exercice: non premiers consécutifs

ayman00
ayman00
dans Arithmétique
Bonsoir
Je cherche à démontrer qu'il existe 1000 nombres entiers successifs où n'apparaît aucun nombre premier.
Pourriez-vous m'aider à le démonter ?
Et merci.

Réponses

  • Fin de partie
    Fin de partie
    factorielle est ton amie !
  • jean lismonde
    jean lismonde
    bonjour

    c'est une conséquence du théorème d'Hadamard (conjecturé par Gauss et Legendre)
    concernant la quantité $\Pi(n)$ des nombres premiers jusqu'à l'entier $n$

    $\Pi(n) = \int_2^n\frac{dt}{lnt}$

    en termes probabilistes on peut dire que la probabilité que l'entier $m$ soit premier
    est asymptotiquement équivalente à $\frac{1}{ln(m)}$

    dans ces conditions au delà de l'entier $22026$ la fréquence des entiers premiers tombe à moins de 10%
    et donc au delà de ce seuil il est certain de trouver une tranche de dix entiers sans nombre premier

    au delà de $3.10^{43}$ la fréquence tombe à moins de 1 %
    et donc au delà de ce seuil il est certain de trouver une tranche de cent entiers sans nombre premier

    au delà de $2.10^{434}$ la fréquence tombe à moins de 1 pour mille et donc au delà de ce seuil
    il est certain de pouvoir trouver une tranche de mille entiers consécutifs sans nombre premier

    chacun aura compris qu'il est possible (et même probable) de déceler avant ce seuil
    une tranche de mille entiers consécutifs sans nombre premier

    mais à partir de l'entier $2.10^{434}$ c'est une certitude

    cordialement
  • Fin de partie
    Fin de partie
    Jean:

    Comment à partir d'un calcul de probabilité tu obtiens des certitudes?
  • aléa
    aléa
    Ce que dit Jean n'est pas très clair, mais il n'a pas complètement tort: de $\Pi(n) \sim \int_2^n\frac{dt}{lnt}$, on peut déduire le résultat demandé (même si c'est un marteau-pilon).
  • enonce
    enonce
    Aléa a écrit:
    même si c'est un marteau-pilon

    Un marteau-pilon ? Je dirais plutôt un bulldozer ou un char Leclerc...

    Faut quand même pas exagérer : utiliser le TNP (mal écrit, de surcroît) pour répondre à cette question d'arithmétique élémentaire (c'est un exercice que l'on peut donner en terminale S spécialité), c'est franchement à déconseiller et à oublier.

    L'indication de Fin de Partie est largement suffisante.
  • aléa
    aléa
    @enonce: je réponds à Fin de Partie, je ne conseille rien.

    Par ailleurs, je plaide depuis longtemps pour qu'on aie des classifications de forum qui imposent que le demandeur précise à quel niveau il se situe (c'est dans la charte, mais ce n'est pas respecté).

    Bien sûr, si ayman00 est en licence ou en prépa (ce qui est le plus probable) et qu'il donne la réponse de Jean, il se fera dézinguer à juste titre, mais être capable de déduire le résultat énoncé du TNP ne me semble pas, en soi, un exercice si idiot.

    Quant à Jean, c'est quelqu'un qui n'est pas avare de transmettre ce qu'il sait, et on ne peut guère le lui reprocher.
    Le problème; c'est que le rapport qu'il entretient avec les objets mathématiques est celui d'un amateur qui observe les maths de l'extérieur, sans se sentir lié par les règles de la rigueur du raisonnement; et qu'il ne prend pas la peine d'en prévenir ses lecteurs.
  • enonce
    enonce
    Que te dire ?...

    Tu dois connaître Jean Lismonde mieux que moi et, d'ailleurs, mon propos ne porte pas sur l'intervenant lui-même (que je me garderai bien de juger), mais sur sa manière de répondre à la question posée, tant sur le fond que sur la forme.

    Sur le fond, laisser croire qu'il est nécessaire d'utiliser un tel résultat pour une question si classique ne va pas aider le demandeur. Je suis d'accord pour dire qu'il aurait dû signaler son niveau, mais sa question est tellement connue qu'on sait :

    (i) qu'elle peut être demandée au niveau L1 ;
    (ii) qu'il n'y a pas besoin d'outil supérieur à ce niveau pour y répondre.

    Sur la forme, il faut aussi penser à ceux qui vont lire cet échange sans connaître nécessairement l'arithmétique. Les notations, standardisées depuis des lustres, se doivent d'être écrites correctement (ex : le nombre de nombres premiers $\leqslant n$ est noté $\pi(n)$ et non $\Pi(n)$, cette dernière notation désignant une autre fonction). D'autre part, nous ne sommes plus au XVIIIè siècle et, amateur ou professionnel, écrire $\pi(n) = \textrm{Li}(n)$ est une erreur qu'il convient de signaler, me semble-t-il.
  • Fin de partie
    Fin de partie
    Je n'ai pas compris en quoi Jean répond précisément à la question posée.
    J'avais plutôt l'impression qu'il utilisait un argument heuristique qui se conclut par: la probabilité de trouver 1000 nombres consécutifs non premiers est 1. Mais cette réponse n'est pas la réponse à la question posée.
  • soland
    soland
    Bonjour.
    @ayman00
    Essaie de factoriser les entiers qui suivent $6! = 720$.
    Cordialement.
  • ayman00
    ayman00
    bonjour .
    soland
    j' ai pas bien compris.
  • Fin de partie
    Fin de partie
    Moi j'aurais plutôt tenté de factoriser les entiers qui suivent $6!+2$ en incluant ce nombre. ;-)
  • Fin de partie
    Fin de partie
    Les entiers qui suivent l'entier $N$ sont $N+1$,$N+2$, $N+3$ etc.

    PS:
    $N!= 1\times 2 \times 3\times ...\times N$
    Par exemple:
    $3!=1\times 2\times 3=6$
    $6!=1\times 2\times 3 \times 4\times 5\times 6=720$
  • ayman00
    ayman00
    bonjour
    pourquoi je dois factoriser les entiers qui suit 6
    on a 7!=5040 et 8!=40320 et on 5051 est un nombre premier
  • Fin de partie
    Fin de partie
    Ayman00:

    Tu te trompes.
    L'entier qui suit $6!$ est $6!+1$ et pas $7!$

    $6!=1\times 2\times...\times 6=720$ et $7!=1\times 2\times 3\times...\times 7=5040$ il ne me semble pas que $720+1=5040$
  • kolotoko0
    kolotoko0
    Bonjour,

    aucun des nombres entiers de l'ensemble n!+2, n!+3, ...n!+n n'est premier si n>1000.

    Le cardinal de cet ensemble de nombres entiers vaut n-1 qui est supérieur ou égal à 1000.

    bien cordialement

    kolotoko
  • soland
    soland
    Un peu avant, on trouve les composés $n!-2$, $n!-3$, $n!-4$, $n!-5$ etc.

    Et encore bien avant, on trouve $p(n) -2$, $p(n) -3$, $p(n) -4$ etc, où $p(n)$ est le produit des nombres premiers $\leq n$
    Par exemple, pour avoir 9 composés consécutifs, on calcule le produit des premiers $\leq 10$, $210=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot $ et on trouve
    $208 = 2\cdot 104$,
    $207 = 9\cdot 23$,
    $206 = 2\cdot 103$,
    $205 = 5\cdot 41$,
    $204 = 12\cdot 17$,
    $203 = 7\cdot 29$,
    $202 = 2\cdot 101$,
    $201 = 3\cdot 67$,
    $200 = 10\cdot 20$,
  • soland
    soland
    http://en.wikipedia.org/wiki/Prime_gap
  • Rouletabille
    Rouletabille
    Il existe aussi 1000 entiers consécutifs qui ont chacun au moins 1000 facteurs premiers distincts.
  • ayman00
    ayman00
    bonjour tout le monde.
    soland
    tu peut me dire le nom de la théorème que tu as utilisé .
    merci
  • soland
    soland
    @ayman00
    Je ne connais pas de nom pour ce "théorème" qui apparaît régulièrement dans les exercices sur ce sujet. C'est un raffinement sur l'idée sous-jacente à la suite $n!+2, n!+3, ...n!+n$.
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