Information écriture & calcul
Bonjour,
Je souhaiterai avoir quelque information sur des ecritures
a:=b , à quoi correspond le := ?
(.|.) , à quoi correspond ce symbole?
Soit (E,||.||) , à quoi correspond . dans la norme?
Question de calcul
sup(x(x-1)/2)<=1/8
Comment trouver 1/8?
Merci de votre aide.
Je souhaiterai avoir quelque information sur des ecritures
a:=b , à quoi correspond le := ?
(.|.) , à quoi correspond ce symbole?
Soit (E,||.||) , à quoi correspond . dans la norme?
Question de calcul
sup(x(x-1)/2)<=1/8
Comment trouver 1/8?
Merci de votre aide.
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Réponses
Il me semble que ça vient de certains langages de programmation (définition des variables - l'écriture suggère un sens).
On pourrait "traduire" dans certains cas "a:=b" par "Posons a=b". Souvent on a été formé à écrire la nouveauté "à gauche" en fonction de ce que l'on connaît "à droite".
J'espère ne pas me tromper sur ce symbole non officiel pour moi.
(.|.) est souvent la notation d'un produit scalaire.
Le ||.|| est la notation pour une norme.
Le point permet de noter cela comme une fonction.
La fonction $f$ par exemple ne doit pas être appelée "la fonction $f(x)$", on pourrait la noter $f(.)$.
Le point "." est en quelque sorte "la place de la variable".
Pour le sup : on peut étudier la fonction qui a x associe x(x-1)/2 mais on peut aussi écrire cette expression sous la forme suivante (j'enlève le "/2" pour simplifier)
$ x(x-1)= x^2 - x = (x-1/2)^2 - 1/4$
Je soupçonne un oublie de valeur absolue "désormais" (on le soupçonne tout de suite en vérité).
(Il suffit de choisir x=1000, pour voir que ça ne marche pas, ou bien de regarder une limite en l'infini...).
Plus de precision sur le probleme
||d||inf<=sup|x(x-1)/2|=1/8 , pour x [0,1].
Je ne vois toujours pas comment trouver 1/8 en prenant le sup (le max ).
Merci de ton aide
Pour montrer que $\sup_{x \in [0,1]} |x(x-1)/2| = 1/8$, on remarque d'abord que c'est équivalent à $\sup_{x \in [0,1]} x(1-x) = 1/4$. Pour montrer cette identité, deux méthodes.
1. Tu n'as pas d'intuition : tu cherches le maximum de la fonction $f(x) = x-x^2$ pour tout $x \in [0,1]$. On dérive, on regarde le signe, on en déduit que $f$ est croissante sur $[0,1/2]$ et décroissante sur $[1/2, 1]$ donc le maximum est en $1/2$ et vaut $f(1/2) = 1/4$.
2. Tu as de l'intuition : tu sens que le maximum va être en $1/2$ (par exemple tu as tapé « x(1-x) » sur un moteur de recherche et tu as vu la courbe de $f$). Tu vérifies que $f(1/2) = 1/4$ donc $\sup_{x \in [0,1]} f(x) \ge f(1/2) = 1/4$ et il ne reste qu'à montrer que pour tout $x \in [0,1]$, on a $f(x) \le \frac{1}{4}$, c'est-à-dire $x - x^2 \le \frac{1}{4}$, ou encore $x^2 - x + \frac{1}{4} \ge 0$, soit enfin $(x - \frac{1}{2})^2 \ge 0$.
Soit $x$ un nombre réel : (on regardera si besoin ce qui se passe sur [0;1]).
Je m'autorise l'enchaînement d'égalités.
$\frac{x(x-1)}{2} = \frac{x^2 - x}{2} = \frac{(x-\frac{1}{2})^2}{2} - \frac{1}{8}$
Le premier terme de cette différence est positif donc son minimum est 0 et est atteint en $x=\frac{1}{2}$.
Alors le minimum (global) de la quantité est $-\frac{1}{8}$.
Le passage à la valeur absolue doit être étudié quand même car on aurait encore un "sup" infini.
Mais sur l'intervalle considéré, c'est celui qu'on a trouvé (en valeur absolue).
Les deux dernières phrases sont admises mais demandent quand même une justification rigoureuse (utiliser les zéros de la quantité étudiée...).
Ça fait 20ans que je n'ai pas fait de math... à moi de m'y remettre !
D'ailleurs, comment expliquer une fonction f par exemple dans R ? C'est koi quoi ? J'ai d'une explication simple que je puisse me l'imaginer ...
Que signifie les termes suivants :
d(x,y)=min(d(x,z),a)
MErci
Qu'entends-tu par "expliquer une fonction"? Pour expliquer intuitivement, une fonction est une "association" d'éléments d'un ensemble \(A\) à ceux d'un ensemble \(B\) qui fait correspondre à chaque élément de \(A\) au plus un élement de \(B\) (0 ou 1 élément donc).
Par exemple, si l'on prend \(A=\{\text{chat, chien, souris}\}\) et \(B=\{os,fromage\}\), les associations suivantes sont des fonctions:
- \(f_{1}:A\to B\) telle que \(f_{1}(\text{chien})=\text{os}\) et \(f_{1}(\text{souris})=\text{fromage}\)
- \(f_{2}:A\to B\) telle que \(f_{2}(\text{chien})=\text{os}\), \(f_{2}(\text{souris})=\text{fromage}\) et \(f_{2}(\text{chat})=\text{fromage}\)
L'association suivante n'est pas une fonction:
- \(a:A\to B\) telle que \(a_{1}(\text{chien})=\text{os}\) et \(a_{1}(\text{chien})=\text{fromage}\) (car \(\text{chien}\in A\) est associé à deux éléments distincts de \(B\))
Pour le cas particulier d'une fonction dans \(\mathbb{R}\), sache que cette locution signifie que \(f\) associe les éléments d'un certain ensemble \(A\) à ceux d'un ensemble \(B=\mathbb{R}\). Si l'on dit une fonction "sur \(\mathbb{R}\)", cela signifie que \(f\) associe des éléments de \(A=\mathbb{R}\) à ceux d'un certain ensemble \(B\).
Voici quelques exemples de fonctions
1) Dans \(\mathbb{R}\)
- \(f_{3}:\{\text{chat, chien, souris}\}\to\mathbb{R}\) telle que \(f_{3}(\text{chien})=0.584\), \(f_{3}(\text{souris})=\frac{1}{2}\) et \(f_{3}(\text{chat})=\pi\)
- \(f_{4}:\mathbb{R}\to\mathbb{R}:x\mapsto x\)
- \(f_{5}:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}:(x,y)\mapsto x+y\)
2) Sur \(\mathbb{R}\)
- \(f_{6}:\mathbb{R}\to\{\text{chat, chien, souris}\}\) telle que \(f_{6}(1)=chat\), \(f_{6}(\sqrt{2})=chat\), \(f_{6}(x)=\text{souris}\,\forall x\neq 1,\sqrt{2}\)
- \(f_{7}:\mathbb{R}\to\mathbb{R}:x\mapsto x^{2}\)
- \(f_{8}:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^{4}:x\mapsto (x , x^{2}, 1, 2+x)\)
Voici un exemple d'association qui ne sont pas des fonctions:
- Sur \(\mathbb{R}\): \(b(x)=\text{chien},\, b(x)=\text{souris}\)
- Dans \(\mathbb{R}\): \(x^{2}+y^{2}+z^{2}=c(x,y,z)\)
Graphiquement, si tu dessines le graphe de \(g\) (tous les couples \((x,g(x)\)) dans un plan cartésien, pour une certaine association \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), il s'agit d'une fonction ssi le graphe est coupé en au plus un point par les droites verticales.
EDIT: effectivement, christophe c, merci pour la précision.
il s'agit d'une fonction ssi le graphe n'est coupé en plusieurs points par aucune droite verticale.
@bSylvain: une fonction est un ensemble $f$ de couples qui ne contient pas deux couples différents ayant la même abscisse. Soit $x$ un objet: comme il y a au plus un $y$ tel que $(x,y)\in f$, ce $y$ est noté $f(x)$.
L'abscisse du couple $(x,y)$ est $x$. L'ordonnée du couple $(x,y)$ est $y$.
Ma question est la suivante: cette définition requiert que chaque élément de \(X\) soit l'abscisse d'exactement un couple de \(f\); est-ce la définition usuelle ou bien permet-on que certains éléments de \(X\) ne soit associé à aucun élément de \(f\)?
Tout d'abord merci des renseignements.
Autre probleme :
montrer l'inégalité suivante pour x€ [0,1]
|Fn(x)-F(x)|=|(x²+xexp(-x))/(n+x)|<=2/n.
Pourriez-vous svp me préciser la méthode utilisé?
Merci de votre aide
Bsylvain
Edit: ah zut, en fait on s'en fiche si on admet l'égalité.
Eh, bien il suffit de majorer la valeur absolue du numérateur, et minorer celle du dénominateur.
Pas besoin d'être fin, on peut y aller à la hache.
Majorer le numérateur & minorer dénominateur , pourriez vous m'indiquer le detail si cela est possible?
Merci d'avance
\[x^2\le\cdots,\quad x\le\cdots,\quad e^{-x}\le\cdots,\quad n+x\ge\cdots ?\]
Comment en déduire que $x^2+xe^{-x}\le 2$ ? que $\dfrac{1}{n+x}\le\dfrac1n$ ?
Comment conclure ?
Le dénominateur : n+x>n (sauf pour x = 0 où on à l'égalité).
f(ax+y,z)=a f(x,y)+f(y,z) ; cas linéaire
f(z,ax+y) = a* f(z,x) + f(z,y) ; cas anti linéaire avec a* le conjugué
Exemple ; soit E = C², f(x,y) = i x(2)y(1) + i x(1)y(2)* ; avec y(2)* le conjugué
Comment montrer la linéarité et anti linéarité de f(x,y) avec les définition ci-dessus?
Merci de votre aide
bSylvain
Le probléme est en dimension 2 ==> E= C²
La définition est en dimension 3 ==> E^3
Je suis d'accord avec vous, je dois gratter le papier .... je suis en réprise d'études ce qui n'est pas facile.(je l'ai voulu !).
Merci de votre aide.
Je ferme.
AD