Nombres premiers de la forme 6m+1ou 6m-1
dans Arithmétique
Bonjour,
je suis ingénieur en science des matériaux (doctorat sur les nanotechnologies) et en informatique.
je suis en train de réaliser un travail sur les nombres premiers et je bloque sur une question.
a t-il été montré qu'il existe une infinité de nombres premiers de la forme 6*m-1 (j'ai vu que oui car c'est équivalent à 6*(m+1)-1=6*m+5)
mais aussi une infinité de nombres premiers de la forme 6*m+1 (je n'ai pas la réponse pour cette forme) ?
Ce que je souhaite, c'est savoir si chacune des 2 formes génére une infinité de nombres premiers ce qui semble le cas, mais je n'ai pas de démonstration. Où puis-je en trouver une si elle existe ?
merci d'avance pour votre aide.
Cordialement
je suis ingénieur en science des matériaux (doctorat sur les nanotechnologies) et en informatique.
je suis en train de réaliser un travail sur les nombres premiers et je bloque sur une question.
a t-il été montré qu'il existe une infinité de nombres premiers de la forme 6*m-1 (j'ai vu que oui car c'est équivalent à 6*(m+1)-1=6*m+5)
mais aussi une infinité de nombres premiers de la forme 6*m+1 (je n'ai pas la réponse pour cette forme) ?
Ce que je souhaite, c'est savoir si chacune des 2 formes génére une infinité de nombres premiers ce qui semble le cas, mais je n'ai pas de démonstration. Où puis-je en trouver une si elle existe ?
merci d'avance pour votre aide.
Cordialement
Réponses
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Le difficile théorème de la progression arithmétique de Dirichlet affirme que si a et b sont deux entiers premiers entre eux (c'est-à-dire sans facteurs communs), alors il existe une infinité de nombres premiers de la forme an + b, ce qui couvre tes deux cas.
Ce théorème est difficile mais il est probable qu'il existe une preuve accessible pour chacun de tes cas particuliers. -
Des éléments de preuve sur http://www.ilemaths.net/forum-sujet-181228.html pour 6n + 5
Comme je n'arrive pas à trouver une preuve rapidement sur Google de ton deuxième cas, il est possible qu'une preuve élémentaire n'existe pas (il me semble que l'on peut caractériser les couples (a,b) pour lequel une preuve de l'affirmation "il existe une infinité de nombres premiers de la forme an + b" se fait "à la Euclide"). -
Bonjour.
Pour $p=6m-1$.
Soit $\mathcal{L} := \{ p_1,p_2,... p_n \}$ une liste finie de nombres premiers de la forme $6m-1$.
Alors $q:= 6\prod_{i=1}^n p_i-1$ n'est divisible par aucun des $p_i$.
Or tout nombre premier est de la forme $6m+1$ ou de la forme $6m-1$. Si tous les facteurs de la factorisation de $q$ étaient de la forme $6m+1$, alors $q$ lui-même serait de cette forme, ce qui n'est pas. $q$ a donc un facteur qui n'est pas dans $\mathcal{L}$. La liste $\mathcal{L}$ n'est donc pas complète; aucune liste finie de nombres premiers de la forme $6m-1$ n'est complète.
Cordialement. -
Alban_0 a écrit:il me semble que l'on peut caractériser les couples (a,b) pour lequel [...]
Oui, je l'avais signalé ici-même voici plusieurs années : il s'agit du théorème de Schur-Murty qui stipule en substance qu'il existe une preuve "à la Euclide" du théorème de Dirichlet sur l'infinitude de nombres premiers dans la progression arithmétique $p \equiv a \pmod q$ (avec $(a,q)=1$) si et seulement si $a^2 \equiv 1 \pmod q$.
Par exemple, on en déduit qu'il existe une preuve euclidienne de l'infinitude des nombres premiers de la forme $p = 6m+1$.
En voilà une, élémentaire, sous forme d'exercice.
Soit $n \in \mathbb{N}^*$, $p \geqslant 5$ premier tel que $p \mid n^2+n+1$.
1. Vérifier par l'absurde que $n \not \equiv 1 \pmod p$ et $n^2 \not \equiv 1 \pmod p$. Expliquer pourquoi on a $n^3 \equiv 1 \pmod p$.
2. En déduire que $3 \mid p-1$, et ensuite que $p \equiv 1 \pmod 6$.
3. En déduire qu'il existe une infinité de nombres premiers de la forme $p \equiv 1 \pmod 6$. -
Merci enonce pour Schur-Murty, il est probable que ce soit ici que j'ai appris l'existence de ce théorème, que je trouve très surprenant : il me paraît compliqué de déterminer une condition pour décider de l'existence d'une preuve d'un type donné. Précisément, il me paraît extrêmement difficile de prouver la deuxième partie de l'assertion "il existe une infinité de premiers congrus à 2 modulo 5, mais on ne saura jamais le prouver avec telle méthode".
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Tel que je l'ai libellé, ce résultat est effectivement pour le moins surprenant.
On le modélise en remarquant qu'une "preuve euclidienne" de l'infinitude d'un ensemble de nombres premiers appartenant à une progression arithmétique passe par la recherche d'un polynôme entier, parfois appelé polynôme euclidien, de degré $>0$ et dont les valeurs entières ont des diviseurs premiers appartenant à ladite progression arithmétique (il n'est pas aisé de définir tout ceci).
Par exemple, l'exemple classique d'Euclide pour démontrer l'infinitude des nombres premiers utilise le polynôme $P = X+1$. Pour l'infinitude des nombres premiers de la forme $p \equiv 1 \pmod 4$, on utilise le polynôme $P = X^2+1$. Pour les nombres premiers $p \equiv 1 \pmod 6$, mon exercice ci-dessus utilise le polynôme $P = X^2+X+1$.
C'est, en fait, ce qu'ont montré Schur (1912) et Murty (1988) : on ne peut pas associer un tel polynôme dans tous les cas. Plus précisément, on peut en associer un si et seulement si $a^2 \equiv 1 \pmod q$.
Par exemple, on peut trouver une preuve "à la Euclide" pour la progression $p \equiv 8 \pmod 9$, mais pas pour la progression $p \equiv 7 \pmod 9$.
A posteriori, on ne peut qu'être émerveillé de voir l'inspiration, l'illumination même, qu'ont eu les grands noms du XIXème siècle (Dirichlet, etc) à chercher une preuve "à la Euler" (i.e. analytique) plutôt qu'une preuve "à la Euclide", pour démontrer le cas général...
Fallait avoir un sacré flair ! -
Bonjour à tous et merci beaucoup pour vos réponses rapides
je pense que soland à fourni une preuve que la non complétude de chacun des ensembles 6m+1 et 6m-1 à contenir tous les nombres premiers me permet alors d'affirmer que chaque ensemble contient bien une infinité de nombres premiers.
est-ce correct ?
merci -
C'est quoi la non-complétude?
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oui, effectivement je me suis mal exprimé.
je souhaiterais savoir si la démonstration de soland peut me permettre d'affirmer que chacun des deux ensembles 6m+1 et 6m-1 contient bien une infinité de nombres premiers. Car cela me semble logique et cohérent, mais je souhaiterais votre avis d'expert en math afin de savoir si cette démonstration est valable mathématiquement. Je suis sûr que soland est un expert en math et je le remercie pour cette démonstration, mais l'avis de plusieurs mathématiciens est plus rassurant.
Donc est-ce que je peux m'appuyer sur cette démonstration mathématique pour affirmer que chacun des deux ensembles 6m+1 et 6m-1 contient bien une infinité de nombres premiers ?
merci -
La démonstration de Soland prouve qu'il y a une infinité de premiers de la forme 6n-1. Que veux-tu en déduire ?
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La démonstration de Soland sur le fait qu'il existe une infinité de nombres premiers de la forme $6m-1$ est correcte pour moi.
Comme déjà indiqué il y a aussi un théorème (dont la démonstration n'est pas simple) marteau-pilon pour ce genre de question dont l'énoncé est simple cependant (Théorème de la progression arithmétique de Lejeune-Dirichlet)
PS:
Soland à la fin de sa démonstration utilise le mot complet. Tu peux lui substituer le mot fini. -
La démonstration de Soland ne concerne que l'ensemble des nombres de la forme 6m-1. -
merci à tous pour votre aide.
comme je l'ai indiqué lors de ma demande, je travaille sur une théorie des nombres premiers.
cette démonstration va me permettre de conclure quand à ma démonstration mathématique sur le fait qu'il existe une infinité de nombres premiers jumeaux.
je ne manquerais pas de solliciter votre expertise sur ma démonstration qui n'est qu'une petite partie de ma théorie. je pense la publier sur le web courant septembre.
bien sûr, comme toute théorie, elle nécessite d'être validée par des experts en mathématique tels que vous.
merci -
Francoiswolf a écrit:cette démonstration va me permettre de conclure [...] qu'il existe une infinité de nombres premiers jumeaux.
Houlà !
Tu avais du mal avec l'infinité des nombres premiers de la forme $p \equiv 1 \pmod 6$, et là, Bam ! Fantastique coup de théâtre : tu as une démonstration d'une des conjectures les plus difficiles au monde !
Décidément, ce forum est plein de ressources... -
effectivement, cela peut paraître très ambitieux, voire peu probable, je vous l'accorde.
C'est pour cela que je n'hésite pas à faire appel à des experts. Il ne me viendrait jamais à l'idée d'affirmer des choses sans qu'elles aient été validées au préalable par des experts.
Cependant, sans aucunes prétentions, il me semble que je peux soumettre mes idées aux experts. Car même si ma théorie est fausse, peut-être qu'elle ne l'est pas entièrement et qu'une nouvelle approche pourra amener de nouvelles idées.
À bientôt et encore merci. -
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Or tout nombre premier est de la forme $6m-1$ ou de la forme $6m+1$
Comme 2 et 3 par exemple ? :-).
@francoiswolf : ce qui est très inquiétant (pour la possibilité que ton approche aboutisse), c'est de ne pas être capable de trouver ou de vérifier/réfuter une démonstration élémentaire. Comment alors fais-tu pour estimer si tes idées ont une chance d'aboutir ou non ? Cela dit à partir du moment où ta démarche est honnête et que tu as conscience des limites cela ne me pose pas de problème :-). -
Fin de Partie. j'allais justement lui demander de faire cet exercice, certes élémentaire, mais pas évident au premier abord (enfin, tout dépend du niveau et des outils dont on dispose, bien sûr). C'est en tout cas un excellent exercice de théorie élémentaire (ici : au sens où l'on n'utilise pas l'analyse complexe) des nombres.
FrançoisWolf. tu m'as l'air sincère, et j'ai l'impression que tu n'es pas ce que l'on appelle un "troll".
Voici mon conseil, tu en feras ce que tu veux : il faut bien se mettre en tête que ce n'est pas sur un forum que les grandes conjectures peuvent être démontrées, ce n'est d'ailleurs pas pour ça que ces forums ont été conçus.
Pour s'attaquer à ces conjectures, il faut des moyens : d'abord, le spécialiste dispose de connaissances archi-pointues sur ce sujet. Ensuite, il dispose d'un laboratoire, d'une équipe d'autres spécialistes dont les idées vont converger avec les siennes. Enfin, à quelques exceptions près, il est impératif de continuer et améliorer un travail déjà existant. Par exemple, lorsqu'Harald Helfgott a entrepris son travail sur la conjecture de Goldbach ternaire, il est parti de l'œuvre de Vinogradov sur ce sujet, puis l'a améliorée en proposant une autre idée sur un endroit bien précis de sa démonstration.
Pour en revenir à ce forum, je ne connais en fait qu'un seul intervenant dont les conjectures qu'il proposait pouvait, parfois, être traitées ici : il s'agit de B....t.
Mais cet intervenant, même s'il n'est pas un professionnel à proprement dit, a une approche des mathématiques qui est proche de celle de certains spécialistes (il a d'ailleurs co-écrit des articles avec le mathématicien Sloane, auteur de l'encyclopédie OEIS bien connue). De plus, il connaît et maîtrise parfaitement le logiciel PARI, indispensable lorsque l'on fait de l'arithmétique. Ses conjectures sont ainsi toujours étayées de grandes expérimentations informatiques, ainsi que, parfois, d'un début d'idée de preuve.
Dommage qu'il vienne ici moins souvent qu'avant ! -
Espérons que le temps économisé à venir ici il l'utilise pour ses recherches. B-)- -
Fin de Partie a écrit:[...] il l'utilise pour ses recherches.
L'idée est bonne, mais ce n'est pas évident.
A lui de nous le dire, s'il nous lit... -
Bonjour,
comme convenu mais avec un an de retard, je vous propose une démonstration mathématique de la conjecture des nombres premiers jumeaux.
Sur notre site web http://mathscience.tsoftemail.fr/ , vous pouvez accéder à l'ensemble des documents suivants:
une synthèse de notre étude (environ 10 pages)
1- ChapI-Theorie_NombrePremier.pdf (264 pages)
2- ChapII_RepartitionNombresPremiers.pdf (75 pages)
3- ChapIII_FormuleNombresPremiers.pdf (52 pages)
4- ChapIV-generateurDeNombresPremiers.pdf (48 pages)
C'est une nouvelle approche qui a le mérite d'exposer une nouvelle vision de l'organisation des nombres impairs.
Que vaut-elle aussi bien théoriquement que en pratique, c'est là toute la question ?
Je remercie par avance les personnes intéressées par cette étude de bien vouloir communiquer via la boite mail du site web.
Merci à tous.
Cordialement.
[Activation du lien. AD] -
Avez vous remarqué...
Que la somme des chiffres d'un nombre issu de 2+3n est égal à un nombre de la colonne 2+3n
Que la somme des chiffres d'un nombre issu de 4+3n est égal à un nombre de la colonne 4+3n
Quel rapport avec la conjecture de 6±n-1?
Le fait que que 6 - 1 = 5 et 6+1 = 7
J'ai délibérément fait des colonnes avec +3 et pas +6 pour y inclure les nombres presque premiers, mais si on veut les exclure il suffit d'ajouter +6 au lieu de +3 (pour éliminer les presque premiers pairs: précision éditée)
Je poste ici parce que sur mon topic je me fais agressé parce que pas Matheux et que ça me semble en relation avec le problème en question, les premiers jumeaux, les nombres premiers...etc.
Pour ceux qui me critiquent, je leur propose un problème mathématique donc, ne l'étant pas (Mathématicien), prouvez moi pourquoi la somme des chiffres d'un nombre de $2+3n = 2+3n.x$
idem pour $4+3n$
Bref vu que mes notations sont approximatives je joint un tableau ça sera tout de suite plus clair :-)
https://drive.google.com/file/d/0B7FQ7886hRt-RUJmYTVLS2IwTFE/view?usp=sharing -
Je souhaite bon courage à ceux qui vont lire le pdf de 264 pages où est annoncée effectivement une preuve de la conjecture des nombres premiers jumeaux. J'ignore si l'idée vaut quelque chose, mais une chose est sûre les producteurs du document ont dû y passer du tempsAide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
-
Je n'ai pas encore ouvert les pdf, je lis la présentation sur la page web mise en lien ci-dessus:
J'espère que le contenu des textes a reçu plus d'attention que leur présentation. -
Bonjour
concernant l'équation de Goldbach, cette affirmation citée, fait quand même désordre:comprendre pourquoi le nombre de décompositions d’un nombre pair augmente quand la valeur du nombre pair augmente.
En effet il suffit de prendre 2n = 60 qui a 6 décompositions en somme de deux premiers
60 = 7 + 53
60 = 13 + 47
60 = 17 + 43
60 = 19 + 41
60 = 23 + 37
60 = 29 + 31
et 60 + 2 : ("exit 3 donc 3+59")
62 = 19 + 43
62 = 31 + 31 , on est très loin de cette augmentation... Non ?
et j'affirme que cela se produira une infinité de fois...! Ce qui est d'ailleurs facile à comprendre... avec les premiers en progression arithmétique...
Concernant aussi une petite information, suite à la question qui était posée sur les entiers premiers de la forme 6n+1 et 6n-1:
On peut même affirmer que la densité de ces premiers et moyennement la même dans ces deux ensembles... En étudiant une variante du crible d'Eratosthène « l’algorithme P modulo 6 »... !Ce crible fonctionne uniquement avec deux couples de paramètres pour les entiers impairs "éxite 3":
A*b congru à 1[6] = 5*5 , 7*7…etc. va générer les premiers congrus à 1[6] > 3 pour une limite fixée...
Et un couple de paramètre:
pour A*b congru à 5[6] = 5*7 … etc va générer les premiers congrus 5[6] >3 ..etc..
La répartition des nombres premiers est fonction de ces différents cribles et sans mystère... Étant donné que les deux paramètres 5 et 7, parcourent de la même manière, et selon le même principe ("dû à Ératosthène") les entiers impairs, des deux ensembles ; d'où la même densité, et une infinité... !
"On peut montrer que si ce n'était pas la cas, le nombre de premiers serait fini... ! ce qui est absurde."
autre citation:La première caractéristique est qu’aucun des nombres premiers générés, à l’exception du premier nombre « 7 », ne peut appartenir à un couple de nombres premiers jumeaux.
En effet il est simple de s'apercevoir que les premiers congrus à 7 (mod 30) et à 23 (mod 30) ne peuvent appartenir à un couple de premiers jumeaux...
Par contre si cette formule est meilleur que celle utilisée pour tester les nombres de Mersenne quel serait le suivant...? M48 = 257885161 - 1,
En combien de temps il a été testé par cette formule ....? ou un autre exemple.....
Ceci dit, cela ne présume en rien de l'efficacité de ces formules.... ce qui reste à voir ... -
M49 = $2^{57885167}$
ça serait une bonne mise à l'épreuve ^^
Je le pense divisible par un P =< 47 (s'il admet 4 diviseurs ou plus)
je ne peux le prouver, je sais pas si il a déjà été testé
Enfin pour donner matière à l'expérimentation d'une théorie, voir si il est premier, et si non, le décomposer...oula X:-( -
il est divisible par 4 :-D (ne modifie pas ton post)Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
-
désolé j'ai oublié le -1
mais je modifie pas faut assumer d'être nul dans la vie (:P)
et M49 est divisible par 31
edit: bon je suis dans le pâté, il est divisible par 127, j'ai pas l'habitude des puissances de 2, et j'aurais dû dire un P =< 139 -
LEG a écrit:On peut même affirmer que la densité de ces premiers et moyennement la même dans ces deux ensembles... En étudiant une variante du crible d'Eratosthène « l’algorithme P modulo 6 »... !
J'aurais une question
Sachant que les carrés des nombres de $6m-1$ et $6m+1$ sont de forme $6m+1$, tous, à ma connaissance, comment garder cette densité égale répartie entre les $6m-1$ et les $6m+1$.
Pour moi la réponse se trouvé dans les semi premiers de la forme $3m±1$ mais est-ce prouvé au sens mathématique?
J'ai d'autres constations étonnantes, qui me permettent avec un programme python très basique pour l'instant de factoriser un entier de la limite que prend Python en entrée, j'ai pas atteint cette limite avec des nombres de 308 chiffres, le problème c'est le temps que ça prend...évidemment ça prend du temps, comparé à certains programmes, certainement beaucoup, il n'est pas optimisé pour cracker un RSA 1024 par exemple, il n'est pas fait pour.
Le programme est mono thread aussi actuellement, ce qui n'est optimisé pour rien, mais si il faut faire du calcul distribué c'est possible, j'ai vraiment du mal à croire que juste une dizaine de PC corrects ne puissent casser une clé RSA 1024 en un temps correct (correct serait une semaine).
(En fait j'ai pas écrit ce programme mais je dictais à mon collègue quoi mettre dans le programme ^^)
Bref tout ça c'était une parenthèse, je cherche pas à craquer quoi que ce soit, je m'interroge juste sur des questions Mathématiques citées plus haut, j'en aurais d'autres si ce problème est déjà connu ET démontré.(ou erroné si je suis dans l'erreur!) -
@maroufle
Je ne vois pas ce que viennent faire les semis premiers ou les carrés de P , que l'on ne pourrait pas expliquer avec les premiers;
qui au passage : les carrés des nombres premiers > 5, sont congrus à 1 [mod 30] ; ou à 19 [mod 30] = 6m +1; et alors, où vois tu que les nombres premiers, sont tous de la forme 6m + 1....? il y a 4 familles de chaque. (11[30] = 6m -1; 19[30] = 6m +1.....29[30] = 6m-1 ; 31[30] = 6m +1 ....)
Un algorithme qui crible avec le même groupe multiplicatif de 8 premiers, parcourt de la même manière ces 8 familles et selon le même principe, il vient une même densité de premiers, dans chacune des 8 familles avec une infinité dans chacune...le goupe multiplicatif GM : { 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31} ; que l'on peut aisément remplacer par { 37; 41; 43; 47; 79; 53; 59; 61}.... -
Je ne sais pas c'est la question des $p^2$, pas la question des $p$...
5² = 25 est de la forme 6m+1
7² = 49 est de la forme 6m +1
11²= 121 idem
13²= 169 idem
....
Aucun des $p^2$ est de la forme 6m - 1, c'est pourquoi je me pose la question de la même densité alors que les nombres de la forme 6m+1 contient les carrés des nombres premiers, et que ceux de la forme 6m-1 non.
Je ne contredit pas qu'il n'y a pas la même densité, mais je me pose la question, pourquoi? Alors qu'une forme contient les carrés de $p$ et l'autre non. -
Je pense que tu n'as pas compris ce que j'ai voulu te dire ... Si une famille de premiers est congrue à 11 [30] = 6m -1 cela implique toute la famille ..41;71... etc ... 11[30]. 29 [30] = 6m-1 cela implique toutes la famille , 59 ; 89; ... 29[30].
Mais les carrés des nombres premiers n'impliquent pas les nombres premiers, ces carrés appartiennent aux deux familles d'entiers, contenant les premiers congrus à 19[30] et à 1[30] donc cela n'a rien à voir...
Tu peux faire un crible pour extraire tous les nombres premiers avec les carrés de P... ? Et si oui, alors comment tu vas extraire les premiers appartenant aux familles 11, 17, 23, 29 modulo 30 qui sont de la forme 6m - 1... ?
Il y a 8 familles de premiers congrus à 1 ou à P [30] avec P appartenant à [7;29] et où 1 est remplacé dans l'algorithme par 31... le groupe multiplicatif premier appartenant à [7; 31] va parcourir uniformément selon le même principe, ces 8 familles d'entiers, pour cribler les premiers de ces 8 familles...
C'est pourtant simple à voir qu'il y a 4 familles de la forme 6m + 1, et 4 de la forme 6m -1 ou, si tu préfère 8 suites arithmétiques de raison 30 de premiers terme 1 ou P [7;29] comprenant tous les premiers > 5... !
le crible, ne crible pas les carrés, ni les cubes... mais les nombres premiers et les 8 suites sont disjointes ...
Prends les deux suites arithmétiques de raison 3, et de premiers terme 1, ou 2... de quelle forme sont les entiers impairs > 3 et l'infinité de premiers dont la densité est la même que dans la suite de premiers terme 1 ("Chebotarev")...?
De plus, il existe aussi l'algorithme P modulo 6, qui fonctionne selon le même principe que l'algorithme P modulo 30.
avec seulement deux nombres premiers 5 et 7, de la forme 6m-1 et 6m+1... Et : ce ne sont pas des carrés qui criblent...!
Quand bien même, si c'était le cas, tu penses sérieusement que cela changerait quelque chose...? Ou que tu mettrais en défaut le théorème de Chebotarev, relatif à la densité de premiers dans ces deux suites arithmétiques...? -
Je ne remet pas en cause la densité, quoique, mais je constate juste qu'un carré d'un nombre $p$ est un cas particulier d'un nombre avec diviseurs, donc non premier, la particularité est que c'est le même premier qui le divise.
Dans les algo de génération de clés on tient bien sûr à faire en sorte que pour $n$ la clé, il y ai 2 nombres premiers $p$ et $q$ différents...
Bref qu'on prenne les premiers premiers... :-)
5²
7²
9²
11²
etc...Ils vont tous être dans la colonne des 6m+1
Il suffit de faire un tableur avec 5 et 7 dans 2 colonnes, un incrément de +6 à chaque colonne
on multiplie 2 nombres de la colonne des 7+6n, le résultat est dans la colonne des 7+6n
on multiplie 2 nombres de la colonne des 5+6n le résultat est dans la colonne des 7+6n
Donc je suis surpris, oui, que la densité soit la même, mais c'est le cas c'est prouvé, je crois...
Pour faire parti de la colonne des 5+6n sans être premier il faut 1 diviseur de chaque colonne, minimum, 1 plus grand et un plus petit à la racine carré du nombre.
Je dis ça pour aider à la factorisation (dans un second temps donc, sachant que tous les 6m±1 ne sont pas premiers), le test de primalité n'y est pas...mais je pense qu'il en existe de très bons.
Du coup on a du mal à se comprendre sur la question, toi étant mathématicien sans doute, et moi au niveau du boulier (pas mathématicien donc ^^)
Je me pose juste la question du pourquoi cette densité équivalente, pas la démonstration qu'elle est équivalente, mais pourquoi -
Bonjour
déjà, il faut quand même que tu comprennes, que si j'ai 10 premiers , et bien j'aurai 10 carrés, de la forme 6m+1, quelque soit la forme de ces premiers et non l'inverse...c'est le crible et son groupe mutiplicatif qui va extraire les premiers et non les carrés , puisqu'il faut d'abord, extraire les premiers en question.
Si le crible extrait tous les premiers $\equiv{11} [30] < (15 000 000 000 * 30)$ de la forme $6m - 1$ je n'aurai que des carrés $6m +1$; et idem si ce même crible avec son même GM constitué de 8 premiers, a extrait les premiers $\equiv{19} [30] < (15 000 000 000 * 30)$ qui sont de la forme 6m+1...
Par exemple pour $(100 000 * 30)$ :
a) pour 11:
Le dernier nombre est :
$2999951$
trouvé à la position:
$27134$ ce qui donne $27134$ carrés de la forme $6m+1$
b) pour 19
Le dernier nombre est:
$2999629$
trouvé à la position:
$27050$....etc... carrés de la forme $6m+1$
Le nombres de carrés de P; est fonction du crible et non des carrés $(6m-1) (6m-1)$ donnera un carré $6m+1$ donc RSA est compagnie.....
Puisque tu aimes bien ton tableur excel ... Construit le crible pour les entiers $\equiv{5} [6]$ et $\equiv{1} [6]$ soit, deux colonne d'entiers.
Pour être sympa tu cribles jusqu'à 300 +1 et/ou + 5 ; 50 cellules de valeurs $1+ 6k$ et $5 +6k$.... tu vas vite comprendre...
Toutes les cellules sont représentés par un 1, si une cellule est composée tu transformes le 1 en 0.
Indication : tu as un groupe multiplicatif GM de deux premiers 5 et 7, à toi de bien les positinner, dans leur cellule de départ puis tu crible selon le principe d'Eratosthène , n'oublies pas que chaque premier extrait, va aussi cribler jusqu'à 300...sans s'arréter et sort du crible.
seul le GM fonctionne par "à coup" il te faut comprendre pourquoi; comment tu vas reconnaître un premiers extrait d'un produit; et pour t'aider un peu plus , chaque $("conjoint")$ de $5$ ou de $7$ augmente de 6 tous les 5 pas ou 7 pas....
la $\sqrt{30}$ est à prendre en compte, pour ne pas cribler pour rien...etc etc ...
Alors peu être que tu vas comprendre pourquoi cette densité est en moyenne générale, la même dans ces deux colonnes criblées....!
Ensuite, tu verras que tes colonnes de 7+6n...ne te servent pas à grand chose dans ce crible...et pour la compréhension des carrés de la forme $6m+1$ ....
Pour info je ne suis pas mathématicien, je n'ai qu'un certificat d'étude primaire passé en 1961, je n'ai même pas appris l'algèbre....je suis revenu à l'arithmétique des entiers naturels en 1998....sans faire d'etudes; alors pas d'excuses....
Il n'y a pas besoins d'être bacheliers pour construire ces cribles mais de l'imagination et de la réflexion ...bon courrage.
cordialement.et bon continuation , j'attend ton crible.. -
Juste pour info:
$(6a-1)(6b-1)=6\times 6ab-6(a+b)+1=6(6ab-a-b)+1$
$(6a+1)(6b+1)=6\times 6ab+6(a+b)+1=6(6ab+a+b)+1$ -
Merci LEG c'est un peu plus proche de ce que je voulais savoir et merci surtout de ta patience, et de ton courage à refaire des maths après les études, je m'y mettrais un jour peut être, de nouveau, après avoir du abandonner du développement de jeux vidéo (il y a longtemps) à cause d'un niveau trop faible en maths et physique, je me suis recantonné à l'administration...Et la musique comme curiosité avec une approche presque scientifique, mais j'aime bien, le problème c'est le temps de caser toutes ces envies ^^
En tout cas je ferais ce que tu m'as dit, pas aujourd'hui mais je le ferais et merci pour ta patience à répondre à mon message sans doute pas très clair sans le vocabulaire adéquat de la langue Mathématiques :-)
Et merci à Fin de Partie qui a toujours des explications concises et que je peux des fois comprendre, je pense que ces équations sont compréhensibles pour moi ^^
Sinon oui mon programme qui cribble mod 6 prend soin de placer le cribble dans la bonne colonne, et tente de le réaliser en 1 seule passe...ça c'est pour trouver à mon collègue qui aime programmer de quoi programmer, je ne fais que lui dicter ce qu'il doit mettre dedans, il programme normalement des shaders, donc rien à voir avec ce sujet de bas niveau ^^
ça fait plaisir de trouver des factorisations avec un simple programme monothread, qu'on peut ensuite envisager de multithreader pour avoir du calcul distribué, et de refaire ce qui a été fait dans le passé aussi, avec des factorisations à taille raisonnable. -
Pourquoi se limiter de la sorte et ne pas chercher à en apprendre le plus possible? -
@Fin de partie
je pense que pour moi, la partie est finie:)o
je ne vais surement pas revenir + de 50 ans en arrière...le temps perdu ne se ratrappe pas...
je suis aussi échaudé par le comportement de mathématiciens qui enseignent , heureusement qu'il en reste.. des bons, compréhensifs, et surement de très bons pédagogues ...Mais....8-) , je suis bien dans les bois...
J'ai quand même regardé et essayé de comprendre l'arithmétique de base , cela m'a permis de découvrir des cribles et de les étudier, de les construire, ce que beaucoup n'ont pas fait.... , mais pas les fondamentaux...
Ca me permet aussi, de regarder et comprendre les PDf de ce sujet , et de trouver des relations avec par exemple: la conjecture sur l'infinité de premiers dans le polynôme N² +1 ...etc de remplir ma passion de l'arithmétique et des entiers naturels....
chercher à comprendre une formule, la décortiquer retrouver les valeurs pour la comprendre et en tirer des relations c'est difficile, mais passionnant....Un exemple, je ne prendrai aucun plaisir à travailler dans des formules complexes...
calculer la racine d'un polynôme de degré 2, ne m'interesse pas du tout, je préfaire regarder et chercher les relations d'un tel polynôme, avec les entiers naturels. Par exemple comme l'auteur de ce sujet, et ses formules polynomiales que "je peux décortiquer....et y trouver le chemin" X:-(
est ce que quelqu'un à eut l'idée d'extraire, les 9 sous polynomes de N² +1 de trouver la raison arithmétique R =1800
et de regarder à qu'elle familles d'entiers ils appartiennent....et: supposons que le nombre de premiers est fini, et bien il est certain qu'au minimum une des 4 familles en progression arithmétique de raison 30 de premier terme P, est finie en nombre de premiers... ce qui va faire désordre....
C'est comme pour syracuse il a fallu des années pour démontrer (J .R), qu'il s'agissait simplement d'uns structure arithmétique, parfaitement organisée par des suites arithmétiques et géométriques...
cordialement
L.G -
Il faudrait un truc concis et bien écrit pour donner aux gens envie de lire ces documents (la synthèse de 14 pages n'est pas bien écrite à mon goût).
Pour motiver (ou démotiver) les foules, Wolf & Wolf affirment démontrer Riemann. -
En étudiant sérieusement, en 5 ans, on peut savoir un tas de trucs. Quand tu te rends compte de la quantité de savoirs qu'il y a en mathématiques (c'est plus de 2000 ans d'histoire humaine), tu te sens écrasé par toutes ces connaissances que tu ne peux pas embrasser entièrement et cela te pousserait plutôt vers l'humilité. En tout cas, c'est le cas pour moi.
Des trucs que des générations entières de bons mathématiciens n'ont pas su résoudre j'ai des doutes quant à leur résolution par des outils qui étaient déjà considérés comme primitifs il y a plus de 150 ans. -
Bonjour
@ F d P,et cela te pousserait plutôt vers l'humilité. En tout cas, c'est le cas pour moi.
c'est justement cette humilité, qui me fait prendre connaissance de mes capacités...et de mon incompétence dans beaucoup de domaine mathématiques ....
Ceci dit, cela fonctionne dans les deux sens.
Ce n'est pas par ce que l'on considère des outifs primitifs, qu'il ne faut pas tout remettre à plat et se poser la question; si au bout de 150 ans avec des outils mathématiques de plus en plus complexe et à la porté d'une minorité, comment cela se fait il , qu'on en soit toujours la...! Alors la bonne excuse c'est parce que c'est complexe ...
A t'on démontré, qu'il existe qu'une solution complexe....? ces conjectures sont elle vraiment justifiées...?
Qu'est ce qui rend différent , par exemple : le polynôme "arithmétique" N² +1 qui contient 9 sous polynôme arithmétiques , indexée par :
1) par une suite arithmétique de raison 8, puis ensuite pour les sous polynôme , de raison 1800
2) est un polynôme équivalent de indexé par une suite arithmétique, de raison 8, puis ... de raison 1800
travaillant dans une suite arithmétique de raison 30 contenant une infinité de premiers...
dont chacun des termes de ces S/ polynômes peuvent ê tre obtenus avec la même formule et où :le premier terme et la raison R sont premiers entre-eux...
pour bien que l'on me comprenne voici deux cas sur une infinité d'autre...concernant "cette conjecture":
$N^2 +1$ , en ne s'intéressant qu'aux impairs, le premier Terme = 5 et $N = 2n$ , n > 0...etc
le 2ème des 9 , S/polynôme est de premiers terme $T_1 = 37 ; T_2 = 1297$ qui est le $17^{ème} $ terme impair de $N^2 + 1$. ie: le $15^{ème}$ terme successif à $37$.
ce qui correspond à $(6+30k)^2 + 1$....
et
$N^2 + 56$. ce qui donne le premier terme $57, 65 ; 137 ...etc$
le premier S/polynôme est de premier terme $T_1 = 137$ pour $n = 9$
puis le $15^{ème}$ successif à $137 = (9+30k)^2 + 56 = T_2 =1577$
étant indexé par une suite arithmétique, que je vais nommer polynôme arithmétique de raison 8 ou 1800, de degré 2,
dû au table de différences entre les termes jusqu'au deuxième niveau...
("Je sais, c'est primitif, comme il ya 3 siècles...sans informatique, ni calculette...!")
la formule : $T_n+1= 2*T_n + 1800 - T_n-1$
ou simplement pour les deux polynômes :
$T_n+1= 2*T_n + 8 - T_n-1$.
$N^2+1$ est fini en nombre de premiers l'autre aussi... ? l'infinité des autres aussi ...?
la suite arithmétique de raison $R = 30$, de premier terme $7$, elle aussi alors, puisque je peux en construire une infinité dans cette famille,
Cela serrait géniale, car une fois les termes ces polynôme enlevés de cette famille, il ne resterait que des nombres premier.
Arlors le crible , ie: l'algorithme P modulo 30, qui crible cette famille, avec son Gm (groupe multiplicatif) de 8 premiers,appartenant à $[7 ; 31]$ à partir d'une limite, comment fait il pour progresser de façon polynômiale...?afin de marquer principalement les termes de ces Polynômes.... ? -
Qu'on en soit toujours là? C'est quoi ce là?
Je te trouve présomptieux, je ne sais pas de quel problème tu parles en particulier mais, sans offense, je suis prêt à parier que tu n'as aucune idée de ce qui a été fait sur la question depuis 150 ans (et je ne vais pas prétendre que j'en sais plus que toi).
Pour moi, résoudre certains problèmes en mathématiques, c'est comme essayer d'atteindre une certaine altitude en édifiant une tour. C'est celui qui pose la dernière pierre de l'étage qui est à la bonne altitude dont l'histoire se souviendra du nom probablement mais sans les étages construits antérieurement, il n'aurait pas pu réussir. Si tu ne construis pas sur les étages déjà existants tu n'atteindras jamais la bonne altitude et tous les étages sont importants. -
il n'y a aucune présomption dans ma réponse à tes commentaires , je n'ai pas besoins d'être mathématicien pour me rendre compte de tout ce qui a été fait en math, en physique, informatique ...etc depuis l'âge de pierre...
c'est simple, ce là; sont les 3 ou 4 conjectures élémentaires qui n'ont pas été résolues avec des outils mathématiques extrêmement complexes ; donc peut être qu'il faut se reposer la question et tout remettre à plat ...
je laisse place au sujet , et non à des polémiques inutiles..."quant aux étages, heureusement qu'il y a des moyens pour arriver en Haut sans les construire ce qui existe...X:-(
bonne soirée. -
On ne remet rien à plat, autrement on n'atteindra jamais la bonne altitude. :-D
Il faut continuer à ajouter des étages sur ce qui a déjà été construit. -
L'ignorance qui se regarde dans un miroir et qui se trouve belle.
-
Tu te défiles un peu: tu ne réponds à ma question!
Je te demande de parler de ton plaisir à polémiquer avec les ceuss que tu sais, et tu me réponds que tu ne supportes pas les c... qui se trouvent géniaux ou, du moins, fantasment le devenir un jour (c'est ça le coup de la bête qui se regarde dans le miroir et se trouve belle ou j'ai pas compris?). Mais si tu ne les supportes pas, que les fréquentes-tu? -
Je pensais , que les insultes n'étaient pas permises sur ce forum, et qui n'ont strictement rien voir avec le sujet de ce fil...
@depasse c'est toi ....qui ne te supporte pas ..., ne fais donc pas croire que c'est @ Fde P qui insulte les intervenants..
je demande au modérateur d'enlever ces deux derniers messages de F de P et depasse, à caractère irrespectueux.
et par conséquent celui ci , ensuite.
merci
lg -
salut je me demande si le cours de math pour l'agregation dans ce site est suffisant(comme cours) pour preparer l'agregation car je deteste la preparation sur plusieurs manuels
merci
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Bonjour!
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