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quotient de Herbrand

Envoyé par webern 
quotient de Herbrand
il y a cinq années
Bonjour
J'ai quelques difficultés avec l'exercice suivant :
Soit $G$ un groupe cyclique d'ordre $p$ :

1) Montrez qu'il existe un $G$-module $M$ tel que le quotient de Herbrand $h(G,M)$ existe : on prend $M=\Z$ l'ensemble des entiers relatifs et on obtient $h(G,M)=p$ en appliquant la définition de $h(G,M)$.

2) Montrez que si $h(G,M)$ est défini, alors c'est une puissance de $p$ : je me doute qu'il faut utiliser le fait que les groupes de cohomologie sont de $p$-torsion puisque $G$ est de cardinal $p$, mais est-ce que je peux ainsi affirmer que ce sont des pro $p$-groupes, et donc que le quotient, s'il est défini, est nécessairement un $p$-groupe ?

3) Montrez que pour tout $n$ entier, il existe un $G$-module $M$ tel que $h(G,M)$ soit égal à $pn$ : là je suis vraiment peu sûr de moi : si $n$ est un entier strictement positif, je serais tenté de considérer comme $G$-module $\Z\times\Z\times \cdots\times\Z$ ($n$ fois l'ensemble des nombres relatifs), est-ce juste ? Comment peut-on procéder pour un $n$ entier négatif ?
Merci par avance à ceux qui pourront m'aider
webern

[Merci à Omega pour la traduction en LaTeX. AD]
Re: quotient de Herbrand
il y a cinq années
1) OK.
2) Pour moi le quotient de Herbrand est défini lorsque les groupes de cohomologie sont finis, et donc en l'occurrence des $p$-groupes.
3) Pour voir que $h(G,\Z^n)=p^n$, il suffit d'utiliser la multiplicativité du quotient de Herbrand dans les suites exactes, en procédant par récurrence sur $n$. Et pour les entiers négatifs, regarder l'idéal de $\Z[G]$ engendré par $1-g$ (pour $g$ un générateur de $G$): c'est le quotient du morphisme de $G$-modules $\Z[G]\to\Z$, donc…
Re: quotient de Herbrand
il y a cinq années
Bonsoir,
merci pour la réponse. Effectivement j'avais mal lu mon cours, il y est bien indiqué que le quotient de Herbrand n'est défini que si les groupes de cohomologie (modifiés) sont eux-mêmes finis.

Bonne soirée

Webern
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