Résultat amusant avec des nombres premiers.

fredrick · September 2014

Bonjour,

En m'amusant à faire des calculs entre des nombres premiers et leurs inverses je suis tombé sur un résultat qui m'a étonné, ça ne sert à rien et peut être que c'est connu mais je vous le mets quand même. Si vous avez une explication je suis preneur ?

Prenez 2 nombres premiers dont le développement décimal périodique de l'inverse est de même taille, par exemple 7 et 13 :
7 x 13 = 91
DDP 1/7 = 142857
DDP 1/13 = 076923

142 857*076 923 = 10 988 989 011

1/10 988 989 011 =
0,0000000000091000182000273000364000455000546000637000728000819000910...

On part de 91 et on ajoute à chaque fois 91.
ça fontionne avec des nombres plus grands mais c'est moins lisible.

enonce · September 2014

Même si ça n'explique pas tout, on peut commencer à décortiquer les choses comme suit.

Soient $p_1$ et $p_2$ deux nombres premiers dont les développements périodiques des inverses ont même longueur $2d$. On écrit
$$\frac{1}{p_1} = 0,(A_1A_2)(A_1A_2)\dotsc \quad \textrm{et} \quad \frac{1}{p_2} = 0,(B_1B_2)(B_1B_2)\dotsc$$
où chaque bloc $A_1$, $A_2$, $B_1$ et $B_2$ est de longueur $d$ (chacun de ces blocs peut éventuellement commencer par un zéro).

D'après le théorème de Midy (1836), on a $A_1+A_2 = B_1+B_2 = 10^d-1$ et donc
$$\frac{1}{(A_1A_2)(B_1B_2)} = \frac{1}{\left( 10^d A_1+A_2 \right) \left( 10^d B_1 + B_2 \right)} = \frac{\left( 10^d - 1 \right)^{-2}}{(A_1+1)(B_1+1)}.$$
Or, sauf erreur
$$\left( 10^d - 1 \right)^{-2} = 0,0 \dotsb 0 1 \, 0 \dotsb 0 2 \, 0 \dotsb 0 3 \, 0 \dotsb 0 4 \dotsb$$
où le premier bloc $0 \dotsb 01$ a pour longueur $2d$ et les blocs $0 \dotsb 0n$ (avec $n \geqslant 2$) ont pour longueur $d$.

fredrick · September 2014

Effectivement, je connaissais le théorème de Midy (même si il est minuit maintenant B-)) mais je n'aurais pas réussi à en déduire ton raisonnement (probablement par ce que je ne suis pas mathématicien).
Merci c'est très intéressant.

Fin de partie · September 2014

Si la longueur des périodes des fractions $\dfrac{1}{p}$ et $\dfrac{1}{q}$ est commune et vaut $n$.
La période de $\dfrac{1}{p}$ est le nombre $A=\dfrac{10^n-1}{p}$
La période de $\dfrac{1}{q}$ est le nombre $B=\dfrac{10^n-1}{q}$
Ce qui fait que $\dfrac{1}{AB}=\dfrac{pq}{\Big(10^n-1\Big)^2}$
On pose $u=10^{-n}$ On a donc:
$\dfrac{1}{AB}=\dfrac{p}{\frac{1}{u}-1}\times \dfrac{q}{\frac{1}{u}-1}=u^2\times \dfrac{p}{1-u}\times \dfrac{q}{1-u}$
Donc sauf erreur on a:
$\displaystyle \dfrac{1}{AB}=u^2\sum_{k=0}^{+\infty} pu^k \times \sum_{\ell=0}^{+\infty} qu^\ell=10^{-2n}\sum_{k=0}^{+\infty}pq(k+1)10^{-nk}$

Fin de partie · September 2014

On peut prendre p=21 et q=7. (Oui cela peut marcher même si p,q ne sont pas premiers)

PS:
J'ai un vague souvenir d'avoir déjà vu cette curiosité sur le forum dans le passé.

PS2:
Le couple (63,21) semble fonctionner aussi.

PS3:
Sauf erreur, si $pq<10^n$ le phénomène va se produire.

fredrick · September 2014

Juste pour info pour ceux qui ne savent pas, si vous voulez trouver les nombres premiers dont le développement décimal périodique sont de même taille, il faut chercher le facteur premier des nombres constitués uniquement de 1.

Par exemple pour :
1111111 => 239*4649

DDP 239 => 0041841
DDP 4649 => 0002151

Et de longueur du DDP sera celle du nombre de 1.

Une chose de plus à comprendre, si il y a un nombre premier de 1, comme par exemple l'exemple ci-dessus, vous trouverez que des nombres qui ne sont pas apparu avec des nombres plus petit, si c'est pas un nombre premier de 1, les nombres dont ils sont multiples apparaitront, ce n'est pas clair, un exemple c'est plus simple :
11 = 1*11
111 = 3*37
111111 = 11*3*37 * 7*13 //On retrouve le 11 car 6 et multiple de 2, et le 3 et le 37 car 6 est multiple de 3

Donc on peut refaire un autre test :
11111111 =73*137*11*101
DDP 73 = 01369863
DDP 137 = 00729927 J'aime bien celui là par ce que c'est un palyndrome B-)

73*137 = 10 001
729 927*1 369 863 = 99 989 999 001
1/99 989 999 001 = 0,000000000000100010002000200030003000400040005000500060006000700070008000800090009...

Résultat amusant avec des nombres premiers.

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