la somme des diviseurs d'un nombre

ramo mora
ramo mora
dans Arithmétique
salut
jes cherche la formule de la somme des diviseurs d'un nombre .
avec un exmple
mrc (tu)

Réponses

  • Poirot
    Poirot
    Bonjour,

    Il n'y a pas de formules générales, voir ce lien http://fr.wikipedia.org/wiki/Somme_des_diviseurs
  • enonce
    enonce
    Poirot a écrit:
    Il n'y a pas de formules générales
    Si, il y en a, mais comme souvent en théorie des nombres, elles sont en général inutilisables. Par exemple
    $$\sigma(n) = \sum_{k=1}^n \int_0^k \cos \left( \frac{2 n \pi \lfloor x+1 \rfloor}{k} \right) \, \textrm{d}x$$
    où $\lfloor t \rfloor$ est la partie entière du réel $t$.

    Comme à chaque fois en théorie multiplicative, la fonction $\sigma$ est entièrement déterminée par les deux conditions suivantes :

    (i) pour tout premier $p$ et tout $\alpha \in \N$, $\sigma(p^\alpha) = \dfrac{p^{\alpha+1}-1}{p-1}$ ;

    (ii) $\sigma$ est multiplicative (en particulier, $\sigma(1)=1$).
  • Fin de partie
    Fin de partie
    Il n'y a pas de formules générales a écrit:

    Je ne comprends pas cette assertion, surtout avec ce qui suit.

    Si on est capable de factoriser un nombre en produit de puissances de nombres premiers alors on peut connaître cette somme comme déjà indiqué ci-dessus (moins clairement)
  • enonce
    enonce
    Fin de Partie a écrit:
    Je ne comprends pas cette assertion
    Ne jouons pas sur les mots.

    Je pense que Poirot voulait signifier qu'il n'y a pas d'identité donnant directement $\sigma(n)$ en fonction de $n$.

    J'ai répondu qu'il y en avait au moins une, mais il faut bien reconnaître qu'elle n'a pas de grande utilité en-dehors d'une certaine esthétique.

    C'est assez souvent le cas avec ces fonctions arithmétiques : souvenons-nous de certaines identités donnant $\pi(n)$, la plupart étant d'ailleurs fondées sur le théorème de Wilson, les condamnant ainsi à ne pas servir à grand-chose.
  • denise chemla
    denise chemla
    Bonsoir,
    Pouvez-vous m'indiquer où trouver l'origine de la formule fournie par Enonce ?
    Est-ce que cette formule pour la somme des diviseurs est démontrée ou bien est-elle conséquence d'une conjecture ?
    Cordialement,
    Denise Chemla
  • enonce
    enonce
    Bonjour,

    On peut trouver cette identité dans l'ouvrage suivant :

    J-M. de Koninck & A. Mercier, Introduction à la théorie des nombres, Modulo Éditeur, 1994, Exercice 58 page 86.

    Il s'agit d'une formule démontrée, puisqu'en exercice, mais sans aucun intérêt sur le plan pratique.
  • denise chemla
    denise chemla
    Merci beaucoup, enonce, j'essaierai de voir cette référence.

    Pourriez-vous m'expliquer (explication à un niveau néophyte en analyse) pourquoi elle ne présente aucun intérêt parce que j'ai écrit deux petites notes dont les adresses suivent et dans lesquelles je l'utilisais ?

    http://denise.vella.chemla.free.fr/somme-div-cos.pdf

    http://denise.vella.chemla.free.fr/primesommecos.pdf

    Cordialement,
    Denise Vella-Chemla
  • enonce
    enonce
    On peut effectivement toujours s'amuser avec ce type d'identité, mais je me plaçais dans le cadre des estimations de ces fonctions arithmétiques, qui ont toutes le bon goût d'être extrêmement erratiques.

    Si l'on majore trivialement le cosinus par $1$, on voit très vite que l'identité ci-dessus fournit une majoration de la forme $\sigma(n) \ll n^2$, très loin de son ordre maximal réel qui est de la forme $\sigma(n) \ll n \log \log n$.

    C'est en cela que je disais que ces formules n'ont aucun intérêt.
  • denise chemla
    denise chemla
    Merci de votre réponse, Enonce, elle est claire.

    C'est chouette que la formule soit démontrée, gravée dans le marbre, donc.

    Je continuerai d'essayer de comprendre pourquoi en additionnant tous ces cosinus (que l'on peut séparer en différents ensembles et dans chaque ensemble, les angles des cosinus sont multiples les uns des autres), dans le cas des nombres premiers, la somme globale vaut 0 et dans le cas des composés, elle vaut autre chose.

    En tout cas, votre réponse aura eu le mérite de me faire connaître l'association québecoise Nez rouge de Jean-Marie De Koninck et c'est une bonne chose.

    DV
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