Prouver que PGCD (x+y, xy) =1
dans Arithmétique
Salut,
Si on a PGCD ( x, y ) = 1
Comment peut ont prouver que PGCD (x+y, xy)=1 ?
Merci
Si on a PGCD ( x, y ) = 1
Comment peut ont prouver que PGCD (x+y, xy)=1 ?
Merci
Réponses
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Écris une relation de Bezout entre $x$ et $y$, et élève au carré. En transformant un peu, tu peux réécrire tout ça sous forme d'une relation de Bezout entre $x+y$ et $xy$.
Autre méthode : Si $d$ divise $x+y$ et $xy$, alors il divise $x^2$ et $y^2$ (pourquoi ?). Or, $x^2$ et $y^2$ sont premiers entre eux car $x$ et $y$ le sont. D'où le résultat. -
Autre méthode : soit $p$ un nombre premier divisant à la fois $x+y$ et $xy$, etc.
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Ok merci
Donc si je fais comme sa c'est bon ?
PGCD (x+y , xy ) = d
d|(x+y) et d|xy donc d|x et d|y
Donc PGCD (x,y) = d = 1 -
Qu'est-ce qui justifie le pasage de $d|(x+y)$ et $d|xy$ à $d|x$ et $d|y$ ?
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bah si d divise l'addion de x+y il divise egalement x et y non ?
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Donc 2 divise 5 et 7 ?Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
-- Schnoebelen, Philippe -
Donc pour toi, $2$ divise $1+1$ donc $2$ divise $1$ ?
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Vous êtes mesquins, on ne va pas rouvrir ici le débat sur l'implication
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On en a déjà parlé, il y a deux démonstrations selon que l'anneau est factoriel ou bézoutien.
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Il est alors aisé d'établir que $x^3 y+2 x^2 y^2+x^3 y^2+x y^3+x^2 y^3$ et $x+y+xy+x^2y+xy^2$ sont aussi premiers entre eux.
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@Altaiir8 : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,896405,896415#msg-896415
Les cinq dernières réponses signifient que non. -
bah si d divise l'addion de x+y a écrit:
Il manque quelque chose dans cette phrase ou bien il y a quelque chose en trop B-)-
Suivant la réponse à cette question, la phrase peut être vraie ou fausse. -
Si $ax+by=1$, la troisième ligne ci-dessous est nulle. Il reste "un Bezout" avec $(x+y)$ et $xy$.
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Oula j'ai en effet dis n'importe quoi ^^ mais alors comment puis je repondre ? j'ai pas tres bien compris
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Plusieurs solutions ont été proposées.
Pour détailler un peu plus la méthode proposée par JLT:
$Pgcd(x,y)=1$ on suppose, par hypothèse, que $p$ est un diviseur premier commun à $x+y$ et $xy$
Si $p$ divise $xy$ peut-il diviser $x$ et $y$ ?
Une fois qu'on a répondu à cette question on peut en tirer une conséquence du fait que $p$, par hypothèse, divise $x+y$
Et on arrive ainsi à une contradiction.
C'est sans doute la méthode la plus "naturelle". -
Ok merci, si par exemple je fais comme ça, est-ce que c'est correct ?
PGCD (x,y) = 1
1 divise x et 1 divise y donc 1 divise (x+y)
PGCD (x, x+y) = 1 et PGCD (y, x+y) = 1
Vu que x+y est premier avec x et avec y il est donc premier avec leur multiplication xy
PGCD (xy, x+y) = 1 -
J'ai retrouvé la discussion à ce sujet il y a cinq mois :
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,858857,859056#msg-859056
Deux démonstrations : factorielle ou bézoutienne, je ne répète pas.
Bonne soirée.
RC -
si par exemple je fais comme [large]ça[/large], est ce que c'est correct ?
PGCD (x,y) = 1
1 divise x et 1 divise y donc 1 divise (x+y)
PGCD (x, x+y) = 1 et PGCD (y, x+y) = 1
Quel est le rapport entre "1 divise (x+y)" et la ligne suivante ?
Sinon, OK pour le reste. -
Je n'ai strictement rien compris à la réponse d'Altaïr.
N'est-ce pas plus clair de la sorte:
$PGCD(x,y)=1$ et supposons qu'il existe $p$ premier qui divise $xy$ et $x+y$.
$p$ premier divise $xy$ il divise donc $x$ ou $y$ (voire les deux), mais $p$ ne peut pas diviser $x$ et $y$ autrement $PGCD(x,y)\geq p$ ce qui est exclus par hypothèse.
On peut donc supposer que $p$ divise $x$.
$p$ divise donc $x$ et par hypothèse divise $x+y$ donc $p$ divise $y$ ce qu'on sait être exclus.
Conclusion: il n'existe pas de nombre premier $p$ qui divise $x+y$ et $xy$ ainsi $PGCD(xy,x+y)=1$ -
Merci
-
Sinon pour en revenir à ce que j'ai fais, en gros :
PGCD (x,y) = 1
1 divise x et 1 divise y donc 1 divise (x+y)
puisque x et x+y peuvent tout 2 etre divisé par 1 ils sont donc premier entre eux
meme chose pour y et x+y
donc PGCD (x , x+y) = 1 et PGDC (y, x+y) = 1
vu que x+y est premier avec x et avec y il est premier avec leur multiplication xy -
Ben voyons.
1 divise 2 et 4 , et bien sûr 2 et 4 sont premiers entre eux.
Tu connais beaucoup d'entiers qui ne sont pas divisibles par 1? -
Fais-tu la différence entre les deux affirmations:
1 divise x et y
et d'autre part:
1 est le seul diviseur de x et y
? -
Ben on a PGCD ( x, y ) = 1 donc logiquement ça ne peut pas être 2 et 4 les nombres x et y doivent être premiers entre eux sinon ce que j'ai dit ne s'applique évidemment pas.
-
pgcd(a,b)=1
est équivalent à dire que:
1) le seul diviseur positif commun à a et b est 1.
est aussi équivalent à dire que:
2) il n'existe aucun nombre premier (positif) qui divise à la fois a et b
est aussi équivalent à:
3) il existe u et v entiers tels que:
au+bv=1
(cette équivalence est le théorème dit de Bézout)
PS:
Pour résoudre ton problème la version 2) semble la plus accessible et la moins technique. -
Cidrolin écrivait:
> Il est alors aisé d'établir que $x^3 y+2 x^2 y^2+x^3 y^2+x y^3+x^2 y^3$ et $x+y+xy+x^2y+xy^2$
> sont aussi premiers entre eux.
Si $pgcd(x;y)=1$ alors $pgcd(x+y;xy)=1$ donc $pgcd(x+y+xy;xy(x+y))=1$
qui donne enfin : $pgcd(x+y+xy+xy(x+y);(x+y+xy)xy(x+y))=1$. -
On vient de faire cet exo en classe avec la question de cidrolin.
Merci -
Un essai moins compliqué que mon précédent :
(1): Soit $d:=PGDC(xy,x+y)$
(2): $d$ divise $xy$ et $x(x+y)$, donc $d$ divise $(x^2+xy)-xy=x^2$
(3): $d$ divise $y^2$ (preuve analogue)
(4): (2) et (3) impliquent que $d$ divise $PGDC(x^2,y^2)$
(5): Il existe $a$, $b$ tels que $ax+by=1$ car $PGDC(x,y) = 1$ (Bezout)
(6): $1= (ax+by)^3 = (a^3x+3a^2by)x^2+(3ab^2x+b^3y)y^2$ donc $PGDC(x^2,y^2)=1$.
(7): (4) et (6) ... -
Bonsoir Soland.
heu... je vois bien comment x² apparaît à partir de xy et x(x+y); mais y² ??(3): $ d$ divise $ y^2$ (preuve analogue)
Cordialement. -
Pas bien réveillé, gerard0 ?
-
Je prends le sujet en route, JLT.
J'ai simplement été surpris pas le "preuve analogue". Car si x²=x(x+y)-xy est évident, y² = ?? ne l'est pas !
Ah si, je viens de voir le passage de la ligne 1 à la ligne 2.
Plus de souci !
Cordialement. -
Bonsoir gerard0,
Il suffit de reprendre (2) (du début) et d'échanger les rôles de $x$ et de $y$. -
Merci Philippe !
-
Merci, Soland, de me donner un instant l'impression d'avoir un cerveau fonctionnel en ce matin brumeux : généralisation pour généralisation, pourquoi s'arrêter à 3 variables ?
Disons que $x_1,\dots,x_n$ sont premiers entre eux dans leur ensemble et nommons $s_0=1$ et $s_1,\dots,s_n$ les polynômes symétriques élémentaires -- définis par exemple par : $\prod_{i=1}^n(X-x_i)=\sum_{k=0}^n(-1)^ks_kX^{n-k}$. Du fait que les $x_i$ sont les racines de ce polynôme, un diviseur premier commun des $s_i$ ($i\ge1$) diviserait aussi $x_i^n$ pour tout $i$. Donc $s_1$,..., $s_n$ sont premiers entre eux.
Mais bien sûr, tout est déjà dans le calcul précédent avec $n=3$. -
Cher Jer,
Joyeux dimanche aussi.
As-tu pensé à $\prod_{i=1}^n(X{\blue +}x_i)=\sum_{k=0}^ns_kX^{n-k}$ ?
Cordialement. -
Preuve formelle de la généralisation, avec les – de Jer.
-
@ soland
Référence siouplait ?
Bonne journée.
RC -
Cette page est une bonne référence.
J'en profite pour terminer la preuve différemment. Si $p$ est un facteur premier commun aux $s_i$, il divise donc chaque $x_i^n$ donc, par le lemme de Gauss, il divise chaque $x_i$. -
A quels anneaux cette preuve s'élargit-elle ?
-
Bonjour,
Je reviens à la question initiale.
Je vais utiliser les deux propriétés suivantes qui sont assez faciles à démontrer.
P1 : pgcd ( a , b ) = pgcd ( a , b + k a )
P2 : si pgcd ( a , b ) = 1 et pgcd ( a , c ) = 1 alors pgcd ( a , b c ) = 1 ( réciproque vraie )
pgcd ( x , x + y ) = pgcd ( x , x + y - x ) = pgcd ( x , y ) = 1
pgcd ( y , x + y ) = pgcd ( y , x + y - y ) = pgcd ( y , x ) = 1
pgcd ( x , x + y ) = 1 et pgcd ( y , x + y ) = 1 donc pgcd ( x y , x + y ) = 1
Cordialement, TG. -
Pour énoncer le truc dans un anneau quelconque, il vaut mieux dire:
si l'idéal engendré par $\{a,b\}$ contient $1$ alors il en va de même de l'idéal engendré par $\{ab,a+b\}$.
preuve: un idéal maximal $M\supseteq \{ab,a+b\}$ rencontre $\{a;b\}$ car il est premier, donc $\supseteq \{a;b\}$, puisqu'il contient $a+b$.
C'est donc valable dans tout anneau commutatif unitaire.
Après, on pourrait effectivement s'intéresser au "pgcd" canal historique dans les anneaux non de Bézout, ie un diviseur commun multiple de tous les autres diviseurs communs... Reste à voir quels anneaux vérifient alors l'énoncé.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Pour finir, dans l'anneau $\Z[X,Y] / (X+Y, XY)$, l'élément $X^2$ (nul) divise $X+Y$ (qui est nul) et $XY$ (idem), mais il ne divise pas $X$ (sauf erreur).
soit maintenant un anneau $A$ où les seuls diviseurs communs à $a,b$ sont inversibles. En va-t-il forcément de même pour les communs à $a+b,ab$? Réponse: non, si on arrive à prouver que l'anneau $\Z[X,Y,Z,U,V] / (X+Y-UZ, XY-VZ)$ fournit un contre-exempleAide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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