Curiosité avec les nombres premiers.
dans Arithmétique
J'ai trouve quelque chose d'amusant avec les nombres premiers, je ne sais pas si c'est connu mais j'aimerai savoir ce que vous en pensez.
J'ai remarqué que lorsqu'on ajoute l'inverse de 2 (0,5) à 3/2 (1,5), on obtient le nombre 2. Alors j'ai continué avec l'inverse de 3 (0,33333) à 5/3, on obtient aussi 2.
Par contre, c'est après que ça se complique un peu, pour l'inverse de 5 (0,2) il faut faire 19/5 pour obtenir 4, c'est comme si une paire de nombres premiers étaient liés entre eux pour former un entier.
Pour l'instant je n'ai fait les calculs que jusqu'au nombre premier 23 car je n'ai pas mon ordinateur et je suis obligé de faire les calculs à la main, je vous laisse le tableau en dessous :
2 3/2 => 2
3 5/3 => 2
5 19/5 => 4
7 13/7 => 2
11 41/11 => 4
13 103/13 => 8
17 67/17 => 4
19 37/19 => 2
23 137/23 => 6
Est-ce que vous trouvez ça intéressant ?
J'ai remarqué que lorsqu'on ajoute l'inverse de 2 (0,5) à 3/2 (1,5), on obtient le nombre 2. Alors j'ai continué avec l'inverse de 3 (0,33333) à 5/3, on obtient aussi 2.
Par contre, c'est après que ça se complique un peu, pour l'inverse de 5 (0,2) il faut faire 19/5 pour obtenir 4, c'est comme si une paire de nombres premiers étaient liés entre eux pour former un entier.
Pour l'instant je n'ai fait les calculs que jusqu'au nombre premier 23 car je n'ai pas mon ordinateur et je suis obligé de faire les calculs à la main, je vous laisse le tableau en dessous :
2 3/2 => 2
3 5/3 => 2
5 19/5 => 4
7 13/7 => 2
11 41/11 => 4
13 103/13 => 8
17 67/17 => 4
19 37/19 => 2
23 137/23 => 6
Est-ce que vous trouvez ça intéressant ?
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Réponses
Vois-tu le lien avec le théorème de la progression arithmétique de Dirichlet http://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_de_la_progression_arithmétique ?
Essayons : pour tout entier premier $p$ ...
me paraît douteux : \[\frac1{11} + \frac{41}{11} = \frac{42}{11} \neq 4\]sauf erreur.
Bruno
43/11 = 3,909090909
1/11 = 0,0909090909
= 4
Simeon pour la demonstration je n'ai pas beaucoup de temps, j'essayerai de faire ca plus tard.
Bruno
pour tout nombre premier $ \ p_0\ $ donné
ALORS
il existe un nombre premier $ \ p_1\ $ et un entier naturel non nul n
TEL QUE
$1\ +\ p_1\ =\ np_0$ et donc on vérifie:
$\displaystyle \frac {1}{p_0}\ +\ \frac {p_1}{p_0}\ =\ n$
mais je ne sais pas si elle est vraie.
Bruno
J'ai caché le message de chamath que ce dernier avait barré, auquel tu reponds --JLT
Par exemple :
1/7 = 0,1428571
29/7= 4,1428571
4,14.. - 0,14.. = 4
par exemple pour pi = 29
a) on calcul son inverse x
b) on test les $2n$ en retranchant x, ce qui donne y et y * 29 donne un entier soit : premier ou pas..
par ex : (6 - (1/29) ) * 29 = 173
alors que (2 - (1/29) ) * 29 = 57
..etc
Bruno
Soit je ne comprends pas à quelle conjecture tu fais référence, soit je ne comprends pas ce que tu veux dire. Pourrais-tu détailler ?
(la fatigue ou je suis trop nul)
s'il te plait peut tu relire la conjecture tel que je l'ai compris?
puis ensuite ta réponse
je sais pas ...
enfin je verrai ça un autre jour sinon...
donc en me relisant
pour tout nombre premier $p_0$ il existe un entier naturel non nul n tel que
$np_0\ -\ 1$ est premier
ça correspond au premier $\ np_0\ -\ 1\ =\ p_1$
et donc à :
$\displaystyle \frac {1}{p_0}\ +\ \frac {p_1}{p_0}\ =\ n$
pour moi enfin mon niveau je trouve ça dur
mais je trouve que ça colle pas avec ta réponse
merci de toute façon ...
Bruno
moi je dirai intuitivement qu'elle est vrai
mais de là à la démontrer...
merci à tous et aussi l'auteur du fil Fredrick
bonne continuation
je vais lire ça à tête reposée (aujourd'huit c'est pas possible je cale vite surtout avec l'arithmétique)
c'est une tête ce Monsieur Dirichlet car pour faire de l'arithmétique en pro faut vraiment avoir du sang froid!
le sang froid c'est plus qu'une simple qualité
sang froid + travail = réussite dans tous les domaines donc aussi en arithmétique
c'est pas mon niveau mais en tout cas grand merci
(p0 x n)-1=p1
(7x2)-1=13
(7x6)-1=41
(7x12)-1=83
(7x14)-1=97
(7x20)-1=139
(7x24)-1=167
...
(p0 x n)+1=p2
(7 x 4)+1=29
(7 x 6)+1=43
(7 x 10)+1=71
(7 x 16)+1=113
...
Je ne pense pas que ca est beaucoup d'utilite mais c'est interessant quand meme.
sur cette conjecture on peut même ajouter que l'entier n est pair pour p0 supérieur ou égal à 3.
Je me trompe!
N'a t on pas
$1\ +\ p_1\ =\ np_0$ <=> $\displaystyle \frac {1}{p_0}\ +\ \frac{p_1}{p_0}\ =\ n$
par construction , que p0 et p1 soient premiers ou non ?
Quand il s'agit de nombres premiers, ca va plus vite , n a des chances d'être petit en rapport à p0 mais je ne crois pas à un plafonnement bas , genre 4 ou 8