Leçon 204, équivalence de normes

Pour la démonstration de l'équivalence des normes, je n'aime pas trop celle qui est citée dans un autre fil :
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?6,1214427,1216445#msg-1216445
avec suite extraite et raisonnement par l'absurde.

L'important est de ne pas mélanger les normes. On a un $ \mathbb{R}$-espace vectoriel $E$ de dimension finie muni de la norme $\left\| ...\right\| _{\infty }$ associée à une base $\mathcal{B}(e_1, e_2,...,e_n)$. Par ailleurs, on a une autre norme $N$ sur $E$, qui doit être considérée comme une application de $E$ dans $ \mathbb{R}$, dotée des propriétés d'une norme.
L'inégalité triangulaire appliquée à $N$ conduit d'abord, pour tout $x \in E$, à : $N(x)\leq \beta \left\| x\right\| _{\infty } $(avec $ \displaystyle \beta =\overset{n}{\underset{i=1}{\sum }}N(e_{i})$).
Par l'inégalité triangulaire, deuxième forme, appliquée à $N$ , il vient : $\left| N(x)-N(y)\right| \leq \beta \left\| x-y\right\| _{\infty }$.
L'application $N$ est donc une application continue de l'espace vectoriel normé $E, \left\| ...\right\| _{\infty }$ dans $ \mathbb{R}$.
La sphère-unité $S_{\infty }(0,1)$ de cet espace est compacte - ou bornée fermée pour les programmes d'enseignement de math-spé non MP, où "compact" est un gros mot.
Cette application continue $N$ admet donc un minimum $\alpha$ sur $S_{\infty }(0,1)$, et forcément $\alpha >0$.
Il s'ensuit immédiatement, pour tout $x \in E$ : $N(x)\geq \alpha \left\| x\right\| _{\infty }$.

Cette démonstration est simple et ne fait intervenir que des concepts centraux du cours d'Analyse de L2. On peine à comprendre qu'elle soit "non exigible" dans le programme de MP.

Bon dimanche, et bonne fête aux amoureux,
F. Ch.

Chaurien écrivait:

---

> J'en profite pour faire une demande. Pourriez-vous
> donner une adresse où l'on trouve le programme de
> l'agrégation (interne et externe), et la liste
> des questions d'oral ? Merci.
>
> Bonne journée.
> F. Ch.


Dans les rapports de concours 2015, qu'on trouve sur les sites du jury :
Pour l'externe wwww.agreg.org
Pour l'interne www.agrint.agreg.org

Dans le Monier MP analyse, une fois avoir trié les infos, c'est assez bien fait je crois.

Réfléchir s'il est intéressant de se placer dans $\mathbb R^n$ où s'il "faut" rester dans un e.v. quelconque de dimension $n$.

Je crois le rappeler que le jury avait asticoté un candidat à ce sujet qui s'était empêtré alors qu'il savait évidemment s'en sortir dans d'autres circonstances.

Le problème de ce genre de leçons c'est d'être bien au clair sur ce qui est déjà connu et ce qui reste à prouver. La propriété de Borel-Lebesgue ne me semble pas forcément arriver avant la notion d'EVN dans un cours de spé mais plutôt bien après (cf. programmes) donc il faudrait peut-être insister sur la compacité de la sphère unité en partant de $[-1,1]$ et en généralisant à $[-1,1]^n$ (en passant par la caractérisation séquentielle?), ou en tout cas avoir les idées claires à ce sujet. Le théorème de Tychonov est absolument hors de propos !

@Chaurien
Oui. Je me souviens du candidat qui, sûrement trop stressé d'après moi, n'était pas parvenu à écrire l'isomorphisme.
Toute la salle savait le faire.

C'est dingue, c'est comme dans n'importe quelle salle : le spectateur (en classe, en TD, etc.) comprend toujours ce qui est demandé et sait faire en général tandis que le candidat (ou celui qui est au tableau) est dans une sorte de bulle qui le paralyse, ou le ralentit.

@ Samuel DM
Pour démontrer l'équivalence des normes par la méthode que j'ai proposée, les prérequis sont :
(1) Dans un e. v. n. de dimension finie, toute partie bornée et fermée est compacte.
(2) Dans tout e. v. n., l'image d'une partie compacte par une fonction continue est un compact.
Dans certaines prépas commerciales ou même à présent scientifiques, on édulcore ceci en une seule assertion : << Toute fonction réelle continue sur une partie fermée bornée non vide d'un e. v. n.est bornée et atteint ses bornes >>.
Ceci suffit pour la démonstration susdite.

Maintenant, comment démontrer élémentairement les assertions (1) et (2) ? Si j'ai bien lu, l'agrégation interne reste fixée sur la définition séquentielle des compacts, contrairement à l'agrégation externe, qui comporte seulement "compacité", sans préciser. J'espère avoir bien utilisé les références que m'a fournies Laurette, que je ne remercierai jamais assez.

Si l'on adopte ladite définition séquentielle, la proposition de base est : << De toute suite réelle bornée, on peut extraire une suite convergente >>. Pour celle-ci, je suis d'accord avec christophe c, j'aime bien commencer par le lemme : << De toute suite réelle on peut extraire une suite monotone >>. Ce lemme est purement algébrique, il ne concerne pas spécifiquement l'ensemble des réels, qu'on peut remplacer ici par n'importe quel ensemble totalement ordonné. Et on applique ensuite le Théorème de la Limite Monotone, qui est du niveau Terminale (j'espère qu'il l'est encore).

Ensuite, on démontre : << De toute suite bornée de $\mathbb R^2$, on peut extraire une suite convergente >>, par double extraction, pour s'échauffer, puis on passe à $\mathbb R^n$ par récurrence, ou bien on s'épargne le passage par $\mathbb R^2$ si l'on est assez fort (:D. Ceci permet de caractériser les compacts d'un espace vectoriel normé de dimension finie, proposition (1) ci-dessus.

Pour la proposition (2), ça coule de source.

D'accord ?

Bonne soirée.
F. Ch.

Il faut aborder également les normes matricielles ie subordonnées

Merci à Blueberry et Remarque de nous avoir rappelé qu'on peut prouver l'équivalence des normes en dimension finie sans compacité, avec seulement la complétude.
Références : Dieudonné, 1972, n° 5.9.1, p. 112, et Lang, 1974, XII, § 2, p. 288 (c'est plus sympa pour le lecteur quand les références sont complètes).
Maintenant pour les prépas c'est peine perdue puisque la complétude est sortie des programmes.
Mathématiquement si j'ai bien compris, c'est intéressant pour un espace vectoriel de dimension finie sur un corps valué complet mais non localement compact.
J'aimerais connaître les programmes d'enseignement de math à l'Université, ou dans telle ou telle Université s'ils diffèrent de l'une à l'autre.
Bonne journée.
F. Ch.

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Un joli truc est le fait qu'une norme sur l'espace des matrices symetriques reelles d'ordre $n$ est invariante par l'action du groupe orthogonal (cad $N(A)=N(UAU^*)$) si et seulement si il existe une norme $N_1$ sur $\mathbb{R}^n$ invariante par permutation (cad $N_1(x_1,\ldots,x_n)=N_1(x_{\sigma_1},\dots,x_{\sigma_n})$) telle que si $ \lambda_1,\ldots,\lambda_n$ sont les valeurs propres de $A$ alors
$$N(A)=N_1(\lambda_1,\ldots,\lambda_n).$$

C'est quoi le "h" de : "h : un espace normé est un espace métrique." ? Ca me fait penser à "hypothèse", mais dans ce cas ça me choque...

Sinon pour le premier théorème, il faut être à l'aise sur les démos classiques (surtout que ça fait intervenir la convexité, donc c'est à savoir pour d'autres leçons, et ça peut servir de développement d'un niveau pas très élevé mais assez consistant en volume tout de même si l'on écrit tout), et notamment sur le lien entre les normes $p$ pour $p$ fini et la norme infini...

Un des points de la leçon peut aussi être justement d'avoir un critère pour montrer que deux normes ne sont pas équivalentes...
Et la caractérisation de la dimension finie via Riesz et compagnie...
Les topologies matricielles fournissent quantité d'exemples et d'applications plus ou moins complexes...

@ gb

Effectivement, mon message précédent manque de précision.

Par extractions successives, on montre comme j'ai dit que dans $\mathbb {R}^n$ muni de la norme $\left\| ...\right\| _{\infty }$ les compacts sont exactement les bornés fermés (avec la définition séquentielle des compacts). La sphère-unité $S_{\infty }(0,1)$ (relative à cette norme) est donc compacte, et la démonstration de l'équivalence des normes que j'ai donnée ci-dessus est donc valide.

Toutes ces complications me conduisent à m'intéresser à l'autre démonstration, par la complétude. Dommage que celle-ci soit sortie des écrans-radar en prépas. Et à l'Université ?

Pour la question d'agreg, le jury verrait sans doute d'un bon œil la présentation des deux démonstrations...

Bonne journée.
F. Ch.

Pour la question d'agreg, le jury verrait sans doute d'un bon œil la présentation des deux démonstrations...

Je pense qu'il faut préciser interne ou externe, ils ne semblent pas avoir les mêmes goûts disons. J'ai l'impression par exemple à l'externe qu'ils s'en fichent un peu de toute ça. A l'interne, aux dires de cagou dans un autre fil, ça peut représenter une plus-value assez claire (il a eu 20 avec l'argument de compacité, non nécessaire**).

Je crois que c'est surtout précision et rigueur qui vont être évaluées chez le candidat qui présenterait ces "grands classiques", plus qu'autre chose (pas l'originalité, ni l'inédit, en tout cas).

** le fait que $\exists k\forall x: N(x)\leq k||x||$ est un calcul "atomique". Le fait (par récurrence sur la dim) que $N(1,\epsilon_1,..,\epsilon_n)$ ne peut pas*** être "superproche de $0$" quand $N(0,\epsilon_1,..,\epsilon_n)$ l'est (par récurrence) n'est pas non plus vraiment "de l'analyse approfondie" disons.

*** à cause de $N(1,0,0,..,0)$ qui ne dépasse pas leur somme