Terminale, spécialité

Que vient faire l'enseignement de spé' pour la résolution de cet exercice? Pour résoudre cet exercice il faut faire appel à des propriétés arithmétiques des entiers?
(moi j'ai l'impression que cela n'utilise que des propriétés sur les inégalités)

l s'agit effectivement d'un classique en arithmétique élémentaire. a écrit:

Mais qui pour sa résolution, sauf erreur de ma part, n'utilise aucun outil enseigné en spé' de mathématiques (arithmétique en l'occurence). Les élèves qui ne font pas spé' mathématiques ils ne savent pas ce qu'est un entier naturel? B-)-

Fin de Partie a écrit:

[...] n'utilise aucun outil enseigné en spé' de mathématiques

Le théorème de Gauss peut être un outil très utile dans la résolution de cet exercice.

Et puis, même s'il n'y a pas qu'une seule méthode et même si, en théorie, un élève non-spé est censé savoir ce qu'est un entier naturel, en pratique, je ne me verrais pas poser un tel exercice en TS non-spé, car un élève qui ne suit pas l'enseignement de spécialité aujourd'hui n'est plus du tout entraîné à manier les propriétés de base de l'arithmétique.

$(30;6)$, $(6;30)$ et $(10;10)$ en raisonnant modulo $5$.

Si on veut résoudre l'équation générale $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{p}$ avec $1\leqslant x\leqslant y$, on chasse les dénominateurs : $p(x+y)=xy$, ou encore $(x-p)(y-p)=p^2$. On obtient ainsi $x-p=y-p=p$ ou $x-p=1$, $y-p=p^2$, c'est-à-dire $(x,y)=(2p,2p)$ ou $(x,y)=(p+1,p+p^2)$.

Si on veut juste résoudre $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{5}$ avec $1\leqslant x\leqslant y$, on a $\frac{1}{x}\geqslant \frac{1}{10}$ donc $x\leqslant 10$. D'autre part, $\frac{1}{5}>\frac{1}{x}$ donc $x>5$. On essaye tous les entiers $x$ compris entre $6$ et $10$.

Comme confirmé indirectement par JLT, cet exercice ne nécessite pas obligatoirement de connaissance particulière en arithmétique pour être résolu. Ce qui fait qu'en théorie (seulement) n'importe quel élève de terminale devrait être capable de résoudre cet exercice (que je ne donnerai jamais aussi abruptement si je devais le faire).

Si la résolution complète par l'arithmétique passe uniquement par l'égalité: $(x-p)(y-p)=p^2$ on se demande comment un élève pourrait la trouver tout seul (je ne la connaissais même pas).


De $p(x+y)=xy$ on peut déduire que si $p$ est premier alors $x$ ou $y$ est divisible par $5$ (encore qu'un élève n'ait pas censé savoir que l'anneau $\mathbb{Z}/p{\mathbb{Z}}$ est un corps et encore moins que c'est un anneau intègre)
Par cette voie, à cet instant, je ne sais pas comment continuer.

On peut aussi raisonner comme suit. On a $p(x+y)=xy$, donc $p$ divise $xy$. Supposons par exemple que $p$ divise $x$. On peut écrire $x=px'$ avec $px'+y=x'y$.

On en déduit que $x'$ divise $y$. Ecrivons $y=x'z$ avec $p+z=x'z$, donc $z$ divise $p$.

Si $z=1$ alors $x'=p+1$, ce qui donne $y=p+1$ et $x=p^2+p$.

Si $z=p$ alors $x'=2$, ce qui donne $x=y=2p$.