Somme de tous les nombres entiers.

Un billet sérieux sur le sujet par un non matheux (un ex physicien théoricien).

http://sciencetonnante.wordpress.com/2014/01/20/le-scandale-des-series-divergentes/

AHH,
J'avoue au début quand j'étais plus jeune (je le suis encore).. Je ne comprenais pas, mais ça c'était avant d'étudier la fonction zêta de Riemann..
En fait, il utilise une formule valable uniquement pour Re(s)>1 ( série de Riemann) , ce qui n'est pas le cas de -1... Le problème c'est que la somme est divergente dans ce cas ( on ne peut alors pas trouver -1/12). J'espère avoir été clair.

Kniga a écrit:

on ne peut alors pas trouver -1/12

Demande donc à Jean Lismonde si l'on ne peut pas trouver $-\frac{1}{12}$...B-)-

Un souvenir sur ce $-\frac 1{12}$
en 1990 dans un article de la revue Ciel et Espace il était dit que
la somme des entiers naturels était de $-\frac 1{12}$ ... sans absolument aucune autre précision ni commentaire
Bien entendu le courrier des lecteurs a fonctionné et dans un numéro suivant l'auteur de l'article donnait la preuve suivante :

Il prend en fait pour valeur de la somme des entiers naturels la limite lorsque $t$ tend vers $0^+$ de la somme $S(t)$ (au sens habituel) de la série $u_n=n e^{-tn}$ avec $t>0$ (c'est un procédé d'Abel pour sommer des séries divergentes)
Cette série (à termes positifs) est effectivement convergente, se somme assez bien :
$S(t)=\frac{1}{t^2}-\frac 1{12}+\epsilon(t)$ avec $\epsilon$ tendant vers 0 avec $t$
Et de dire, (en parlant de renormalisation) on supprime le terme $\frac 1{t^2}$
et la limite cherchée est $-\frac 1{12}$.

bonjour

la somme infinie des entiers naturels est une série divergente vers $+\infty$,
il n'est pas nécessaire d'être en licence pour comprendre cela

il suffit de considérer la somme algébrique : $S(n) = 1 + 2 + 3 + ..........+ n = \frac{n(n+1)}{2}$
pour $n$ infini cette suite diverge vers $+\infty$ comme $\frac{n^2}{2}$

le résultat que tu exhibes $- \frac{1}{12}$ et qui faisait "la une" du New-York Times en début d'année 2014
provient de la relation fonctionnelle qui existe entre la série de Riemann définie pour $x>1$ : $Z_x = \Sigma_1^{+\infty}\frac{1}{n^x}$
et celle des entiers naturels alternés à savoir $Z_a(x) = \Sigma_1^{+\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n^x}$

soit $$Z_x = \frac{Z_a(x)}{1 - 2^{1-x}}$$
il s'agit d'une relation qui permet de prolonger pour $x < 1$ la fonction $Z_x$ sachant que $Z_a(x)$ est elle définie sur $R$

on sait que $Z_a(-1) = \frac{1}{4}$ que l'on obtient directement ou par le théorème de Cesàro

on en déduit immédiatement le prolongement de $Z_x$ pour $x = -1$ soit $-\frac{1}{12}$

il est absurde d'en déduire que la somme infinie des entiers naturels est égal à ce résultat

les rédacteurs du New-York Times ce jour-là ont sombré dans le ridicule

cordialement

Pour moi, $\zeta$ étant le prolongement holomorphe à $C\setminus\{1\}$ de $\sum 1/n^s$,
$\zeta(-1)=-1/12$ est un cas particulier de la formule $\zeta(-n)=(-1)^nB_{n+1}/(n+1)$

Qui donne aussi $\zeta(-2)=0$ et "donc" pourquoi ne pas dire aussi
que la somme des carrés des entiers naturels est 0 ?
Etc
:-)