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1...1 divisible par 2007

Envoyé par jeroM 
1...1 divisible par 2007
il y a cinq années
Bonjour
Cet exercice est très classique mais je ne vois pas du tout le cheminement.

Énoncé corrigé:
On considère le nombre : $1\cdots 1$ avec $n$ fois le chiffre 1. Montrer qu'un de ces nombres est divisible par 2007.

La méthode classique est d'utiliser le principe des tiroirs.
Je pense qu'il faut considérer les restes de 1...1 par 2007 (il y en a 2007) mais ensuite je ne vois plus.

Merci de m'aider



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a cinq années et a été effectuée par jeroM.
Re: 1...1 DIVISIBLE PAR 2007
il y a cinq années
avatar
Déjà 1,11,111,1111 ne sont pas divisibles par 2007. Mais 11111 non plus!
discret
Re: 1...1 DIVISIBLE PAR 2007
il y a cinq années
Faudrait déjà que ce soit juste : essaie avec $n=5$ ou $n=6$, par exemple.
H
Re: 1...1 DIVISIBLE PAR 2007
il y a cinq années
Peut-être s'agit de montrer qu'il existe un entier $n$ tel que ... Ça je sais faire de tête.
Re: 1...1 divisible par 2007
il y a cinq années
j'ai édité l'exercice
désolé
H
Re: 1...1 divisible par 2007
il y a cinq années
Note $f(n)$ le reste de la division du nombre constitué de $n$ uns par 2007. Une première étape est de noter que cette fonction n'est pas injective, ce que tu as apparemment fait. Que peux-tu déduire ensuite du fait que $f(n)=f(m)$ pour un certain $n$ et un certain $m$ distinct de $n$ ?
Re: 1...1 divisible par 2007
il y a cinq années
Je note $U_n$ le nombre comportant $n$ fois le chiffre 1.

En supposant que $n<m$ , on peut alors dire que $U_n$ et $U_m$ sont congrus modulo 2007, donc leur différence est divisible par 2007.

Cette différence s'écrit plutôt comme 1...10...0 avec $n-m$ fois le chiffre 1 et $m$ le chiffre 0.

On se sert de ce nombre ou je fais fausse piste ?
mpif
Re: 1...1 divisible par 2007
il y a cinq années
Notons $f\colon\mathbb{N}\to\mathbb{N}$, $x\mapsto 10x+1$. On remarque que $f$ passe au quotient (modulo 2007), i.e. si $x\cong y\mod 2007$ alors $f(x)\cong f(y)\mod 2007$.

De plus $f$ est bijective modulo 2007. C'est facile à voire car ajouter 1 est bijective et comme 10 est premier à 2007 multiplier par 10 est aussi bijective.

Si on part de 0, alors $f(0)=10\times 0+1=1$, $f(1)=10\times 1+1=11$, $f(10)=10\times 11+1=111$, etc.
Comme $f$ est bijective modulo 2007, Les $f^n(0)\mod 2007$ forment un cycle, i.e. on fini par revenir à 0, i.e. on a $n>0$ tel que $f^n(0)=0\mod 2007$.

Autre manière (celle suggérée): si 2007 divise 111...111000...0000, alors comme 2007 est premier à 10, il l'est à 1000...0000 et par Gauss 2007 divise 111...111.
H
Re: 1...1 divisible par 2007
il y a cinq années
Les deux preuves sont à méditer. Note en particulier la manière dont intervient à chaque fois le fait que 10 et 2007 sont premiers entre eux.
Re: 1...1 divisible par 2007
il y a cinq années
OK, 10 et 2007 sont premiers entre eux et on conclut par le théorème de Gauss

Merci !
Re: 1...1 divisible par 2007
il y a cinq années
avatar
On peut en déduire un exercice plus dur.

Exercice : Montrer que tout entier a un multiple qui ne s'écrit qu'avec des $0$ et des $1$.
Re: 1...1 divisible par 2007
il y a cinq années
Soit $k$ un entier naturel. Alors $0.k$ ne s'écrit qu'avec des $0$ et des $1$. smiling bouncing smiley
Re: 1...1 divisible par 2007
il y a cinq années
avatar
Je n'ai pas totalement compris la démonstration de Mpif:

Si on considère l'ensemble $\{f^{(n)}(0) \mod{2007} \text{avec } n>0\}$ avec $f(x)=10x+1$ il est fini mais je ne vois pas pourquoi cet ensemble devrait contenir la classe de $0\mod{2007}$

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a cinq ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Fin de partie.
Re: 1...1 divisible par 2007
il y a cinq années
avatar
Pourtant $f(x)=10x+1 \mod{2007}$ semble bien périodique et de période $666$ ($f^{(666)}(0)\equiv 0\mod{2007}$ ) si je vois bien par calculs. smoking smiley

$2007$ et $666$, maintenant vous êtes prévenus pour $2017$ hot smiley

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a cinq ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Fin de partie.
mpif
Re: 1...1 divisible par 2007
il y a cinq années
C'est lié au fait que $f$ soit bijective, toute permutation se décompose en produit de cycle.

On a $n>m$ tels que $f^n(0)=f^m(0)\mod 2007$ du coup (en composant avec $f^{-m}$, on obtient $f^{n-m}(0)=f^{m-m}(0)=0\mod 2007$.
AP
Re: 1...1 divisible par 2007
il y a cinq années
Tout entier impair non divisible par 5 a un multiple dont tous les chiffres sont 1
Re: 1...1 divisible par 2007
il y a cinq années
Citation
fdp
Je n'ai pas totalement compris la démonstration de Mpif:

A partir du moment où tu as que $1\dots 1 - 1\dots1=1\dots10\dots0 = 2007k$ multiple de 2007, comme il existe $u,v$ des entiers (relatifs) tels que $2007u+10\dots 0v=1$, tu obtiens que $1\dots 1 = 1\dots 1 \times (2007u+10\dots 0v) = $ un certain $k'$ fois $2007 + 2007k$.

edit: pardon à toi FdP, je te réponds en faisant un edit plutôt qu'un post de plus.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a cinq ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par christophe c.
Re: 1...1 divisible par 2007
il y a cinq années
avatar
Christophe:

Merci, mais j'avais compris le dernier message de Mpif. cool smiley

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a cinq ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Fin de partie.
Re: 1...1 divisible par 2007
il y a cinq années
On peut en faire un exo de TD sympa:
1) Soit $p$ premier différent de $2$ et de $5$. Montrer que pour tout $k \in \N$ il existe $n \in \N$ tel que $p$ divise $\sum_{\ell=0}^{n} 10^{k \ell}$.
2) Soit $m$ un entier premier avec $10$. Montrer par récurrence sur le nombre de facteurs premiers de $m$ qu'il existe un multiple de $m$ qui ne s'écrit qu'avec des "$1$" en base $10$ (indication: que vaut $(\sum_{j=0}^{k-1} 10 ^j) \times (\sum_{\ell=0}^{n} 10^{k \ell})$ ?)
3) tout entier non nul a un multiple de la forme $11111...100000...000$.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a cinq ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Foys.
Re: 1...1 divisible par 2007
il y a cinq années
Citation
foys
tout entier non nul a un multiple de la forme 11111...100000...000.

Citation
PR
On peut en déduire un exercice plus dur**.
Exercice : Montrer que tout entier a un multiple qui ne s'écrit qu'avec des 0 et des 1.

Pourquoi passer par toutes ces étapes (1-2, pour foys, déclaration "dur" pour PR)? confused smiley .
Pour tout n non nul, existe k et une écriture 111..100..00=111...11...1 - 111...11 = kn correcte! (C'est d'ailleurs valable pour n'importe quelle suite de chiffres, pas seulement la constante 1, et dans n'importe quelle base)

** confused smiley (j'ai dû rater un épisode ou peut-être Alzheimer me guette)

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a cinq ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par christophe c.
Re: 1...1 divisible par 2007
il y a cinq années
J'avais lu trop vite les posts ci-dessus et ai voulu répondre notamment à la question de l'auteur du fil. Mais c'est vrai qu'en ajoutant les 2-3 détails manquant c'est plus rapide comme tu dis.
Re: 1...1 divisible par 2007
il y a cinq années
avatar
Bonjour.
Encore un autre énoncé :

Tot nombre a un multiple dont l'écriture en base 11 utilise tous les chiffres (i.e. 123...89X)
Re: 1...1 divisible par 2007
il y a cinq années
Spoiler
Puisque si $u$ divise $v$ alors $u 11^k$ divise v $11^k$ il suffit de traiter le cas où l'entier $n$ est premier avec 11. puisque $n$ est inversible modulo $11$, il existe pour tout $a \in \{0,1,...,10\}$, $b \in \N$ tel que le dernier chiffre de $bn$ en base 11 est $a$ (j'identifie "X" et "10" en tant que symboles). On construit une suite par récurrence sur $k=1,...,10$ en exigeant que $a_1 \times n = 1$ mod 11 et pour tout $k>1$, si $x$ est le $k$-ième de $a_{k-1}$ en base $11$, et $y$ est choisi de sorte que $ny=k-x$, alors on pose alors $a_k=11^ky+a_{k-1}$. On vérifie par construction que $a_{10}$ se termine en base 11 par "$123456789X$" et que c'est un multiple de $n$



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a cinq ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Foys.
Re: 1...1 divisible par 2007
il y a cinq années
avatar
J'aurais pu me rappeler que j'étais membre du club $7\times77$ (retourne ta langue $7\times77$ fois...)
Paul Broussous
Re: 1...1 divisible par 2007
il y a cinq années
C'est le genre d'exercice dont je donne souvent des variantes en TD. On peut simplement remarquer que le nombre écrit en base 10 : 11...1 (n chiffres) est la somme d'une suite géométrique. C'est donc (10^n -1)/9. A partir de là, on est ramené à résoudre une congruence : 10^n = 1 mod qqchose.
Re: 1...1 divisible par 2007
il y a cinq années
avatar
Salut,
Sauf erreur, si 2007 divise 1+10+100+1000+...+10^n, alors n>=222
Re: 1...1 divisible par 2007
il y a cinq années
avatar
2007 est un multiple de 9 , $(10^{222}-1)/9$ n'est pas divisible par 2007.
Re: 1...1 divisible par 2007
il y a cinq années
avatar
Linverse d'un entier x non nul, a un dévloppement décimal périodique si-si pgcd(x,10)=1.
noton par L(x) la longeur de la periode de la partie decimale de (1/x).
exemples:
L(7)=6, car 1/7=0,142857 142857 142857 ...
L(3)=1, car 1/3=0,3333333...
on a qlq propriétés,
1/ si x est premier, alors L(x) divise (x-1)
exemples
L(7)=6 divise 7-1
L(13)=6, divise 13-1 " 1/13=0,076923 076923...
2/ L(xn))=xn-1L(x)
3/ si x, y distincts et xy n'est pas une puissace, alors L(xy)=PPCM(L(x),L(y))
exemple:
L(21)=PPCM(6,1)=6, 1/21=0,047619 047619...
Cette partie de la partie decimale de 1/x qui ce repete infiniment, est dite un nombre de tétu, ou nombre à permutation cyclique, on l'a note par T(x)
exemples:
T(7)=142857, T(3)=3...

voir par exemple Villemin gerard

à la suite, notons par:
Un=1+10+100+1000+...+10n
Vn=10n-1
alors on a:
L(Un)=n+1
L(Vn)=n
xT(x)=10L(x)-1 " exemple 7*142857=999999"
une note: aucune methode n'est connu pous savoir si L(x, premier) est maximale, c-à-d que L(x,premier)=x-1

pour repondre à la question en prend un autre exemple, car 2007 est tres grand, soit par exemple 21=3*7
cherchons la plus petite valeur de n, pour laquelle Un soit divisilbe par 21.
on a: 21=3*7, alors on prend le facteur dont la longeur L est plus élévé, dans notre cas c'est 7, et T(7)=142857 on verifie que 3 divise T(7), et on a, 7T(7)=999999=9*111111, donc 21 divise 21 divise U5.

Voilà sauf erreur, et à vous de jouer avec 2007 ou 2000007, car pour tout entier impair x il existe n, tel que x divise Un.

pour 2007=3*3*223, j'ai verifier avec mon pc que L(223)=222, donc le plus petit n pour le quel 2007 divise Un, est n=221.

Mehdi Pascal
Mehdi-Pascal@hotmail.fr
Re: 1...1 divisible par 2007
il y a cinq années
avatar
Mon logiciel dit que 2007 ne divise pas 1111.... (à 222 chiffres) :


Re: 1...1 divisible par 2007
il y a cinq années
Bonjour,

Avec Pyzo (Python 3.4.1):
diviseur = 2007
expmin = 10
expmax = 10000
for exposant in range(expmin,expmax):
    dividende = (10 ** exposant -  1) // 9
    quotient  = dividende // diviseur
    reste     = dividende % diviseur
    if reste == 0:
        print(exposant,exposant / 666)

Résultat d'exécution:
666 1.0
1332 2.0
1998 3.0
2664 4.0
3330 5.0
3996 6.0
4662 7.0
5328 8.0
5994 9.0
6660 10.0
7326 11.0
7992 12.0
8658 13.0
9324 14.0
9990 15.0

Il semblerait qu'on ait là la liste des multiples de 666 (la bête !)

Cordialement,

Rescassol



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a cinq ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Rescassol.
Re: 1...1 divisible par 2007
il y a cinq années
avatar
J'ai aussi ce nombre cabalistiquement innommable.
Re: 1...1 divisible par 2007
il y a cinq années
avatar
Salut,
Je suis navrie pour cette erreur, 11111111....1 (222 fois) ne peut pas etre multiple de 9, car pour qu'il soit, il faut que 9 divise 222, ce qui n'est pas le cas, mais quand meme on peut faire une correction, disons que 2007 divise (10666-1)/9, et sauf erreur 666 est la valeur minimal.

merci
Re: 1...1 divisible par 2007
il y a cinq années
Pas très surprenant : $9\times 2007= 3^4\times 223$, et $10$ est d'ordre (multiplicatif) $9$ modulo $3^4=81$. Son ordre modulo $9\times 2007$ est donc un diviseur du ppcm de $9$ et $222$, soit $666$. Et il est effectivement d'ordre $666$.
AP
Re: 1...1 divisible par 2007
il y a cinq années
En fait on peut démontrer que tout nombre $N$ impair non divisible par 5 admet un multiple constitué que de 1
via le théorème d'Euler :
$10^{\psi(9N)} \equiv 1 (9N)$ car $9N$ et $10$ sont premiers entre eux

et donc , aussi , l'ordre de 10 modulo $9N$ est un diviseur de $10^{\psi(9N)}$

pour $N=2007$ cet ordre divise donc $54\times 222$ ce qui ici est moins bien que de dire cet ordre divise 666
Re: 1...1 divisible par 2007
il y a cinq années
avatar
@ ap : Le critère le plus concis est quand-même
"Tout nombre premier avec dix ..."
Re: 1...1 divisible par 2007
il y a cinq années
Pourquoi noter $\psi$ l'indicatrice d'Euler ?
AP
Re: 1...1 divisible par 2007
il y a cinq années
Je préfère ne rien dire.
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