Somme de tous les nombres entiers.
dans Arithmétique
Bonjour,
J'ai vu récemment une vidéo démontrant que la somme de tous les nombres entiers est égale a -1/12.
J'ai été assez étonné, comme beaucoup de personne j'imagine, par ce résultat et je voudrais savoir si vous pouvez un peu le commenter, et surtout si vous connaissez des applications concrètes de ce résultat ?
Merci.
PS: Je ne suis pas mathématicien.
J'ai vu récemment une vidéo démontrant que la somme de tous les nombres entiers est égale a -1/12.
J'ai été assez étonné, comme beaucoup de personne j'imagine, par ce résultat et je voudrais savoir si vous pouvez un peu le commenter, et surtout si vous connaissez des applications concrètes de ce résultat ?
Merci.
PS: Je ne suis pas mathématicien.
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Réponses
il s'agit d'un "calcul", pas d'une démonstration. C'est à dire que sont utilisées des règles qui dans certaines circonstances sont correctes, mais pas vraiment dans ce cas.
D'ailleurs, sans être mathématicien, tu peux bien imaginer facilement ce que ça fait quand on ajoute les uns après les autres les entiers successifs.
Quant aux applications concrètes, il y en a déjà peu de facilement explicable sur les mathématiques courantes (sauf calculs de petit niveau), il ne faut pas rêver. Mais les mathématiciens utilisent parfois ce genre de méthodes pour des mathématiques très abstraites.
Cordialement.
http://sciencetonnante.wordpress.com/2014/01/20/le-scandale-des-series-divergentes/
Ça me rappelle cette blague : An infinite number of mathematicians walk into a bar. The first one orders a beer. The second orders two beers. The third, three beers. The bartender says, "you guys owe me a twelfth of a beer."
J'avoue au début quand j'étais plus jeune (je le suis encore).. Je ne comprenais pas, mais ça c'était avant d'étudier la fonction zêta de Riemann..
En fait, il utilise une formule valable uniquement pour Re(s)>1 ( série de Riemann) , ce qui n'est pas le cas de -1... Le problème c'est que la somme est divergente dans ce cas ( on ne peut alors pas trouver -1/12). J'espère avoir été clair.
Demande donc à Jean Lismonde si l'on ne peut pas trouver $-\frac{1}{12}$...B-)-
en 1990 dans un article de la revue Ciel et Espace il était dit que
la somme des entiers naturels était de $-\frac 1{12}$ ... sans absolument aucune autre précision ni commentaire
Bien entendu le courrier des lecteurs a fonctionné et dans un numéro suivant l'auteur de l'article donnait la preuve suivante :
Il prend en fait pour valeur de la somme des entiers naturels la limite lorsque $t$ tend vers $0^+$ de la somme $S(t)$ (au sens habituel) de la série $u_n=n e^{-tn}$ avec $t>0$ (c'est un procédé d'Abel pour sommer des séries divergentes)
Cette série (à termes positifs) est effectivement convergente, se somme assez bien :
$S(t)=\frac{1}{t^2}-\frac 1{12}+\epsilon(t)$ avec $\epsilon$ tendant vers 0 avec $t$
Et de dire, (en parlant de renormalisation) on supprime le terme $\frac 1{t^2}$
et la limite cherchée est $-\frac 1{12}$.
la somme infinie des entiers naturels est une série divergente vers $+\infty$,
il n'est pas nécessaire d'être en licence pour comprendre cela
il suffit de considérer la somme algébrique : $S(n) = 1 + 2 + 3 + ..........+ n = \frac{n(n+1)}{2}$
pour $n$ infini cette suite diverge vers $+\infty$ comme $\frac{n^2}{2}$
le résultat que tu exhibes $- \frac{1}{12}$ et qui faisait "la une" du New-York Times en début d'année 2014
provient de la relation fonctionnelle qui existe entre la série de Riemann définie pour $x>1$ : $Z_x = \Sigma_1^{+\infty}\frac{1}{n^x}$
et celle des entiers naturels alternés à savoir $Z_a(x) = \Sigma_1^{+\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n^x}$
soit $$Z_x = \frac{Z_a(x)}{1 - 2^{1-x}}$$
il s'agit d'une relation qui permet de prolonger pour $x < 1$ la fonction $Z_x$ sachant que $Z_a(x)$ est elle définie sur $R$
on sait que $Z_a(-1) = \frac{1}{4}$ que l'on obtient directement ou par le théorème de Cesàro
on en déduit immédiatement le prolongement de $Z_x$ pour $x = -1$ soit $-\frac{1}{12}$
il est absurde d'en déduire que la somme infinie des entiers naturels est égal à ce résultat
les rédacteurs du New-York Times ce jour-là ont sombré dans le ridicule
cordialement
J'aimerais bien voir la démonstration du fait que $Z_a$ est "définie" sur $\mathbb R$. A moins qu'il s'agisse bien sûr encore d'une convergence à la Jean Lismonde (ce qui est le cas ici).
$\zeta(-1)=-1/12$ est un cas particulier de la formule $\zeta(-n)=(-1)^nB_{n+1}/(n+1)$
Qui donne aussi $\zeta(-2)=0$ et "donc" pourquoi ne pas dire aussi
que la somme des carrés des entiers naturels est 0 ?
Etc
:-)
Voici ce que Dirac écrivait en 1975 à propos de la renormalisation :
« La plupart des physiciens se satisfont parfaitement de cette situation. Ils disent «l’électro-dynamique quantique est une bonne théorie, et nous n'avons pas à nous en soucier plus que cela. » Je dois dire que je suis très mécontent de cette situation, parce que ce qu'ils appellent une « bonne théorie » implique de négliger des infinités qui apparaissent dans ses équations, ce qui introduit une part d'arbitraire. Cela ne ressemble pas du tout à des mathématiques sensées. Les mathématiques sensées impliquent de négliger des quantités quand elles sont petites – pas de les négliger parce qu'elles sont infinies et que vous n'en voulez pas ! »