Un théorème de Morley

Morley n'a pas fait que de la géométrie théorème de Morley, il s'est aussi intéressé à l'arithmétique, dont voici un résultat que je trouve spectaculaire.

Soit un nombre premier $p>3$. Montrer que : $${p-1 \choose \frac 1 2(p-1) } \equiv (-1)^{\frac 1 2(p-1)}}4^{p-1} \pmod {p^3}$$