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Information écriture & calcul

Envoyé par bsylvain 
Information écriture & calcul
il y a quatre années
Bonjour,
Je souhaiterai avoir quelque information sur des ecritures

a:=b , à quoi correspond le := ?

(.|.) , à quoi correspond ce symbole?

Soit (E,||.||) , à quoi correspond . dans la norme?

Question de calcul
sup(x(x-1)/2)<=1/8
Comment trouver 1/8?

Merci de votre aide.
Dom
Re: Information écriture & calcul
il y a quatre années
De nos jours le symbole := est souvent utilisé pour dire qu'on définit (par exemple un nombre) par cette égalité.
Il me semble que ça vient de certains langages de programmation (définition des variables - l'écriture suggère un sens).
On pourrait "traduire" dans certains cas "a:=b" par "Posons a=b". Souvent on a été formé à écrire la nouveauté "à gauche" en fonction de ce que l'on connaît "à droite".
J'espère ne pas me tromper sur ce symbole non officiel pour moi.

(.|.) est souvent la notation d'un produit scalaire.
Le ||.|| est la notation pour une norme.

Le point permet de noter cela comme une fonction.
La fonction $f$ par exemple ne doit pas être appelée "la fonction $f(x)$", on pourrait la noter $f(.)$.
Le point "." est en quelque sorte "la place de la variable".

Pour le sup : on peut étudier la fonction qui a x associe x(x-1)/2 mais on peut aussi écrire cette expression sous la forme suivante (j'enlève le "/2" pour simplifier)
$ x(x-1)= x^2 - x = (x-1/2)^2 - 1/4$
Je soupçonne un oublie de valeur absolue "désormais" (on le soupçonne tout de suite en vérité).
(Il suffit de choisir x=1000, pour voir que ça ne marche pas, ou bien de regarder une limite en l'infini...).



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a quatre ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Dom.
Re: Information écriture & calcul
il y a quatre années
Effectivement il y a une valeur absolue
Plus de precision sur le probleme


||d||inf<=sup|x(x-1)/2|=1/8 , pour x [0,1].

Je ne vois toujours pas comment trouver 1/8 en prenant le sup (le max ).

Merci de ton aide
Re: Information écriture & calcul
il y a quatre années
Comme il t'a été dit, la fonction $x \mapsto |x(x-1)|$ admet un maximum en $\frac{1}{2}$ (cours sur le second degré) et sa valeur est $\frac{1}{4}$, etc.
Re: Information écriture & calcul
il y a quatre années
Bonjour,

Pour montrer que $\sup_{x \in [0,1]} |x(x-1)/2| = 1/8$, on remarque d'abord que c'est équivalent à $\sup_{x \in [0,1]} x(1-x) = 1/4$. Pour montrer cette identité, deux méthodes.

1. Tu n'as pas d'intuition : tu cherches le maximum de la fonction $f(x) = x-x^2$ pour tout $x \in [0,1]$. On dérive, on regarde le signe, on en déduit que $f$ est croissante sur $[0,1/2]$ et décroissante sur $[1/2, 1]$ donc le maximum est en $1/2$ et vaut $f(1/2) = 1/4$.

2. Tu as de l'intuition : tu sens que le maximum va être en $1/2$ (par exemple tu as tapé « x(1-x) » sur un moteur de recherche et tu as vu la courbe de $f$). Tu vérifies que $f(1/2) = 1/4$ donc $\sup_{x \in [0,1]} f(x) \ge f(1/2) = 1/4$ et il ne reste qu'à montrer que pour tout $x \in [0,1]$, on a $f(x) \le \frac{1}{4}$, c'est-à-dire $x - x^2 \le \frac{1}{4}$, ou encore $x^2 - x + \frac{1}{4} \ge 0$, soit enfin $(x - \frac{1}{2})^2 \ge 0$.
Dom
Re: Information écriture & calcul
il y a quatre années
Allez on donne l'essentiel : (edit : message croisé avec le précédent)

Soit $x$ un nombre réel : (on regardera si besoin ce qui se passe sur [0;1]).
Je m'autorise l'enchaînement d'égalités.

$\frac{x(x-1)}{2} = \frac{x^2 - x}{2} = \frac{(x-\frac{1}{2})^2}{2} - \frac{1}{8}$

Le premier terme de cette différence est positif donc son minimum est 0 et est atteint en $x=\frac{1}{2}$.
Alors le minimum (global) de la quantité est $-\frac{1}{8}$.

Le passage à la valeur absolue doit être étudié quand même car on aurait encore un "sup" infini.
Mais sur l'intervalle considéré, c'est celui qu'on a trouvé (en valeur absolue).

Les deux dernières phrases sont admises mais demandent quand même une justification rigoureuse (utiliser les zéros de la quantité étudiée...).



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a quatre ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Dom.
Re: Information écriture & calcul
il y a quatre années
Parfait, c'est clair !

Ça fait 20ans que je n'ai pas fait de math... à moi de m'y remettre !

D'ailleurs, comment expliquer une fonction f par exemple dans R ? C'est koi quoi ? J'ai d'une explication simple que je puisse me l'imaginer ...



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a quatre ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
distance
il y a quatre années
Bonjour à tous,
Que signifie les termes suivants :
d(x,y)=min(d(x,z),a)

MErci
Re: distance
il y a quatre années
avatar
Citation
bsylvain
Que signifie les termes suivants :
\(d(x,y)=\min(d(x,z),a)\)
Cette expression ne veut pas dire grand chose dans l'absolu, il manque des informations (\(x,y,z,a\) sont "de quel type", qu'est-ce que \(d\), le \(\min\) est pris sur quel ensemble ordonné,...).

Citation
bsylvain
[...] comment expliquer une fonction \(f\) par exemple dans \(\mathbb{R}\) ?
Qu'entends-tu par "expliquer une fonction"? Pour expliquer intuitivement, une fonction est une "association" d'éléments d'un ensemble \(A\) à ceux d'un ensemble \(B\) qui fait correspondre à chaque élément de \(A\) au plus un élement de \(B\) (0 ou 1 élément donc).

Par exemple, si l'on prend \(A=\{\text{chat, chien, souris}\}\) et \(B=\{os,fromage\}\), les associations suivantes sont des fonctions:
- \(f_{1}:A\to B\) telle que \(f_{1}(\text{chien})=\text{os}\) et \(f_{1}(\text{souris})=\text{fromage}\)
- \(f_{2}:A\to B\) telle que \(f_{2}(\text{chien})=\text{os}\), \(f_{2}(\text{souris})=\text{fromage}\) et \(f_{2}(\text{chat})=\text{fromage}\)
L'association suivante n'est pas une fonction:
- \(a:A\to B\) telle que \(a_{1}(\text{chien})=\text{os}\) et \(a_{1}(\text{chien})=\text{fromage}\) (car \(\text{chien}\in A\) est associé à deux éléments distincts de \(B\))

Pour le cas particulier d'une fonction dans \(\mathbb{R}\), sache que cette locution signifie que \(f\) associe les éléments d'un certain ensemble \(A\) à ceux d'un ensemble \(B=\mathbb{R}\). Si l'on dit une fonction "sur \(\mathbb{R}\)", cela signifie que \(f\) associe des éléments de \(A=\mathbb{R}\) à ceux d'un certain ensemble \(B\).

Voici quelques exemples de fonctions

1) Dans \(\mathbb{R}\)
- \(f_{3}:\{\text{chat, chien, souris}\}\to\mathbb{R}\) telle que \(f_{3}(\text{chien})=0.584\), \(f_{3}(\text{souris})=\frac{1}{2}\) et \(f_{3}(\text{chat})=\pi\)
- \(f_{4}:\mathbb{R}\to\mathbb{R}:x\mapsto x\)
- \(f_{5}:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}:(x,y)\mapsto x+y\)

2) Sur \(\mathbb{R}\)
- \(f_{6}:\mathbb{R}\to\{\text{chat, chien, souris}\}\) telle que \(f_{6}(1)=chat\), \(f_{6}(\sqrt{2})=chat\), \(f_{6}(x)=\text{souris}\,\forall x\neq 1,\sqrt{2}\)
- \(f_{7}:\mathbb{R}\to\mathbb{R}:x\mapsto x^{2}\)
- \(f_{8}:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^{4}:x\mapsto (x , x^{2}, 1, 2+x)\)

Voici un exemple d'association qui ne sont pas des fonctions:

- Sur \(\mathbb{R}\): \(b(x)=\text{chien},\, b(x)=\text{souris}\)
- Dans \(\mathbb{R}\): \(x^{2}+y^{2}+z^{2}=c(x,y,z)\)

Graphiquement, si tu dessines le graphe de \(g\) (tous les couples \((x,g(x)\)) dans un plan cartésien, pour une certaine association \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), il s'agit d'une fonction ssi le graphe est coupé en au plus un point par les droites verticales.

EDIT: effectivement, christophe c, merci pour la précision.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a trois ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par MoebiusCorzer.
Re: Information écriture & calcul
il y a quatre années
Citation

il s'agit d'une fonction ssi le graphe n'est coupé par aucune droite verticale.

il s'agit d'une fonction ssi le graphe n'est coupé en plusieurs points par aucune droite verticale.

@bSylvain: une fonction est un ensemble $f$ de couples qui ne contient pas deux couples différents ayant la même abscisse. Soit $x$ un objet: comme il y a au plus un $y$ tel que $(x,y)\in f$, ce $y$ est noté $f(x)$.

L'abscisse du couple $(x,y)$ est $x$. L'ordonnée du couple $(x,y)$ est $y$.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: distance
il y a trois années
avatar
christophe c, le wikipedia anglais donne une définition proche de la vôtre:

Citation
Function (mathematics)
The Cartesian product of two sets $X$ and $Y$ is the set of all ordered pairs, written $(x, y)$, where $x$ is an element of $X$ and $y$ is an element of $Y$. The $x$ and the $y$ are called the components of the ordered pair. The Cartesian product of $X$ and $Y$ is denoted by $X\times Y$.

A function $f$ from $X$ to $Y$ is a subset of the Cartesian product $X\times Y$ subject to the following condition: every element of $X$ is the first component of one and only one ordered pair in the subset. In other words, for every $x$ in $X$ there is exactly one element $y$ such that the ordered pair $(x, y)$ is contained in the subset defining the function $f$.

Ma question est la suivante: cette définition requiert que chaque élément de \(X\) soit l'abscisse d'exactement un couple de \(f\); est-ce la définition usuelle ou bien permet-on que certains éléments de \(X\) ne soit associé à aucun élément de \(f\)?
Re: Information écriture & calcul
il y a trois années
Les détails en suivant le lien


Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Information écriture & calcul
il y a trois années
avatar
Merci pour ce lien.
Re: distance
il y a trois années
Bonjour,

Tout d'abord merci des renseignements.

Autre probleme :

montrer l'inégalité suivante pour x€ [0,1]
|Fn(x)-F(x)|=|(x²+xexp(-x))/(n+x)|<=2/n.

Pourriez-vous svp me préciser la méthode utilisé?

Merci de votre aide

Bsylvain
Re: distance
il y a trois années
avatar
Sans connaître ni $F_n$ ni $F$, ça ne va pas être facile...

Edit: ah zut, en fait on s'en fiche si on admet l'égalité.

Eh, bien il suffit de majorer la valeur absolue du numérateur, et minorer celle du dénominateur.
Pas besoin d'être fin, on peut y aller à la hache.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a trois ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par aléa.
Re: distance
il y a trois années
Parfait merci de la réponse.

Majorer le numérateur & minorer dénominateur , pourriez vous m'indiquer le detail si cela est possible?

Merci d'avance
Re: distance
il y a trois années
avatar
Sachant que $0\le x\le 1$, que peut-on mettre à la place des points de suspension pour avoir des inégalités vraies :
\[x^2\le\cdots,\quad x\le\cdots,\quad e^{-x}\le\cdots,\quad n+x\ge\cdots ?\]
Comment en déduire que $x^2+xe^{-x}\le 2$ ? que $\dfrac{1}{n+x}\le\dfrac1n$ ?
Comment conclure ?
Dom
Re: Information écriture & calcul
il y a trois années
Le numérateur : mettre x en facteur (que l'on majorera par 1) et le second facteur sera majoré par (1+ e^0).
Le dénominateur : n+x>n (sauf pour x = 0 où on à l'égalité).
Re: Information écriture & calcul
il y a trois années
Merci beaucoup, c'est clair.
Re: distance
il y a trois années
Par definition, on sait que quelque soit a de K ; quelque soit (x,y,z) de E^3 ,

f(ax+y,z)=a f(x,y)+f(y,z) ; cas linéaire
f(z,ax+y) = a* f(z,x) + f(z,y) ; cas anti linéaire avec a* le conjugué


Exemple ; soit E = C², f(x,y) = i x(2)y(1) + i x(1)y(2)* ; avec y(2)* le conjugué
Comment montrer la linéarité et anti linéarité de f(x,y) avec les définition ci-dessus?

Merci de votre aide

bSylvain
Re: distance
il y a trois années
Faire le calcul comme on te l'a conseillé ici
Re: distance
il y a trois années
Je vous explique mon probléme :
Le probléme est en dimension 2 ==> E= C²
La définition est en dimension 3 ==> E^3

Je suis d'accord avec vous, je dois gratter le papier .... je suis en réprise d'études ce qui n'est pas facile.(je l'ai voulu !).

Merci de votre aide.
Re: distance
il y a trois années
Inutile de poursuivre ici alors que tu as des réponses ailleurs.
AD
Re: distance
il y a trois années
avatar
Il y a en effet doublon.
Je ferme.
AD
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