Terminale, spécialité
dans Arithmétique
Bonsoir,
Je ne connais pas trop le programme, mais je souhaite savoir si effectivement l'exercice suivant.
Trouver tous les entiers naturels $x,y$ tels que $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{5}$ est un "grand classique" pour cette classe ? Après je veux bien que ce soit un "classique", mais c'est ce type de compétences (pardon je sais que ce mot fâche) qu'on exige à ce niveau ?
Merci
Je ne connais pas trop le programme, mais je souhaite savoir si effectivement l'exercice suivant.
Trouver tous les entiers naturels $x,y$ tels que $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{5}$ est un "grand classique" pour cette classe ? Après je veux bien que ce soit un "classique", mais c'est ce type de compétences (pardon je sais que ce mot fâche) qu'on exige à ce niveau ?
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Réponses
(moi j'ai l'impression que cela n'utilise que des propriétés sur les inégalités)
En ce qui me concerne, je la pose régulièrement en spécialité mathématique, sous la forme plus générale : Soit $p$ premier. Résoudre - ou donner le nombre de solutions - dans $\left( \mathbb{N}^* \right)^2$ l'équation diophantienne $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{p}$.
Il s'agit effectivement d'un classique en arithmétique élémentaire.
Mais qui pour sa résolution, sauf erreur de ma part, n'utilise aucun outil enseigné en spé' de mathématiques (arithmétique en l'occurence). Les élèves qui ne font pas spé' mathématiques ils ne savent pas ce qu'est un entier naturel? B-)-
Baston labaffe, tu la poserais en devoir sur table?
Quel est l'objectif? contrôler les réflexes des élèves??
Le théorème de Gauss peut être un outil très utile dans la résolution de cet exercice.
Et puis, même s'il n'y a pas qu'une seule méthode et même si, en théorie, un élève non-spé est censé savoir ce qu'est un entier naturel, en pratique, je ne me verrais pas poser un tel exercice en TS non-spé, car un élève qui ne suit pas l'enseignement de spécialité aujourd'hui n'est plus du tout entraîné à manier les propriétés de base de l'arithmétique.
Il y a plusieurs années (disons au moins $5$ ans), il m'est arrivé d'avoir posé cette équation en DS.
Aujourd'hui, je n'oserais plus. Je la donne en exercice (TD, ou à faire à la maison, ou DM).
Si $a\geq b>0$ et $a+b=c$ alors $a\geq \dfrac{c}{2}$ et $b\leq\dfrac{c}{2}$
Cela permet de voir qu'on peut supposer $x\leq 10$ et on peut conclure par une recherche exhaustive des solutions possibles.
En espérant ne pas avoir écrit trop d'énormités.
Si on veut juste résoudre $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{5}$ avec $1\leqslant x\leqslant y$, on a $\frac{1}{x}\geqslant \frac{1}{10}$ donc $x\leqslant 10$. D'autre part, $\frac{1}{5}>\frac{1}{x}$ donc $x>5$. On essaye tous les entiers $x$ compris entre $6$ et $10$.
Ce qui nous permet d'affirmer que $x>5$ et $y>5$
Si la résolution complète par l'arithmétique passe uniquement par l'égalité: $(x-p)(y-p)=p^2$ on se demande comment un élève pourrait la trouver tout seul (je ne la connaissais même pas).
De $p(x+y)=xy$ on peut déduire que si $p$ est premier alors $x$ ou $y$ est divisible par $5$ (encore qu'un élève n'ait pas censé savoir que l'anneau $\mathbb{Z}/p{\mathbb{Z}}$ est un corps et encore moins que c'est un anneau intègre)
Par cette voie, à cet instant, je ne sais pas comment continuer.
C'est un corollaire du théorème de Gauss.
On en déduit que $x'$ divise $y$. Ecrivons $y=x'z$ avec $p+z=x'z$, donc $z$ divise $p$.
Si $z=1$ alors $x'=p+1$, ce qui donne $y=p+1$ et $x=p^2+p$.
Si $z=p$ alors $x'=2$, ce qui donne $x=y=2p$.