Nombre de nombres
dans Arithmétique
Bonjour
si $n$ est entier, et $\dfrac{p}{q}$ un rationnel avec $p\wedge q=1$, quelqu'un peut-il, en fonction de $p$, $q$ et $n$, me dire combien a-t-on de nombres de la forme :
$\dfrac{p}{q} x - \left\lfloor \dfrac{p}{q}x \right\rfloor$ lorsque $x$ entier varie dans $[0,n]$,
Et si ce n'est pas possible de donner le nombre exact, alors de majorer très finement (mieux que $\min(q,m)$), avec une borne faisant intervenir $p$ ?
Merci
si $n$ est entier, et $\dfrac{p}{q}$ un rationnel avec $p\wedge q=1$, quelqu'un peut-il, en fonction de $p$, $q$ et $n$, me dire combien a-t-on de nombres de la forme :
$\dfrac{p}{q} x - \left\lfloor \dfrac{p}{q}x \right\rfloor$ lorsque $x$ entier varie dans $[0,n]$,
Et si ce n'est pas possible de donner le nombre exact, alors de majorer très finement (mieux que $\min(q,m)$), avec une borne faisant intervenir $p$ ?
Merci
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Réponses
[size=x-small]Il me semble savoir montrer qu'on ne fait pas mieux.[/size]
Il y a des cas où cette borne sans $p$ n'est pas atteinte
Je voudrais ainsi faire intervenir $p$ ou bien trouver plus fin
Peux-tu m'en montrer ?
Peut-on avoir une égalité alors ?
Si non, cela ne suggère-t-il pas que l'on puisse faire mieux que $\min (q,n)$ ?
Et si tu n'en trouves pas, montre que le nombre de valeurs différentes de $\dfrac{px}{q} -\left\lfloor \dfrac{px}{q}\right\rfloor$ pour $x$ entier dans $[0,n]$ est égal à $\min(n,q)$.
Je ne t'ai pas obligé de m'aider.
Change de ton.
e.v.
\mu(n,p,q)=Card \left\{\left. \dfrac{p}{q} x - \left\lfloor \dfrac{p}{q}x \right\rfloor \,\,\, \right| \,\,\, x \in [0,n], x\in \N \right\}
\]
J'ai l'impression que $\mu(n,p,q)= \min (n+1, q) + 0 \times p$. N'est-ce pas une magnifique formule, contenant $p$ ?
Cordialement, Pierre.
newser, je t'avais prévenu dès le début. Tu devrais être un peu plus cool.
J'aurais pensé à une formule avec p explicitement
Une idée pour démontrer la formule de pldx1 sachant que l'on a déjà le sens $\mu (n,n,p)\leq \min (n+1, q)$ ?
merci
La division euclidienne de $px$ par $q$ peut servir.