Somme de deux carrés et nombre premier
dans Arithmétique
Salut a tous,
Je bute sur une question : soit p premier, montrer que s'il existe des entiers a et b tels que
p divise a^2 + b^2 alors p =1[4].
Merci beaucoup!
Fred
Je bute sur une question : soit p premier, montrer que s'il existe des entiers a et b tels que
p divise a^2 + b^2 alors p =1[4].
Merci beaucoup!
Fred
Réponses
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Élève a2=-b2 (mod p) à la puissance (p-1)/2.
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P.S. ton énoncé est très incomplet...
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En élevant à la puissance (p-1)/2, j'obtiens a^(p-1) =b^(p-1) (mod p) et ensuite comment j'arrive à la congruence voulue ?
Que manque-t-il à mon énoncé ?
Merci JLT. -
Oui p est premier impair et les entiers a et b sont premiers entre eux. Sorry
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j'obtiens a^(p-1) =b^(p-1) (mod p) a écrit:
En es-tu bien sûr?
(ici on fait seulement l'hypothèse que p est un nombre premier impair) -
Oui effectivement c'est plutôt a^(p-1)=(-1)^(p-1)/2 * b^(p-1) (mod p). Décidément...
Et ensuite j'en conclus quoi? -
Que peux-tu dire de $a^{p-1}$ modulo $p$ ? Ca te rappelle pas un petit théorème ?
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Si je comprends bien, le même argument permet de démontrer:
Si $a,b$ sont premiers entre eux, soit $k>0$ un entier et $p$ un nombre premier congru à $1$ modulo $k$ et $a^k+b^k$ est divisible par $p$ donc il existe $n$ entier tel que $p=2kn+1$ -
Par le petit théorème de Fermat, ça donnerait (-1)^(p-1)/2 = 1 (mod p) à condition d'avoir p premier avec a et b. Comment le montrer? et ensuite comment arriver à p = 1 (mod 4)?
Merci! -
Si on ne suppose pas a,b premiers entre eux le résultat initial est faux.
Tu ne vois pas ce qu'on peut déduire de (-1)^(p-1)/2 = 1 (mod p ? -
Que (p-1)/2 est pair donc on a la congruence voulue. Mais pourquoi p est premier avec a et b? On a besoin de ça pour appliquer le petit theoreme de Fermat.
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On en a besoin en effet mais plus fondamentalement, le résultat est faux.
Ne vois-tu pas que si je prends n'importe quel nombre premier et si je prends a,b divisible par ce nombre premier p, je vais avoir $a^2+b^2$ est divisible par $p$ mais p ne sera pas nécessairement de la forme $4k+1$
Essaie avec p=3 et a=6,b=3 -
p=3
3^2+6^2=9+36=45 est divisible par 3 et on en déduit donc, "bien sûr", que 3-1 est divisible par 4.
Par ailleurs, si a est divisible par p, p premier, on a, c'est bien "connu" a^(p-1)-1 est divisible par p.
(si a^2+b^2 est divisible par p et a est divisible par p premier alors b est divisible par p, si on suppose que a,b sont premiers entre eux, on n'a pas ce problème) -
Il manque une hypothèse dans l'énoncé initial, je rajoute l'hypothèse a,b premiers entre eux, mais si tu veux rajouter l'hypothèse moins forte a et b non divisibles par p c'est ton choix.
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Merci, je l'avais rajouté ensuite. En fait, p n'est pas diviseur de a et b (car a et b premiers entre eux) ce qui implique que p est premier avec a et avec b donc on peut utiliser Fermat! Ouf.
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$a$ et $b$ premiers entre eux n'est vraiment pas la bonne hypothèse, je maintiens.
On a, pour $p$ premier impair, l'équivalence de
1°) $p$ congru à 1 modulo 4,
2°) il existe des entiers $a$ et $b$ non divisibles par $p$ tels que $p$ divise $a^2+b^2$,
3°) $-1$ est un carré modulo $p$ -
@GaBuZoMeu:
Parce que si a,b sont premiers entre eux cela n'entraîne pas que a et b n'ont aucun diviseur premier commun?
Par ailleurs, si l'énoncé de Fred26 a été bien posé par la personne qui lui a donnée il manque une hypothèse qu'il a oubliée de porter sur le forum. Le plus sage est de lui demander quelle est cette hypothèse. B-)-
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