, selon le même modèle.

J'y vois un défaut : le terme "fonction multiplicative" doit ici être compris comme "fonction complètement multiplicative", i.e. la relation $f(mn) = f(m)f(n)$ doit être prise sans aucune restriction sur $m$ et $n$ (alors que le premier terme sous-entend que la relation est valide uniquement lorsque $m$ et $n$ sont premiers entre eux).
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