Agreg interne - leçon accroissements finis
Bonjour
Je bosse actuellement sur cette leçon et ça ne me convient pas.
L'intitulé est "Théorème des accroissements finis pour une fonction d'une ou plusieurs variables réelles. Applications."
Aucune indication dans les rapports des dernières années.
Dans les programmes, on a : Théorèmes de Rolle et des accroissements finis. Inégalité des accroissements finis pour une fonction à valeurs complexes. Application au sens de variation et au caractère lipschitzien" puis pour les fonctions à plusieurs variables "Inégalité des accroissements finis pour une fonction de classe C1. Caractérisation des constantes parmi les fonctions de classe C1 sur un ouvert connexe."
Voici mon plan :
I - Fonction d'une variable réelle
A - A valeurs dans R
Théorème de Rolle
TAF
Conséquence sur sens de variation
f lipschitzienne <=> f' bornée
Accroissements finis généralisés
Règle de L'Hospital
Darboux
Schwarz
Exo convergence du reste de la série des 1/p
B - A valeurs dans un evn
IAF...
II - Fonctions de plusieurs variables
TAF
Inversion locale
Voilà, il y a un gros déséquilibre entre mes parties. Mais j'ai du mal à trouver des applications pour une fonction à valeurs dans C ou une fonction à plusieurs variables.
J'ai aussi pensé aux formules de Taylor mais je retrouve avec des applications de ces formules et pas du TAF...
Merci pour vos avis !
Je bosse actuellement sur cette leçon et ça ne me convient pas.
L'intitulé est "Théorème des accroissements finis pour une fonction d'une ou plusieurs variables réelles. Applications."
Aucune indication dans les rapports des dernières années.
Dans les programmes, on a : Théorèmes de Rolle et des accroissements finis. Inégalité des accroissements finis pour une fonction à valeurs complexes. Application au sens de variation et au caractère lipschitzien" puis pour les fonctions à plusieurs variables "Inégalité des accroissements finis pour une fonction de classe C1. Caractérisation des constantes parmi les fonctions de classe C1 sur un ouvert connexe."
Voici mon plan :
I - Fonction d'une variable réelle
A - A valeurs dans R
Théorème de Rolle
TAF
Conséquence sur sens de variation
f lipschitzienne <=> f' bornée
Accroissements finis généralisés
Règle de L'Hospital
Darboux
Schwarz
Exo convergence du reste de la série des 1/p
B - A valeurs dans un evn
IAF...
II - Fonctions de plusieurs variables
TAF
Inversion locale
Voilà, il y a un gros déséquilibre entre mes parties. Mais j'ai du mal à trouver des applications pour une fonction à valeurs dans C ou une fonction à plusieurs variables.
J'ai aussi pensé aux formules de Taylor mais je retrouve avec des applications de ces formules et pas du TAF...
Merci pour vos avis !
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Réponses
(J'ai un vague souvenir qu'il en exista).
Au sujet du système du genre :
$x=\sin(x-y)$ et $y=\cos(x+y)$ par exemple... On montre qu'une fonction est lipschitzienne et on trouve la contraction grâce à l'IAF et à la norme 2 de mémoire...
En effet, pas simple d'étoffer les parties B et II.
Je me demande s'il ne faudrait pas traiter B et II dans une seule partie II pour que cela semble moins "squelettique".
Même s'il faut argumenter cette réunion.
Je continue à fouiller !
je me permets de remonter ce post. Quel développement serait-il intéressant de choisir dans cette leçon?
la démonstration de l'IAF dans le cas d'une fonction vectorielle à une variable?
la formule de Taylor-Lagrange?
merci
-- Schnoebelen, Philippe
Le théorème de Darboux (les fonctions dérivées vérifient la propriété des valeurs intermédiaires).
Zut, c’est peut-être court également...
-- Schnoebelen, Philippe
Si tu n'as pas froid aux yeux, tu fais la même chose avec $\frac{1}{2}\ln\frac{1+x}{1-x}$ sur $]-1,1[$, à la place de $\ln(1+x)$ (nécessite un peu plus de calcul).
Note que ce développement peut se replacer dans une leçon sur les séries entières ou sur un calcul de valeur approchée.
Pour ce qui est de la biblio où trouver cela, ...
http://people.math.sc.edu/girardi/m555/current/hw/MVT-Flett.pdf
Et ça peut se trouver dans des ouvrages en français ...
Version brève : on peut supposer en plus que $f(a)=f(b)$ et il suffit de prendre un point où la pente admet son minimum.
Version détaillée. On note que pour une fonction $f$ affine, la condition est remplie pour tout $c$ ; de plus, la condition est linéaire en $f$. Par conséquent, on peut librement multiplier $f$ par une constante $k$ et lui ajouter une fonction affine $\alpha$ ($f'(a)=f'(b)$ SSI $(kf+\alpha)'(a)=(kf+\alpha)'(b)$ et la conclusion pour $f$ équivaut à la conclusion pour $kf+\alpha$).
On peut donc supposer que $f'(a)\ge0$ (quitte à remplacer $f$ par $-f$) et que $f(a)=f(b)$ (quitte à remplacer $f(x)$ par $f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$.
Soit $c$ un point où $g:x\mapsto \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ atteint son minimum (avec $g(a)=f'(a)$ pour que $g$ soit continue). Si $c$ est dans l'intervalle ouvert $\left]a,b\right[$, alors $g'(c)=0$ et c'est gagné car le dénominateur de $g'(c)$ est $f'(c)(x-c)-\bigl(f(c)-f(a)\bigr)$.
Si le minimum est atteint en $a$, c'est que $f'(a)=0$ (comme $g(b)=0$, le minimum est $\le0$, mais $f'(a)\ge0$), et alors $f'(b)=f'(a)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$.
Si le minimum est atteint en $b$, on a aussi $f'(b)=0$ car alors, $\frac{f(b)-f(x)}{b-x}\ge0$ pour $x<b$ et on a bien $f'(b)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$.