Équations fonctionnelles et différentielles
dans Concours et Examens
Bonjour,
Je ne sais pas si j'ai le droit de "profiter" de ce fil déjà ouvert pour poser une question sur les équations fonctionnelles.
[A priori non, tu n'étais même pas dans le bon forum. AD]
Peut-on considérer qu'une équation différentielle est une équation fonctionnelle ?
Et serait il pertinent dans une leçon d'oral d'agreg où on demande des exemples d'équation fonctionnelles de mettre un exercice de résolution d'une équation différentielle ?
Merci d'avance de vos avis.
Cordialement,
fg
Je ne sais pas si j'ai le droit de "profiter" de ce fil déjà ouvert pour poser une question sur les équations fonctionnelles.
[A priori non, tu n'étais même pas dans le bon forum. AD]
Peut-on considérer qu'une équation différentielle est une équation fonctionnelle ?
Et serait il pertinent dans une leçon d'oral d'agreg où on demande des exemples d'équation fonctionnelles de mettre un exercice de résolution d'une équation différentielle ?
Merci d'avance de vos avis.
Cordialement,
fg
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Réponses
-- Schnoebelen, Philippe
Ça ne conviendrait pas à ton avis ?
Ce serait pour mettre dans la leçon 447 : Exemples d'équations fonctionnelles.
fg
Plus intéressant serait : $f'(x+y)=f(x)f(y)$.
Je ne retrouve plus l'ouvrage (vieux bouquin gris...) qui disait que l'on pouvait considérer que les équations différentielles en sont des particulières mais qui ajoutait une phrase du genre "...mais on ne va pas ici traiter de telles équations..." .
Pardon pour ne pas apporter de réponse malgré mon intervention.
Cependant, pourquoi ne pas l'évoquer lors de la présentation de la leçon ou thème d'exercices, en prenant des gants ?
Un auteur qui a apporté une grande contribution à la théorie des équations fonctionnelles c'est János Aczél (né en 1924). Au début de son ouvrage : Lectures on Functional Equations and their Applications (AP, 1966), il écrit : « À peu près chaque personne qui a travaillé en mathématiques a rencontré des équations fonctionnelles, aussi n'avons-nous pas besoin d'exemple pour l'instant. Une définition du concept "équation fonctionnelle" est difficile. » Il donne d'abord une ébauche de définition en neuf lignes, puis affine ces définitions et donne un bref historique de cette question.
Comme les équations différentielles et les équations intégrales font par ailleurs l'objet d'études spécifiques, l'usage veut qu'on ne les aborde pas dans les ouvrages consacrés aux équations fonctionnelles.
C'est très bien qu'une leçon d'agrégation propose un tel sujet "transversal", et je serais curieux de voir ce que suggèrent les préparateurs. On en reparlera demain.
Bonne nuit.
R.
Je vous remercie de vos avis.
Dans ma préparation, la personne qui a présenté cette leçon a donné un exercice contenant une équation intégrale et un autre avec une équation différentielle et le préparateur n'y a pas trouvé à redire.
Je n'avais pas vraiment fait attention sur le coup, et c'est en retravaillant cette leçon que je me suis posée des questions.
Par ailleurs, elle fait partie des leçons que le CNED a proposées cette année pour la préparation aux oraux et c'est pour cela que je l'approfondis.
Bonne soirée
fg
Et cette vieille équation, que vous connaissez déjà par cœur je suppose, $$ f(x+1)-f(x)=f\Big(\frac {1}{x^2+x+1}\Big)\ ?$$
On voit bien que $x\mapsto C\arctan x$ est solution mais pour les trouver toutes il faudrait savoir quelle condition supplémentaire est supposée au sujet de la fonction $f$ : dérivabilité, dérivabilité en un point, ou autre.
Bonne journée.
R.
Je me doutais bien que vous en saviez beaucoup sur cette équation.
Supposons que $f$ est dérivable !
Est-ce que celle-ci vous dit quelque chose
$$ g(x+1)-g(x)=g\big(\frac 1{x^2+1}\big)\, ?$$
C'est un texte intéressant par son caractère synthétique, en 64 pages, avec une riche bibliographie.
Mais cette définition générale n'est pas vraiment le plus important, c'est juste pour nourrir une réflexion. La question posée, c'est : que mettre dans cette leçon d'agrégation ? Plutôt d'accord avec GreginGre, je suis étonné qu'on y case une équation différentielle ordinaire, et j'aimerais savoir quelles sont ces équations qui ont été proposées.
Si l'on définit prosaïquement une équation fonctionnelle comme étant ce que nous proposent les ouvrages consacrés à ce sujet, on a grosso modo des relations entre les valeurs, en plusieurs points, d'une fonction inconnue. La mère de toutes c'est l'équation fonctionnelle de Cauchy $f(x+y)=f(x)+f(y)$ et ses trois autres variantes : $f(x+y)=f(x)f(y)$, $f(xy)=f(x)+f(y)$, $f(xy)=f(x)f(y)$. Ensuite, il y en a tout plein, le plus souvent à deux variables.
Ce qui me semblerait intéressant pour une leçon d'agreg ce sont les équations des sinus et cosinus, par exemple : $f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)$ avec l'hypothèse de continuité, dont on déduit la dérivabilité, et qu'on transforme en équation différentielle. Il y a aussi : $f(\sqrt{x^{2}+y^{2}})=f(x)f(y)$ avec ouverture sur une densité de probabilité.
On peut aussi jouer à restreindre les hypothèses additionnelles, voire chercher à les supprimer. Et les systèmes d'équations fonctionnelles. Et les équations fonctionnelles à deux fonctions inconnues : $f(x+y)+f(x-y)=2f(x)g(y)$. Et les équations fonctionnelles dans d'autres ensembles que $\mathbb R$, complexes, vecteurs, matrices.
On peut encore faire intervenir dérivées ou intégrales, comme il est dit plus haut : $f'(x+y)=f(x)f(y)$ ou le très classique : $\int_{x-y}^{x+y}f(t)dt=f(x)f(y)$.
Bref c'est un monde les équations fonctionnelles.
Bonne journée.
R.
28/03/2015
sur le site culturemath.ens.fr on trouve un document de M.Vidiani consacré à des méthodes de résolution d'équations fonctionnelles ...
micga
Seul problème, peu (ou pas) de référence : il doit s'apprendre par coeur.
Il n'est pas si difficile. Cela utilise la convexité et il "suffit" de se rappeler avec quels réels utiliser l'inégalité des trois pentes.
Après c'est un jeu de manipulations d'inégalités.
Il peut évidemment servir pour d'autres leçons (convexité, fonction gamma).
À investir pour proposer un développement original.
En effet c'est une excellente idée.
Il y a au moins deux références :
- Artin, Emil, The Gamma Function, Holt, Rinehart, Winston, 1964, p.14.
- Bourbaki, Nicolas, Eléments de mathématique, Livre IV, Fonctions d'une variable réelle, chapitre VII, La fonction Gamma, §1, n° 1, Springer 2007.
R.
28/03/2015
* Un livre de Rombaldi, le titre, quelque chose comme "analyse réelle", il est bleu
* des exos dans les X-ENS (Francinou-Gianella), ou dans les MONIER ou ouvrages classiques.
Mon avis, ne pas mettre que des exemples avec l'hypothèse $f$ dérivable, voir justement les différents types de condition sur $f$, varier les méthodes.
De mémoire je crois qu'on peut trouver des choses avec des DSE aussi, mais pas trop de référence en tête.
L'index des livres est très utile pour cette leçon transversale ...
Pour donner un nouvel avis sur la question : comme je l'ai déjà expliqué, j'avais ce sujet proposé en préparation au CNED.
J'avais finalement décidé de mettre en dernier exercice la résolution de l'équation différentielle dont j'ai déjà parlé, quitte à voir ce qu'en disait le correcteur.
Il s'avère que, conformément à l'avis de bon nombre d'entre vous, le correcteur considère que ça ne va pas dans cette leçon, et qu'il juge cela "limite hors sujet" je cite, et "boff !!! Pas pour cette leçon", autre citation.
Bref, ça n’empêche que si c'est le 6ème exo et que les autres sont bons, ça peut passer mais mieux vaut s'en passer.
Avis pour les futurs candidats !
fg