1...1 divisible par 2007
dans Arithmétique
Bonjour
Cet exercice est très classique mais je ne vois pas du tout le cheminement.
Énoncé corrigé:
On considère le nombre : $1\cdots 1$ avec $n$ fois le chiffre 1. Montrer qu'un de ces nombres est divisible par 2007.
La méthode classique est d'utiliser le principe des tiroirs.
Je pense qu'il faut considérer les restes de 1...1 par 2007 (il y en a 2007) mais ensuite je ne vois plus.
Merci de m'aider
Cet exercice est très classique mais je ne vois pas du tout le cheminement.
Énoncé corrigé:
On considère le nombre : $1\cdots 1$ avec $n$ fois le chiffre 1. Montrer qu'un de ces nombres est divisible par 2007.
La méthode classique est d'utiliser le principe des tiroirs.
Je pense qu'il faut considérer les restes de 1...1 par 2007 (il y en a 2007) mais ensuite je ne vois plus.
Merci de m'aider
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Réponses
désolé
En supposant que $n<m$ , on peut alors dire que $U_n$ et $U_m$ sont congrus modulo 2007, donc leur différence est divisible par 2007.
Cette différence s'écrit plutôt comme 1...10...0 avec $n-m$ fois le chiffre 1 et $m$ le chiffre 0.
On se sert de ce nombre ou je fais fausse piste ?
De plus $f$ est bijective modulo 2007. C'est facile à voire car ajouter 1 est bijective et comme 10 est premier à 2007 multiplier par 10 est aussi bijective.
Si on part de 0, alors $f(0)=10\times 0+1=1$, $f(1)=10\times 1+1=11$, $f(10)=10\times 11+1=111$, etc.
Comme $f$ est bijective modulo 2007, Les $f^n(0)\mod 2007$ forment un cycle, i.e. on fini par revenir à 0, i.e. on a $n>0$ tel que $f^n(0)=0\mod 2007$.
Autre manière (celle suggérée): si 2007 divise 111...111000...0000, alors comme 2007 est premier à 10, il l'est à 1000...0000 et par Gauss 2007 divise 111...111.
Merci !
Exercice : Montrer que tout entier a un multiple qui ne s'écrit qu'avec des $0$ et des $1$.
Si on considère l'ensemble $\{f^{(n)}(0) \mod{2007} \text{avec } n>0\}$ avec $f(x)=10x+1$ il est fini mais je ne vois pas pourquoi cet ensemble devrait contenir la classe de $0\mod{2007}$
$2007$ et $666$, maintenant vous êtes prévenus pour $2017$ X:-(
On a $n>m$ tels que $f^n(0)=f^m(0)\mod 2007$ du coup (en composant avec $f^{-m}$, on obtient $f^{n-m}(0)=f^{m-m}(0)=0\mod 2007$.
A partir du moment où tu as que $1\dots 1 - 1\dots1=1\dots10\dots0 = 2007k$ multiple de 2007, comme il existe $u,v$ des entiers (relatifs) tels que $2007u+10\dots 0v=1$, tu obtiens que $1\dots 1 = 1\dots 1 \times (2007u+10\dots 0v) = $ un certain $k'$ fois $2007 + 2007k$.
edit: pardon à toi FdP, je te réponds en faisant un edit plutôt qu'un post de plus.
Merci, mais j'avais compris le dernier message de Mpif. B-)
1) Soit $p$ premier différent de $2$ et de $5$. Montrer que pour tout $k \in \N$ il existe $n \in \N$ tel que $p$ divise $\sum_{\ell=0}^{n} 10^{k \ell}$.
2) Soit $m$ un entier premier avec $10$. Montrer par récurrence sur le nombre de facteurs premiers de $m$ qu'il existe un multiple de $m$ qui ne s'écrit qu'avec des "$1$" en base $10$ (indication: que vaut $(\sum_{j=0}^{k-1} 10 ^j) \times (\sum_{\ell=0}^{n} 10^{k \ell})$ ?)
3) tout entier non nul a un multiple de la forme $11111...100000...000$.
Pourquoi passer par toutes ces étapes (1-2, pour foys, déclaration "dur" pour PR)? :-S .
Pour tout n non nul, existe k et une écriture 111..100..00=111...11...1 - 111...11 = kn correcte! (C'est d'ailleurs valable pour n'importe quelle suite de chiffres, pas seulement la constante 1, et dans n'importe quelle base)
** :-S (j'ai dû rater un épisode ou peut-être Alzheimer me guette)
Encore un autre énoncé :
Tot nombre a un multiple dont l'écriture en base 11 utilise tous les chiffres (i.e. 123...89X)
Puisque si $u$ divise $v$ alors $u 11^k$ divise v $11^k$ il suffit de traiter le cas où l'entier $n$ est premier avec 11. puisque $n$ est inversible modulo $11$, il existe pour tout $a \in \{0,1,...,10\}$, $b \in \N$ tel que le dernier chiffre de $bn$ en base 11 est $a$ (j'identifie "X" et "10" en tant que symboles). On construit une suite par récurrence sur $k=1,...,10$ en exigeant que $a_1 \times n = 1$ mod 11 et pour tout $k>1$, si $x$ est le $k$-ième de $a_{k-1}$ en base $11$, et $y$ est choisi de sorte que $ny=k-x$, alors on pose alors $a_k=11^ky+a_{k-1}$. On vérifie par construction que $a_{10}$ se termine en base 11 par "$123456789X$" et que c'est un multiple de $n$
Sauf erreur, si 2007 divise 1+10+100+1000+...+10^n, alors n>=222
noton par L(x) la longeur de la periode de la partie decimale de (1/x).
exemples:
L(7)=6, car 1/7=0,142857 142857 142857 ...
L(3)=1, car 1/3=0,3333333...
on a qlq propriétés,
1/ si x est premier, alors L(x) divise (x-1)
exemples
L(7)=6 divise 7-1
L(13)=6, divise 13-1 " 1/13=0,076923 076923...
2/ L(xn))=xn-1L(x)
3/ si x, y distincts et xy n'est pas une puissace, alors L(xy)=PPCM(L(x),L(y))
exemple:
L(21)=PPCM(6,1)=6, 1/21=0,047619 047619...
Cette partie de la partie decimale de 1/x qui ce repete infiniment, est dite un nombre de tétu, ou nombre à permutation cyclique, on l'a note par T(x)
exemples:
T(7)=142857, T(3)=3...
voir par exemple Villemin gerard
à la suite, notons par:
Un=1+10+100+1000+...+10n
Vn=10n-1
alors on a:
L(Un)=n+1
L(Vn)=n
xT(x)=10L(x)-1 " exemple 7*142857=999999"
une note: aucune methode n'est connu pous savoir si L(x, premier) est maximale, c-à-d que L(x,premier)=x-1
pour repondre à la question en prend un autre exemple, car 2007 est tres grand, soit par exemple 21=3*7
cherchons la plus petite valeur de n, pour laquelle Un soit divisilbe par 21.
on a: 21=3*7, alors on prend le facteur dont la longeur L est plus élévé, dans notre cas c'est 7, et T(7)=142857 on verifie que 3 divise T(7), et on a, 7T(7)=999999=9*111111, donc 21 divise 21 divise U5.
Voilà sauf erreur, et à vous de jouer avec 2007 ou 2000007, car pour tout entier impair x il existe n, tel que x divise Un.
pour 2007=3*3*223, j'ai verifier avec mon pc que L(223)=222, donc le plus petit n pour le quel 2007 divise Un, est n=221.
Mehdi Pascal
Mehdi-Pascal@hotmail.fr
Avec Pyzo (Python 3.4.1):
Résultat d'exécution:
Il semblerait qu'on ait là la liste des multiples de 666 (la bête !)
Cordialement,
Rescassol
Je suis navrie pour cette erreur, 11111111....1 (222 fois) ne peut pas etre multiple de 9, car pour qu'il soit, il faut que 9 divise 222, ce qui n'est pas le cas, mais quand meme on peut faire une correction, disons que 2007 divise (10666-1)/9, et sauf erreur 666 est la valeur minimal.
merci
via le théorème d'Euler :
$10^{\psi(9N)} \equiv 1 (9N)$ car $9N$ et $10$ sont premiers entre eux
et donc , aussi , l'ordre de 10 modulo $9N$ est un diviseur de $10^{\psi(9N)}$
pour $N=2007$ cet ordre divise donc $54\times 222$ ce qui ici est moins bien que de dire cet ordre divise 666
"Tout nombre premier avec dix ..."