Information écriture & calcul

Bonjour,

Pour montrer que $\sup_{x \in [0,1]} |x(x-1)/2| = 1/8$, on remarque d'abord que c'est équivalent à $\sup_{x \in [0,1]} x(1-x) = 1/4$. Pour montrer cette identité, deux méthodes.

1. Tu n'as pas d'intuition : tu cherches le maximum de la fonction $f(x) = x-x^2$ pour tout $x \in [0,1]$. On dérive, on regarde le signe, on en déduit que $f$ est croissante sur $[0,1/2]$ et décroissante sur $[1/2, 1]$ donc le maximum est en $1/2$ et vaut $f(1/2) = 1/4$.

2. Tu as de l'intuition : tu sens que le maximum va être en $1/2$ (par exemple tu as tapé « x(1-x) » sur un moteur de recherche et tu as vu la courbe de $f$). Tu vérifies que $f(1/2) = 1/4$ donc $\sup_{x \in [0,1]} f(x) \ge f(1/2) = 1/4$ et il ne reste qu'à montrer que pour tout $x \in [0,1]$, on a $f(x) \le \frac{1}{4}$, c'est-à-dire $x - x^2 \le \frac{1}{4}$, ou encore $x^2 - x + \frac{1}{4} \ge 0$, soit enfin $(x - \frac{1}{2})^2 \ge 0$.

bsylvain a écrit:

Que signifie les termes suivants :
\(d(x,y)=\min(d(x,z),a)\)

Cette expression ne veut pas dire grand chose dans l'absolu, il manque des informations (\(x,y,z,a\) sont "de quel type", qu'est-ce que \(d\), le \(\min\) est pris sur quel ensemble ordonné,...).

bsylvain a écrit:

[...] comment expliquer une fonction \(f\) par exemple dans \(\mathbb{R}\) ?

Qu'entends-tu par "expliquer une fonction"? Pour expliquer intuitivement, une fonction est une "association" d'éléments d'un ensemble \(A\) à ceux d'un ensemble \(B\) qui fait correspondre à chaque élément de \(A\) au plus un élement de \(B\) (0 ou 1 élément donc).

Par exemple, si l'on prend \(A=\{\text{chat, chien, souris}\}\) et \(B=\{os,fromage\}\), les associations suivantes sont des fonctions:
- \(f_{1}:A\to B\) telle que \(f_{1}(\text{chien})=\text{os}\) et \(f_{1}(\text{souris})=\text{fromage}\)
- \(f_{2}:A\to B\) telle que \(f_{2}(\text{chien})=\text{os}\), \(f_{2}(\text{souris})=\text{fromage}\) et \(f_{2}(\text{chat})=\text{fromage}\)
L'association suivante n'est pas une fonction:
- \(a:A\to B\) telle que \(a_{1}(\text{chien})=\text{os}\) et \(a_{1}(\text{chien})=\text{fromage}\) (car \(\text{chien}\in A\) est associé à deux éléments distincts de \(B\))

Pour le cas particulier d'une fonction dans \(\mathbb{R}\), sache que cette locution signifie que \(f\) associe les éléments d'un certain ensemble \(A\) à ceux d'un ensemble \(B=\mathbb{R}\). Si l'on dit une fonction "sur \(\mathbb{R}\)", cela signifie que \(f\) associe des éléments de \(A=\mathbb{R}\) à ceux d'un certain ensemble \(B\).

Voici quelques exemples de fonctions

1) Dans \(\mathbb{R}\)
- \(f_{3}:\{\text{chat, chien, souris}\}\to\mathbb{R}\) telle que \(f_{3}(\text{chien})=0.584\), \(f_{3}(\text{souris})=\frac{1}{2}\) et \(f_{3}(\text{chat})=\pi\)
- \(f_{4}:\mathbb{R}\to\mathbb{R}:x\mapsto x\)
- \(f_{5}:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}:(x,y)\mapsto x+y\)

2) Sur \(\mathbb{R}\)
- \(f_{6}:\mathbb{R}\to\{\text{chat, chien, souris}\}\) telle que \(f_{6}(1)=chat\), \(f_{6}(\sqrt{2})=chat\), \(f_{6}(x)=\text{souris}\,\forall x\neq 1,\sqrt{2}\)
- \(f_{7}:\mathbb{R}\to\mathbb{R}:x\mapsto x^{2}\)
- \(f_{8}:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^{4}:x\mapsto (x , x^{2}, 1, 2+x)\)

Voici un exemple d'association qui ne sont pas des fonctions:

- Sur \(\mathbb{R}\): \(b(x)=\text{chien},\, b(x)=\text{souris}\)
- Dans \(\mathbb{R}\): \(x^{2}+y^{2}+z^{2}=c(x,y,z)\)

Graphiquement, si tu dessines le graphe de \(g\) (tous les couples \((x,g(x)\)) dans un plan cartésien, pour une certaine association \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), il s'agit d'une fonction ssi le graphe est coupé en au plus un point par les droites verticales.

EDIT: effectivement, christophe c, merci pour la précision.

christophe c, le wikipedia anglais donne une définition proche de la vôtre:

Function (mathematics) a écrit:

The Cartesian product of two sets $X$ and $Y$ is the set of all ordered pairs, written $(x, y)$, where $x$ is an element of $X$ and $y$ is an element of $Y$. The $x$ and the $y$ are called the components of the ordered pair. The Cartesian product of $X$ and $Y$ is denoted by $X\times Y$.

A function $f$ from $X$ to $Y$ is a subset of the Cartesian product $X\times Y$ subject to the following condition: every element of $X$ is the first component of one and only one ordered pair in the subset. In other words, for every $x$ in $X$ there is exactly one element $y$ such that the ordered pair $(x, y)$ is contained in the subset defining the function $f$.

Ma question est la suivante: cette définition requiert que chaque élément de \(X\) soit l'abscisse d'exactement un couple de \(f\); est-ce la définition usuelle ou bien permet-on que certains éléments de \(X\) ne soit associé à aucun élément de \(f\)?

Merci pour ce lien.

Sans connaître ni $F_n$ ni $F$, ça ne va pas être facile...

Edit: ah zut, en fait on s'en fiche si on admet l'égalité.

Eh, bien il suffit de majorer la valeur absolue du numérateur, et minorer celle du dénominateur.
Pas besoin d'être fin, on peut y aller à la hache.

Sachant que $0\le x\le 1$, que peut-on mettre à la place des points de suspension pour avoir des inégalités vraies :
\[x^2\le\cdots,\quad x\le\cdots,\quad e^{-x}\le\cdots,\quad n+x\ge\cdots ?\]
Comment en déduire que $x^2+xe^{-x}\le 2$ ? que $\dfrac{1}{n+x}\le\dfrac1n$ ?
Comment conclure ?

Faire le calcul comme on te l'a conseillé ici

Inutile de poursuivre ici alors que tu as des réponses ailleurs.