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Devinette

Envoyé par kolotoko 
kolotoko
Devinette
il y a six années
Bonjour,

Une simple petite devinette élémentaire:

Trouver 8 nombres premiers (tous différents) a,b,c,d,e,f,g,h vérifiant :
$a+b+c+d = e+f+g+h$
et $a^2+b^2+c^2+d^2 = e^2+f^2+g^2+h^2$
et $a^3+b^3+c^3+d^3 = e^3+f^3+g^3+h^3$

Bien cordialement.
kolotoko
Re: Devinette
il y a six années
Bonjour,

Je propose les quadruplets (23143, 143263, 233353, 353473) et (53173, 83203, 293413, 323443).

Cordialement,
rosab
kolotoko
Re: Devinette
il y a six années
Bonjour,

en puisant dans le cortège des suites arithmétiques suffisamment longues de nombres premiers , on a évidemment des solutions ...

ici le premier terme est 23143 et la raison est 30 030 .

Cependant , il existe des solutions avec des nombres premiers plus petits que 100.

bien cordialement

kolotoko
JLT
Re: Devinette
il y a six années
avatar
Alors avec (13, 349, 601, 937) et (97, 181, 769, 853) ça marche aussi.
kolotoko
Re: Devinette
il y a six années
Bonsoir,

voici la plus petite solution que j'ai trouvé : (37,59,61,83) et (41,47,73,79) .

bien cordialement

kolotoko
Re: Devinette
il y a six années
Bonsoir,

merci pour cette devinette qui m'a bien fait sécher!

Je constate que, dans les trois solutions proposées, a+d, b+c, e+h et f+g sont égaux. Si à cela on rajoute que ad+bc et eh+fg sont égaux on trouve un système dont les solutions sont des solutions du système initial. Je n'arrive pas à voir si c'est un trait de génie que d'imposer ces conditions "supplémentaires" (on n'attend pas toutes les solutions!) ou si elles sont des conditions nécessaires imposées par le système initial!

Merci pour vos lumières

Bonne soirée
Paul
JLT
Re: Devinette
il y a six années
avatar
Petite remarque : si $(a',\ldots,h')$ est un triplet octuplet de solutions entières du système initial non nécessairement constitué de nombres premiers, alors pour tous $p$ et $k$ entiers, $(p+ka',\ldots,p+kh')$ en est un autre.

La solution de kolotoko correspond à $(a',\ldots,h')=(0,11,12,23,2,5,18,21)$, $p=37$ et $k=2$.
Re: Devinette
il y a six années
avatar
@JLT : tu veux dire un octuplet, non ?
Re: Devinette
il y a six années
Bonjour,

@pdepasse : Il existe des solutions "non symétriques" au système donné, par exemple (0,74,86,204) et (14,36,114,200).

On peut ensuite chercher des solutions en nombres premiers par le procédé indiqué par JLT (qui est un théorème de Michel Frolov : [archive.numdam.org])

Cordialement,
rosab
Re: Devinette
il y a six années
Bonjour,

merci pous lumières!

Vu l'exemple de Rosab dans le précédent message, on peut donc espérer une solution, en premiers, "non symétrique", ce serait joli.
Naturellement je continue de me poser la question: est-ce que vous n'avez cherché que des solutions "symétriques" ou est-ce un hasard si les trois vôtres le sont?
J'ai, sans succès, tenté de voir si "a+d = b+c" impliquait "e+h = f+g ", autrement dit si des solutions "symétriques en (a,b,c,d)" étaient nécessairement "symétriques" 'en l'octuplet.

Cordialement
Paul
kolotoko
Re: Devinette
il y a six années
Bonsoir,

il est tout à fait normal que les trois premiers exemples soient "symétriques" puisqu'ils sont issus d'une même formule à savoir :

A(0 , 7+c , 4+2c, 11+3c) + B = = A(2,1+c ,10+2c , 9+3c) + B

avec : A = 2, B = 37 , c = 4

A = 84, B = 13 ,c = 0

A = 30030, B = 23143, c = 0

bien cordialement

kolotoko
Re: Devinette
il y a six années
Fallait le voir!
Cordialement
Paul
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