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Démonstration de la conjecture de Legendre

Envoyé par rlabrie 
Démonstration de la conjecture de Legendre
il y a trois années
Bonjour,

J'ai réalisé une démonstration de la conjecture de Legendre qui énonce qu'il y a au moins un nombre premier entre les carrés de n et n+1. J'apprécierais obtenir des commentaires relatifs à cette démonstration.

Comme on ne peut déposer dans le présent forum un fichier PDF vous trouverez ma démonstration dans les archives de viXra.org à l'adresse ci-dessous:
[vixra.org]

Merci à l'avance!



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par rlabrie.
Re: Démonstration de la conjecture de Legendre
il y a trois années
Bonjour,

Citation
rlabrie
Voici une démonstration ...
Où ça ?

Cordialement,

Rescassol



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par Rescassol.
ev
Re: Démonstration de la conjecture de Legendre
il y a trois années
avatar
Bonjour Rescassol.

Fais Gaffe ! C'est un truc de pickpocket. Pendant que tu cherches, un comparse te fait les fouilles.

e.v.
Re: Démonstration de la conjecture de Legendre
il y a trois années
Bonjour,

Je suis désolé, mais la démonstration qui s'étend sur 7 pages et en format PDF n'a pas été acceptée. Je ne comprends pas pourquoi car il est mentionné dans la charte à lire avant de poster que ce type de fichier est recommandé.

rlabrie
On ne peut pas poster de pdf depuis quelques mois suite à des problèmes techniques, il faut les déposer sur un site de partage de fichiers : voir ici.
Re: Démonstration de la conjecture de Legendre
il y a trois années
Bonjour,

J'ai eu la même mésaventure en voulant poster un document PDF.
Bonjour ev. A part l'humour, ça va toujours avec les normes pas équivalentes ?

Cordialement,
zephir.
Re: Démonstration de la conjecture de Legendre
il y a trois années
avatar
Il te reste la possibilité d'up-loader ton .pdf quelque part et de nous mettre un lien
Re: Démonstration de la conjecture de Legendre
il y a trois années
avatar
Citation
Comme on ne peut déposer ici un fichier PDF vous trouverez ma démonstration dans les archives de viXra.org à l’adresse

Le lien ne renvoie sur aucun article précis.

Une théorie nouvelle ne triomphe jamais. Ses détracteurs finissent par mourir.
Re: Démonstration de la conjecture de Legendre
il y a trois années
avatar
Le bon lien est : celui-ci.

Greg

Ora, lege, lege, relege, labora et invenies (Prie, lis, lis , relis, travaille et tu trouveras)
Re: Démonstration de la conjecture de Legendre
il y a trois années
Si j'ai pas fait d'erreur, le lien est le suivant pour le .pdf proposé par l'auteur:
[vixra.org]


PS:Je ne l'ai pas encore lu donc je ne veux faire nul grief à l'auteur en quelque manière que ce soit, mais, aussi loin que je puisse me souvenir, viXra est le repère de nombreux "crackpots" et est (beaucoup) moins "safe" que arXiv.(et il me semble que c'est voulu par l'admin, qui avait eu un différend avec des gens de chez arXiv je crois). Je m'excuse par avance si je me trompe.
J'ai suivi le lien donné par GreinGre.

Le texte est très clair. J'ai survolé la preuve du lemme sans voir de preuve de la majoration (l'espace semble occupé par une minoration). Or c'est la majoration qui est utilisée ensuite. J'ai peut-être lu trop vite. Numériquement j'ai vérifié que ça marchait jusqu'au nombre premier 17 smiling smiley.

La conclusion à partir de ce lemme est très courte. J'ai scanné rapidement en ne voyant que des typos mais il faudrait regarder à tête plus reposée que la mienne en ce moment.

En tout cas je vous invite à regarder, la démarche est honnête, c'est bien expliqué et c'est pas long.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par jacquot.
Re: Démonstration de la conjecture de Legendre
il y a trois années
avatar
L'auteur affirme que la suite, la plus longue, de nombres consécutifs qui est divisible par au moins l'un des $2,3,5,...,p_{n-1},p_n$
,qui sont les $n$ nombres premiers, possède $2p_{n-1}-1$ termes.

J'ai essayé avec $p_n$ petit sans parvenir à trouver de contre-exemple.


On peut écrire un algorithme (ce que je n'ai pas encore fait) qui permet de chercher un tel contre-exemple (s'il existe !) en remarquant qu'on peut se limiter à rechercher une suite de $2p_{n-1}$ nombres composés dans l'intervalle $[2,2\times 3\times...\times p_n]$ puisque si $a_1,a_2,..,a_{2p_{n-1}}$ en remplaçant chaque terme par $a_i-k\times2\times 3\times...\times p_n$
on construit une suite de nombres consécutifs qui sont composés. Il suffit d'ajuster la valeur de $k$ pour que le premier terme de cette nouvelle suite soit positif.

PS:
Je n'ai pas cherché à comprendre la démonstration proposé du lemme. Cela ne m'inspire pas.

Une théorie nouvelle ne triomphe jamais. Ses détracteurs finissent par mourir.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par Fin de partie.
Re: Démonstration de la conjecture de Legendre
il y a trois années
avatar
S'il y a trop de nombres premiers dans l'intervalle $[2,2\times 3\times...\times p_n]$ cela gêne à la constitution d'une suite de nombres consécutifs adéquate. Ce qui me fait penser que si un tel contre-exemple existe, il ne va pas se trouver dans les cas où la valeur de $p_n$ est petite.

Une théorie nouvelle ne triomphe jamais. Ses détracteurs finissent par mourir.
Re: Démonstration de la conjecture de Legendre
il y a trois années
Bonjour,
Je pense qu'il y a un problème avec le lemme tel que je le comprends.
Pour une liste maximale d'entiers composés consécutifs donnée, disons comprise entre N et M inclus, et pour 2,3...,p les premiers entrant en jeu, il est possible de translater cette liste par un multiple de 2*3*...*p. En effet tous les nombres seront encore au moins multiples d'un des premiers. Partant de là, la suite (N-1)+k*2*3*...*p ne peut pas contenir que des premiers pour tout k, ce qui produit une liste strictement plus longue.
Re: Démonstration de la conjecture de Legendre
il y a trois années
avatar
Flyan:

Donne un exemple précis avec chiffres à l'appui pour que je te comprenne. smoking smiley

si tu rajoutes une constante à tous les termes d'une liste de longueur, cela n'agrandit pas la longueur de cette liste.

Une théorie nouvelle ne triomphe jamais. Ses détracteurs finissent par mourir.
Re: Démonstration de la conjecture de Legendre
il y a trois années
Fin de partie, je n'ai pas été assez précis, je comptais agrandir la suite par le bord, ici gauche, avec les translatés de (N-1). Par contre je me rend compte que ça ne marche pas, car il faut que le nouveau bord de cette suite ait au moins un facteur premier dans 2,3,..,p ; ce qui n'est pas le cas.
Re: Démonstration de la conjecture de Legendre
il y a trois années
avatar
Essaie avec $2\times 3$,$2\times 3\times 5$ et $2\times 3\times 5\times 7$
pour te rendre compte de la difficulté de trouver un contre-exemple (s'il en existe un).

Une théorie nouvelle ne triomphe jamais. Ses détracteurs finissent par mourir.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par Fin de partie.
Bonjour,

Je pense aussi qu'il y a un problème avec le lemme

8 9 10 divisible par 2,3 => (2 * 2) - 1 = 3 nombres composés

24 25 26 27 28 divisible par 2,3,5 => (2 * 3) - 1 = 5 nombres composés

90 91 92 93 94 95 96 divisible par 2,3,5,7,13,19,23,31
Re: Démonstration de la conjecture de Legendre
il y a trois années
Bonjour,

Vous n'avez pas utilisé mon algorithme, car comme expliqué dans mon texte avec les diviseurs 2, 3, 5 et 7 on a la suite de 9 nombres composés consécutifs débutant avec 212. Ces nombres sont divisibles par un des diviseurs ci-haut.

Merci pour avoir pris le temps de faire quelques calculs!
Bonjour,

Sauf erreur de ma part dans votre premier tableau le 5 devrait se trouver dans la colonne x+7 au lieu de x+6, pareil pour 7, x+9 au lieu de x+8. Je n'ai pas été plus loin, mon impatience m'a poussé à effectuer les calculs ci-dessus ;)

Si ce n'est pas vrai pour toute suite de nombres composés consécutifs, ne serait-ce pas plus clair d'énoncé le lemme à partir de la suite des nombres premiers ?

Pour toute suite de nombres premiers 2,3,5,..., pi il existe une suite de nombres composés consécutifs de longueur (2 * pi-1) - 1 tel que chaque composé est divisible par au moins un premier de la suite
@rlabrie

Je détaille ce que j'ai dit dans mon premier message. Pour un entier $i \ge 2$ appelons $i-$suite une suite d'entiers consécutifs telle que chacun des entiers de la suite est divisible par $p_1=2$ ou par $p_2=3$ ou ... ou par $p_i$.

Il y a deux résultats :
1) Pour tout entier $i \ge 2$, il n'existe pas de $i-$suite de longueur au moins $2p_{i-1}$.
2) Pour tout entier $i \ge 2$, il existe une $i-$suite de longueur $2p_{i-1}-1$.

Si on combine ces deux résultats, on obtient :
Lemme. Pour tout entier $i \ge 2$, la plus longue $i-$suite est de longueur $2p_{i-1}-1$.

Il me semble que tu ne montres que 2). Il me semble qu'à la fin tu n'utilises par contre que 1). Autrement dit tu ne montres pas ce que tu utilises. Ce n'est qu'une impression suite à une lecture rapide, je me trompe peut-être. Un avis ?
Bonjour,

La première affirmation, concernant $L_7$, est correcte. C'est une sorte de crible.
Si l'on prend $10$ nombres consécutifs~:
- $5$ sont pairs
- Au plus $4$ sont multiples de $3$. S'il y en a $3$, au moins $1$ est pair. S'il y en a $4$, $2$ sont pairs. On compte donc au plus $2$ multiples de $3$ qui ne sont pas pairs.
- Il y a $2$ multiples de $5$, dont un est déjà compté comme nombre pair.
- Il y a un unique multiple de $7$.

Au final, le nombre de multiples de l'un des nombres $2$, $3$, $5$ ou $7$ est au plus \[5 + 2 + 1 + 1 = 9 = 2\times 5 - 1\]
On ne peut donc pas trouver $10$ nombre consécutifs, tous multiples de l'un des entiers $2$, $3$, $5$ ou $7$, ce qui prouve $L_7 \leq 9$. L'exemple proposé montre qu'on a bien $L_7 = 9$.

Ceci dit, le cas général me paraît douteux. La preuve commence par "Un algorithme pour construire la plus longue configuration de diviseurs consiste à...". Or cet algorithme effectue des choix qui paraissent arbitraires et dont il ne semble pas évident qu'il conduise à une suite de longueur maximale.
@H :
Je n'avais pas lu ton message lorsque j'ai rédigé le mien. Il me semble que R. Labrie estime avoir prouvé 1) et 2) à la fois. Mais je me trompe peut-être, je n'ai pas lu en détail.
Re: Démonstration de la conjecture de Legendre
il y a trois années
avatar
Que la démonstration de son lemme soit correcte ou non, cela ne signifie pas pour autant que le lemme soit vrai ou qu'il soit faux. S'il est faux, merci de donner un contre-exemple. smoking smiley

Amod:
Rlabrie pretend que la plus grande suite de nombres consécutifs qui soit ou bien divisible par $2$, ou par $3$,..., ou par $p_n$ (ces nombres sont les $n$ premiers diviseurs premiers et le "ou" n'est pas exclusif) est de longueur $2p_{n-1}-1$


PS:
Mon sentiment est que ce lemme est faux mais que produire un contre-exemple pourrait s'avérer ne pas être aisé.

Une théorie nouvelle ne triomphe jamais. Ses détracteurs finissent par mourir.
Fin de partie écrivait:
-------------------------------------------------------
> Que la démonstration de son lemme soit correcte
> ou non, cela ne signifie pas pour autant que le
> lemme soit vrai ou qu'il soit faux.

C'est évident. À qui t'adresses-tu ?
Re: Démonstration de la conjecture de Legendre
il y a trois années
avatar
Yalta:

A personne en particulier. Il est parfois bon d'enfoncer des portes ouvertes. smoking smiley

Une théorie nouvelle ne triomphe jamais. Ses détracteurs finissent par mourir.
Re: Démonstration de la conjecture de Legendre
il y a trois années
Bonjour H,
Merci pour l'excellent commentaire, je réalise qu'il faudrait démontrer ta partie 1 à l'effet qu'il n'y a pas de suite plus longue que celle obtenue par mon algorithme.
Re: Démonstration de la conjecture de Legendre
il y a trois années
Bonjour AMod,

Vous avez raison ce schéma doit être corrigé. Quant à la reformulation proposée du lemme, c'est bien, mais je veux insister sur le fait que c'est la plus longue suite qu'on puisse trouver et donner la formule pour calculer la longueur.
Merci!



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par rlabrie.
Quelques remarques :

- On a vérifié ci-dessus $L_7 = 9 = 2 \times 5 - 1$. R. Labrie donne comme exemple la suite $[\![212,220]\!]$. La première suite est $[\![200,208]\!]$. (il y a aussi simplement $[\![2, 10]\!]$, si on n'exige pas le caractère composé mais qu'on se contente de "multiple de $2, 3, 5$ ou $7$").

- $L_{11} = 13 = 2 \times 7 - 1$ est facile à vérifier, de la même manière que ci-dessus. Comme suite de longueur $13$, on trouve $[\![114, 125]\!]$.

Ca se complique à partir de $13$. Néanmoins :
S'il existe une suite $x+1, \ldots, x+L$ de nombres tous multiples d'un nombre premier $\leq p$, alors, en posant $\Pi = 2 \times 3 \times 5 \times \ldots \times p$, la suite $(x- \Pi)+1, \ldots, (x - \Pi) + L$ est encore formée de multiples de ces nombres premiers. Il existe donc une telle suite, vérifiant en outre $x < \Pi$. Pour prouver $L_p < L$, il suffit donc d'examiner les suites de $L$ entiers consécutifs dont le premier terme est $<\Pi$, et de vérifier qu'elles ne conviennent pas (ie l'un des termes n'a pas de facteur premier $\leq p$).

Ceci fournit les outils nécessaires pour calculer, pour $p$ pas trop grand bien sûr, la valeur de $L_p$.

J'ai effectivement vérifié :
- $L_{13} = 21 = 2\times 11 -1$ (suite de longueur $21$ : $[\![9940, 9960]\!]$).

- $L_{17} = 25 = 2\times 13-1$ (suite de longueur $25$ : $[\![217128, 217152]\!]$).

- $L_{19} = 33 = 2\times 17-1$ (suite de longueur $33$ : $[\![60044, 60076]\!]$.

Malheureusement :

- $L_{23} = 39 > 2 \times 19 - 1$ (suite de longueur $39$: $[\![20332472, 20332510]\!]$)

Ce qui invalide l'affirmation. Sauf erreur, bien sûr.

[Corrigé selon tes indications. AD, jacquot]



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a trois ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par jacquot.
Re: Démonstration de la conjecture de Legendre
il y a trois années
avatar
Je suis convaincu par le contre-exemple. $[20332472,20332510]$ avec la suite des $9$ premiers nombres premiers: $2,3,5,7,11,13,17,19,23$

Petit script GP PARI pour s'en convaincre:


cherche()=
{
local(L,D,i,j,s);

L=20332472;
M=20332510;
print(M-L+1);
L--;
D=[2,3,5,7,11,13,17,19,23];

for(i=1,39,L++;s=0;for(j=1,9,if(L%(D[j])==0,s++;break));if(s==0,print(L)))
}

Une théorie nouvelle ne triomphe jamais. Ses détracteurs finissent par mourir.



Edité 3 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a trois ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Fin de partie.
Effectivement il y a, pour 2,3,5,7,11,13,19,23 des suites d'entiers consécutifs "longues" vérifiant la propriété voulue, entre 1 et 2*3*5*7*11*13*19*23
[20332472, 20332510] de longueur 39
[24686822, 24686860] de longueur 39

[29609562, 29609598] de longueur 37

[36068192, 36068230] de longueur 39
[65767862, 65767900] de longueur 39
[82370090, 82370128] de longueur 39
[97689752, 97689790] de longueur 39
et leurs "complémentaires" : si on a une suite, alors en remplaçant chaque terme x de la suite par 2*3*5*7*11*13*19*23-x on obtient une autre suite correcte.

Amusant : il y a une suite maximale (i.e. ne pouvant pas être prolongée) de longueur 37, comme prévu.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a trois ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par jacquot.
Accessoirement, j'ai encore vérifié $L_{29} = 45 = 2\times 23 - 1$.

Pour $p=31$, l'algorithme proposé par R. Labrie fournit la suite de $57 = 2 \times 29 - 1$ entiers $[\![26.886.024.108, 26.886.024.164]\!]$, qui effectivement convient (et mon ordinateur mouline pour décider si $L_{31} = 57$).

Ceci étant dit, j'ai examiné l'algorithme de construction de la suite $L_{p_{i}}$, et il y a un point que je ne comprends pas :

Dans le diagramme en bas de la page 5, comment es-tu certain que les entiers situés entre les deux colonnes à droite (ou à gauche) qui "contiennent" $p_{n-1}$ et $p_n$ sont des multiples d'un $p_i$ ($i \leq n+1$) ?

D'ailleurs il me semble qu'il faudrait, si c'est correct, compter non pas $+2(p_n - p_{n-1})$, mais $+(p_n - p_{n-1}) + 1$ pour la droite (les poteaux et les intervalles...) et $+(p_n - p_{n-1}) + 2$ pour la gauche, ce qui donnerait $L_{p_{n+1}} \geq 2L_{p_n} + 2\Delta + 3$...



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a trois ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: Démonstration de la conjecture de Legendre
il y a trois années
avatar
J'ai travaillé aussi un peu.

Je me doutais bien que le nombre $20332472$ n'avait pas été trouvé par hasard et j'ai voulu déterminer le plus petit nombre entier $a$ et le plus petit nombre premier $p_n$ dont l'intervalle $[a,b]$ contient plus de $2p_{n-1}-1$ nombres qui sont divisibles par l'un ou plusieurs des nombres premiers $2,3,...p_n$ et tels que ni $a$, ni $b$ ne le soient.

Il n'y a aucun tel intervalle pour $p<23$ mais pour $p=23$ en effet, il existe un tel intervalle et c'est l'intervalle déjà signalé par Yalta.

Un petit script PARI GP pour faire cette recherche.
D=[2,3,5,7,11,13,17,19,23];

dtest(m,n)=
{
   local(i);
   for(i=1,n,if(m %(D[ i])==0,return(1)));
   return(0); 
}

p(n)=
{
   local(i,t=1);
   for(i=1,n,t=t*prime(i));
   return(t);
}

taille(a,b)={return(b-a-1)};

findit()=
{
   for(n=2,9,print("n=",n);l=p(n);m=2*prime(n-1)-1;a=1;for(i=1,l+1,if(dtest(i,n)==0,if(taille(a,i)>m,print(a));a=i)))
}
L'algorithme est simple pour un $n$ fixé on calcule le produit $p(n)$ des $n$ premiers nombres premiers
et dans l'intervalle $[1,p(n)+1]$ on cherche tous les entiers qui ne sont divisibles par aucuns des nombres premiers $2,3,...,p_n$.
L'intervalle entre deux tels nombres (bornes non comprises) est composé seulement de nombres qui sont divisibles par au moins l'un des nombres premiers: $2,3,...,p_n$. Il ne reste plus qu'à vérifier si cet intervalle est suffisant large.

PS:
Je n'arrive pas à faire apparaitre dans le code, l'indice du tableau D, le % semble être le problème.

Une théorie nouvelle ne triomphe jamais. Ses détracteurs finissent par mourir.



Edité 4 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a trois ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: Démonstration de la conjecture de Legendre
il y a trois années
avatar
Cela ferait un bon problème pour qui vous savez. grinning smiley

Une théorie nouvelle ne triomphe jamais. Ses détracteurs finissent par mourir.
Re: Démonstration de la conjecture de Legendre
il y a trois années
avatar
J'ai amélioré un peu mon code.
Il est inutile de tester les nombres pairs. smoking smiley
Pour que les crochets ne disparaissent pas, j'en ai fait précéder du symbole \ [voir commentaire ci-dessous. AD]
Tout cela reste perfectible.
D=[2,3,5,7,11,13,17,19,23];

dtest(m,n)=
{
local(i);
for(i=1,n,if(m%(D[ i] )==0,return(1)));
return(0); 
}

p(n)=
{
local(i,t=1);
for(i=1,n,t=t*prime(i));
return(t);
}

taille(a,b)={return(b-a-1)};

findit()=
{
for(n=2,9,print("n=",n);l=p(n);m=2*prime(n-1)-1;a=1;forstep(i=1,l+1,2,if(dtest(i,n)==0,if(taille(a,i)>m,print(a));a=i)))
}


[En fait il fait mettre un ' ' entre '[' et 'i', sinon l'afficheur l’interprète comme une commande BBcode de mise en italique, la commande disparait et tout le reste du message passe en italique. AD]

Une théorie nouvelle ne triomphe jamais. Ses détracteurs finissent par mourir.



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a trois ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Je corrige la phrase ci-dessous: à droite, c'est ok (sous réserve que cette tranche soit bien constituée de multiples des $p_i$, ce dont je doute fort en général). J'omettais bêtement le délacage enre les deux colonnes centrales. Par contre à gauche, c'est le flou artistique... d'où vient exactement ce $+\Delta$ ?


Yalta &eacute;crivait:
-------------------------------------------------------
> D'ailleurs il me semble qu'il faudrait, si c'est
> correct, compter non pas $+2(p_n - p_{n-1})$, mais
> $+(p_n - p_{n-1}) + 1$ pour la droite (les poteaux
> et les intervalles...) et $+(p_n - p_{n-1}) + 2$
> pour la gauche, ce qui donnerait $L_{p_{n+1}} \geq
> 2L_{p_n} + 2\Delta + 3$...
Mon ordinateur vient de rendre son verdict : on a bien $L_{31} = 57$, et il n'y a modulo $\Pi = 2 \times \ldots\times 31$ et à symétrie près ($x \mapsto -x$), qu'une seule suite de longueur maximale.

Sauf erreur de programmation, bien entendu.

Le fait que la formule énoncée par R. Labri soit valable pour tous les nombres premiers inférieurs à $39$ à une seule exception près interpelle. Sa construction fonctionne au moins au départ et semble fournir un minorant correct de $L_p$. Il est possible que ce soit spécifique aux petits nombres premiers (c'est mon sentiment). Mais je n'exclus pas que ce soit valable en toute généralité, voire même que sa construction donne généralement une suite maximale, des suites de longueur strictement plus grande n'étant alors que des "accidents".

Aussi aimerais-je bien avoir un retour de sa part en ce qui concerne les critiques émises ci-dessus (concernant le bas de la page 5). Est-ce moi qui ne comprends pas ?



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a trois ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Bruno.
Re: Démonstration de la conjecture de Legendre
il y a trois années
avatar
Avec $p_9=23$ Il y a bien $12$ intervalles dans l'intervalle $[1,2\times...\times 23]$ qui commencent par:

$20332472$
$24686822$
$36068192$
$65767862$
$82370090$
$97689752$
$125403080$
$140722742$
$157324970$
$187024640$
$198406010$
$202760360$

Le lemme est faux mais un contre-exemple n'est pas si simple à trouver à la main. cool smiley

PS:
Merci à AD pour l'indication. smoking smiley
[À ton service winking smiley AD]

Une théorie nouvelle ne triomphe jamais. Ses détracteurs finissent par mourir.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a trois ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: Démonstration de la conjecture de Legendre
il y a trois années
Bravo Yalta,

Ton contre-exemple est correct. Donc mon lemme n'est pas bon!
Ah... Je pensais que tu t'étais désintéréssé de ce fil.

La majoration de $L_p$ tombe à l'eau (et donc la preuve de la conjecture de Legendre). Mais la minoration est-t-elle correcte ? C'est-à-dire, ta construction fournit-elle une suite de multiples de longueur $2p_{n-1} -1$ ? Ce serait un résultat intéressant ! Mon sentiment est que non, parce que je ne vois vraiment pas ce qui oblige les nombres du au début et de la fin de la plage que tu indiques à être des multiples des $p_i$.

Mais je suis peut-être miro et j'aimerais bien que tu me dises si tu as toi une justification.
Re: Démonstration de la conjecture de Legendre
il y a trois années
Yalta &eacute;crivait:
-------------------------------------------------------
> Dans le diagramme en bas de la page 5, comment es-tu certain que les entiers situés entre les
> deux colonnes à droite (ou à gauche) qui "contiennent" $p_{n-1}$ et $p_n$ sont des
> multiples d'un $p_i$ ($i \leq n+1$) ?

Bonjour Yalta,
Prenons par exemple $L_{11} $. Les diviseurs 2 continuent à droite toujours à des espacements de 2. Ensuite les 3 viennent s'insérer avec un espacement de 3. On ajoute ensuite les diviseurs 5 à une distance multiple de 5 (5,10,15,29,25,30) par rapport à la case centrale. Le premier 5 ajouté tombe dans une case vide, le prochain dans une case occupée par 2 (10 est divisible par 2), le prochain dans une case occupée par 3 (15 est divisible par 3), le prochain dans une case occupée par 2 (20 est divisible par 2), le prochain dans une case vide (25 est pas divisible par 2 ou 3), le prochain dans une case occupée par 2 et 3 (30 est divisible par 2 et 3). Ensuite le cycle recommence à tout les 30=2*3*5. Avec les diviseurs 7 on aura un cycle de 210=2*3*5*7.

Mes salutations!



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a trois ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: Démonstration de la conjecture de Legendre
il y a trois années
Yalta &eacute;crivait:
-------------------------------------------------------
> D'ailleurs il me semble qu'il faudrait, si c'est correct, compter non pas $+2(p_n - p_{n-1})$, mais
> $+(p_n - p_{n-1}) + 1$ pour la droite (les poteaux et les intervalles...) et $+(p_n - p_{n-1}) + 2$
> pour la gauche, ce qui donnerait $L_{p_{n+1}} \geq 2L_{p_n} + 2\Delta + 3$ ...

Bonjour,
Ta proposition fait en sorte que la colonne est comptée 2 fois, ce qui n'est pas correct.
Salutations!



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a trois ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: Démonstration de la conjecture de Legendre
il y a trois années
Bonjour Yalta,
Le delta sur la gauche s'explique ainsi. Dans le shéma du bas en page 5 il faut savoir que la colonne grisée de gauche est précédée par une case où on a le diviseur $p_n$. Le schéma du haut montre une case grisée à gauche précédée par $p_{n-1}$.
Le delta est seulement la différence de ces 2 valeurs.

Salutations!
Re: Démonstration de la conjecture de Legendre
il y a trois années
Yalta écrivait : [www.les-mathematiques.net]
[Inutile de répéter un message précédent. Un lien suffit. AD]
-------------------------------------------------------

Bonjour Yalta,
Mon explication donnée précédemment est-elle assez explicite ?



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a trois ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Non, je n'ai pas encore compris...
Mais il me semble que c'est moi qui suis long à la détente car je viens de tester ta construction pour le 60ième nombre premier, à savoir $281$, qui donne la plage $[\![x-276, x + 276]\!]$, où
\begin{eqnarray*}x &=& 241146501369956321974417042629386572823550674824450204744\\&&63365114831989807555629038723413593660291491589372456573710,
\end{eqnarray*}
et effectivement, il s'agit de multiples des nombres premiers inférieurs à $281$.

Je vais donc tenter de comprendre avec un peu plus de conviction !
Re: Démonstration de la conjecture de Legendre
il y a trois années
Bonjour Yalta,
Ouf! ça commence à être des gros nombres. Si mon explication n'est pas claire c'est que je n'ai peut-être pas compris la question. Tu peux la reformuler et j'essaierai de répondre à nouveau si tu veux.
J'ai même vérifié avec beaucoup plus gros... Je me sens tout bête, ça doit être évident, mais je ne vois pas.

Bon, formalisons ton procédé. Ce que tu affirmes, c'est que si $x$ est un entier tel que
\[\begin{array}{l}
x \equiv 0\ (p_k),\ \mathrm{pour}\ k \leq n-2\\
x \equiv 1\ (p_{n-1})\\
x \equiv -1\ (p_n)
\end{array}
\]
alors, chaque entier de $[\![ x -(p_{n-1} -1), x +(p_{n-1} -1)]\!]$ est un multiple d'un des $p_1, \ldots, p_n$.

Tu le prouves par récurrence. On suppose l'énoncé vrai au rang $n$. Soit $y$ tel que
\[\begin{array}{l}
y \equiv 0\ [p_k]\ \mathrm{pour}\ k \leq n-1\\
y \equiv 1\ [p_{n}]\\
y \equiv -1\ [p_{n+1}]
\end{array}
\]

Soit $z \in [\![ -(p_n -1), (p_n -1)]\!]$. Il s'agit de montrer que $x + z$ est multiple de l'un des $p_k$, $k \leq n+1$.
Si $-p_{n-1} \leq z \leq p_{n-1}$, c'est facile en utilisant l'hypothèse de récurrence. C'est immédiat aussi pour $z = p_n-1$.
Mais si $z \in ]\!] p_{n-1}, (p_n -1)[\![$ par exemple, je ne vois pas pourquoi c'est vrai.
Re: Démonstration de la conjecture de Legendre
il y a trois années
Bonjour Yalta,

C'est y+z qui est un multiple des diviseurs et non pas x+z. L'illustration ci-dessous montre en position centrale un x égal à 6 et un y égal à 120. La valeur de la position centrale diffère d'une suite à l'autre. J'ai mis 120 vis-à-vis le 6 pour mieux illustrer.
--------------------------------------------11----------------------------
---------------------------------7----------------------------------------7
---------5----------------------------5----------------------------5------
--3-----------------3-----------------3----------------3----------------3
--2------------2----------2----------2----------2-----------2----------2
-114-115-116-117-118-119-120-121-122-123-124-125-126 (Suite des nombres surmontés de leurs diviseurs)

----------------------------------------------7-----------------------------
---------------------------------5-----------------------------5-----------
---------------------3------------------3----------------3----------------
---------------2-----------2-----------2-----------2---------2-----------
---------------2-----3----4----5------6----7-----8--- 9---10---------- (Suite des nombres surmontés de leurs diviseurs)
Bonjour rlabrie,

Oui, c'était une coquille, c'est de $y+z$ dont il s'agit, bien évidemment. Je te remercie pour ta réponse, mais elle n'est pas sastifaisante. Un exemple, même s'il peut aider à appréhender une preuve, ne constitue pas en lui-même une preuve: tu n'argumentes pas, tu dis simplement "regarde cet exemple, ça marche !".
Tudieu, ça y est. C'est effectivement tout bête :
si $z \in ]\![p_{n-1}, p_n-1[\![$ alors il existe $s \leq n-2$ tel que $z \equiv 0\ [p_s]$ et l'on a \[y + z \equiv x + z \equiv 0\ [p_s]\].
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