Curiosité avec les nombres premiers.

fredrick
fredrick
dans Arithmétique
J'ai trouve quelque chose d'amusant avec les nombres premiers, je ne sais pas si c'est connu mais j'aimerai savoir ce que vous en pensez.

J'ai remarqué que lorsqu'on ajoute l'inverse de 2 (0,5) à 3/2 (1,5), on obtient le nombre 2. Alors j'ai continué avec l'inverse de 3 (0,33333) à 5/3, on obtient aussi 2.
Par contre, c'est après que ça se complique un peu, pour l'inverse de 5 (0,2) il faut faire 19/5 pour obtenir 4, c'est comme si une paire de nombres premiers étaient liés entre eux pour former un entier.

Pour l'instant je n'ai fait les calculs que jusqu'au nombre premier 23 car je n'ai pas mon ordinateur et je suis obligé de faire les calculs à la main, je vous laisse le tableau en dessous :

2 3/2 => 2
3 5/3 => 2
5 19/5 => 4
7 13/7 => 2
11 41/11 => 4
13 103/13 => 8
17 67/17 => 4
19 37/19 => 2
23 137/23 => 6

Est-ce que vous trouvez ça intéressant ?

Réponses

  • Siméon
    Siméon
    Ce serait encore plus intéressant avec une démonstration :)
    Vois-tu le lien avec le théorème de la progression arithmétique de Dirichlet http://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_de_la_progression_arithmétique ?
  • fredrick
    fredrick
    Desole je n'ai jamais ete tres doue en math, je n'ai aucune idee de comment faire une demonstration :)
  • Siméon
    Siméon
    La première étape, c'est d'avoir un énoncé précis à démontrer.
    Essayons : pour tout entier premier $p$ ...
  • Bruno
    Bruno
    Dans la liste : a écrit:
    11 41/11 => 4

    me paraît douteux : \[\frac1{11} + \frac{41}{11} = \frac{42}{11} \neq 4\]sauf erreur.

    Bruno
  • fredrick
    fredrick
    Oui en effet c'est 43 au lieu de 41, erreur de copie.

    43/11 = 3,909090909
    1/11 = 0,0909090909

    = 4

    Simeon pour la demonstration je n'ai pas beaucoup de temps, j'essayerai de faire ca plus tard.
  • Bruno
    Bruno
    Oui oui, 43 d'accord :D, j'aurais du être plus attentif.

    Bruno
  • chamath
    chamath
    la conjecture est (si j'ai bien compris)

    pour tout nombre premier $ \ p_0\ $ donné
    ALORS
    il existe un nombre premier $ \ p_1\ $ et un entier naturel non nul n
    TEL QUE
    $1\ +\ p_1\ =\ np_0$ et donc on vérifie:

    $\displaystyle \frac {1}{p_0}\ +\ \frac {p_1}{p_0}\ =\ n$

    mais je ne sais pas si elle est vraie.
  • Bruno
    Bruno
    Sous cette forme, elle est vrai pour tout nombre premier strictement supérieur à $2$ : si $n > 2$ est premier, alors $n + 1$ est pair et divisible par $2$.

    Bruno

    J'ai caché le message de chamath que ce dernier avait barré, auquel tu reponds --JLT
  • fredrick
    fredrick
    J'ai une autre conjecture qui vient completer la premiere, il existe un troisieme nombre p3 tel que p3-1/p0 = n2

    Par exemple :
    1/7 = 0,1428571
    29/7= 4,1428571

    4,14.. - 0,14.. = 4
  • l.g
    l.g
    je pense qu'il suffit de trouver le bon $2n$ afin de trouver $p$

    par exemple pour pi = 29
    a) on calcul son inverse x
    b) on test les $2n$ en retranchant x, ce qui donne y et y * 29 donne un entier soit : premier ou pas..

    par ex : (6 - (1/29) ) * 29 = 173
    alors que (2 - (1/29) ) * 29 = 57
    ..etc
  • Bruno
    Bruno
    C'est du même calibre que la précédente. tu prends un nombre premier strictement plus grand que 2, tu lui ôte 1 et tu as un nombre pair. Dans tes deux conjectures il faut enlever cette trivialité.

    Bruno
  • Siméon
    Siméon
    @Bruno : à propos du message http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,863527,863555#msg-863555

    Soit je ne comprends pas à quelle conjecture tu fais référence, soit je ne comprends pas ce que tu veux dire. Pourrais-tu détailler ?
  • chamath
    chamath
    Bonjour bruno j'ai un petit problème avec ta réponse
    (la fatigue ou je suis trop nul)
    s'il te plait peut tu relire la conjecture tel que je l'ai compris?
    puis ensuite ta réponse
    je sais pas ...
    enfin je verrai ça un autre jour sinon...
    donc en me relisant
    pour tout nombre premier $p_0$ il existe un entier naturel non nul n tel que
    $np_0\ -\ 1$ est premier
    ça correspond au premier $\ np_0\ -\ 1\ =\ p_1$
    et donc à :
    $\displaystyle \frac {1}{p_0}\ +\ \frac {p_1}{p_0}\ =\ n$

    pour moi enfin mon niveau je trouve ça dur
    mais je trouve que ça colle pas avec ta réponse
    merci de toute façon ...
  • Bruno
    Bruno
    Effectivement, je suis parti sur la conjecture de chamat que j'avais mal lue. Ce que j'ai écrit n'est donc pas pertinent d'après le texte de chamat.

    Bruno
  • chamath
    chamath
    ok Bruno
    moi je dirai intuitivement qu'elle est vrai
    mais de là à la démontrer...
    merci à tous et aussi l'auteur du fil Fredrick
    bonne continuation
  • Siméon
    Siméon
    @chamath : J'ai déjà donné la clef de la preuve plus haut http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,863527,863533#msg-863533
  • chamath
    chamath
    Grand merci Siméon
    je vais lire ça à tête reposée (aujourd'huit c'est pas possible je cale vite surtout avec l'arithmétique)

    c'est une tête ce Monsieur Dirichlet car pour faire de l'arithmétique en pro faut vraiment avoir du sang froid!

    le sang froid c'est plus qu'une simple qualité

    sang froid + travail = réussite dans tous les domaines donc aussi en arithmétique

    c'est pas mon niveau mais en tout cas grand merci
  • fredrick
    fredrick
    J'ai repris ca vite fait cet apres midi et je me suis rendu compte qu'en fait ce n'est pas deux nombres lies, mais une suite, par exemple avec 7 :

    (p0 x n)-1=p1

    (7x2)-1=13
    (7x6)-1=41
    (7x12)-1=83
    (7x14)-1=97
    (7x20)-1=139
    (7x24)-1=167
    ...

    (p0 x n)+1=p2

    (7 x 4)+1=29
    (7 x 6)+1=43
    (7 x 10)+1=71
    (7 x 16)+1=113
    ...

    Je ne pense pas que ca est beaucoup d'utilite mais c'est interessant quand meme.
  • leonidasse
    leonidasse
    Bonjour à tous
    sur cette conjecture on peut même ajouter que l'entier n est pair pour p0 supérieur ou égal à 3.
    Je me trompe!
  • Mike.p
    Mike.p
    Bonjour,
    chamath a écrit:
    pour tout nombre premier $ \ p_0\ $ donné
    ALORS
    il existe un nombre premier $ \ p_1\ $ et un entier naturel non nul n TEL QUE
    $1\ +\ p_1\ =\ np_0$ et donc on vérifie:
    $\displaystyle \frac {1}{p_0}\ +\ \frac {p_1}{p_0}\ =\ n$

    N'a t on pas
    $1\ +\ p_1\ =\ np_0$ <=> $\displaystyle \frac {1}{p_0}\ +\ \frac{p_1}{p_0}\ =\ n$
    par construction , que p0 et p1 soient premiers ou non ?

    Quand il s'agit de nombres premiers, ca va plus vite , n a des chances d'être petit en rapport à p0 mais je ne crois pas à un plafonnement bas , genre 4 ou 8
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