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Agreg interne - leçon accroissements finis

Envoyé par kioups 
Agreg interne - leçon accroissements finis
il y a quatre années
Bonjour
Je bosse actuellement sur cette leçon et ça ne me convient pas.

L'intitulé est "Théorème des accroissements finis pour une fonction d'une ou plusieurs variables réelles. Applications."
Aucune indication dans les rapports des dernières années.
Dans les programmes, on a : Théorèmes de Rolle et des accroissements finis. Inégalité des accroissements finis pour une fonction à valeurs complexes. Application au sens de variation et au caractère lipschitzien" puis pour les fonctions à plusieurs variables "Inégalité des accroissements finis pour une fonction de classe C1. Caractérisation des constantes parmi les fonctions de classe C1 sur un ouvert connexe."

Voici mon plan :
I - Fonction d'une variable réelle
A - A valeurs dans R
Théorème de Rolle
TAF
Conséquence sur sens de variation
f lipschitzienne <=> f' bornée
Accroissements finis généralisés
Règle de L'Hospital
Darboux
Schwarz
Exo convergence du reste de la série des 1/p

B - A valeurs dans un evn
IAF...

II - Fonctions de plusieurs variables
TAF
Inversion locale

Voilà, il y a un gros déséquilibre entre mes parties. Mais j'ai du mal à trouver des applications pour une fonction à valeurs dans C ou une fonction à plusieurs variables.
J'ai aussi pensé aux formules de Taylor mais je retrouve avec des applications de ces formules et pas du TAF...

Merci pour vos avis !



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a cinq semaines et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Dom
Re: Agreg interne - Leçon Accroissements finis
il y a quatre années
J'irais chercher des applications dans "Petit guide du calcul différentiel" de Rouvière pour des applications.
(J'ai un vague souvenir qu'il en exista).
Au sujet du système du genre :
$x=\sin(x-y)$ et $y=\cos(x+y)$ par exemple... On montre qu'une fonction est lipschitzienne et on trouve la contraction grâce à l'IAF et à la norme 2 de mémoire...

En effet, pas simple d'étoffer les parties B et II.
Je me demande s'il ne faudrait pas traiter B et II dans une seule partie II pour que cela semble moins "squelettique".
Même s'il faut argumenter cette réunion.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a quatre ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: Agreg interne - Leçon Accroissements finis
il y a quatre années
Merci, j'avais effectivement zappé la lipschizianité d'une fonction à plusieurs variables.

Je continue à fouiller !
Re: Agreg interne - Leçon Accroissements finis
il y a cinq semaines
Bonjour,
je me permets de remonter ce post. Quel développement serait-il intéressant de choisir dans cette leçon?
la démonstration de l'IAF dans le cas d'une fonction vectorielle à une variable?
la formule de Taylor-Lagrange?
merci
Re: Agreg interne - Leçon Accroissements finis
il y a cinq semaines
avatar
Taylor-Lagrange me semble un peu court, non ?

Le café est un breuvage qui fait dormir,
quand on n’en prend pas.
-+- Alphonse Allais -+-
Re: Agreg interne - Leçon accroissements finis
il y a cinq semaines
Effectivement c'est pour cela que je ne sais pas trop quoi choisir dans cette leçon...
Dom
Re: Agreg interne - Leçon accroissements finis
il y a cinq semaines
Le théorème de Schwarz mais attention je ne sais plus s’il est considéré admis dans le programme officiel.
Le théorème de Darboux (les fonctions dérivées vérifient la propriété des valeurs intermédiaires).

Zut, c’est peut-être court également...
Re: Agreg interne - Leçon accroissements finis
il y a cinq semaines
avatar
Regarde dans les rapports du jury, il y aura peut-être des pistes.

Le café est un breuvage qui fait dormir,
quand on n’en prend pas.
-+- Alphonse Allais -+-
Re: Agreg interne - Leçon accroissements finis
il y a cinq semaines
En 1/4 d'heure : démonstration de la formule de Taylor-Cauchy (3 minutes en partant la formule de Taylor avec reste intégral et un coup de première formule de la moyenne ou bien trois minutes à coup de TAF généralisé, pour coller à l'intitulé de la leçon), suivi du développement en série entière de $\ln(1+x)$ sur $]-1,1[$ (au plus dix minutes), et calcul de $\ln3$ à une précision donnée (par exemple $5\times10^{-5}$), quelques minutes pour obtenir le nombre de termes nécessaires en fonction de la précision voulue.

Si tu n'as pas froid aux yeux, tu fais la même chose avec $\frac{1}{2}\ln\frac{1+x}{1-x}$ sur $]-1,1[$, à la place de $\ln(1+x)$ (nécessite un peu plus de calcul).

Note que ce développement peut se replacer dans une leçon sur les séries entières ou sur un calcul de valeur approchée.

Pour ce qui est de la biblio où trouver cela, ...



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a cinq semaines et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Eric.
Re: Agreg interne - Leçon accroissements finis
il y a cinq semaines
D'autres pistes pour accroissements finis : le théorème de Flett + interprétation géométrique et quelques applications est un parfait candidat pour un développement.
[people.math.sc.edu]

Et ça peut se trouver dans des ouvrages en français ...



Edité 3 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a cinq semaines et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Eric.
Re: Agreg interne - Leçon accroissements finis
il y a cinq semaines
Je bossais bien à l’époque...
Re: Agreg interne - Leçon accroissements finis
il y a cinq semaines
Merci à tous pour vos suggestions ! ;)
Re: Agreg interne - Leçon accroissements finis
il y a cinq semaines
Je trouve la preuve de Flett inutilement compliquée ou artificielle. Il s'agit de montrer que si $f$ est dérivable sur $[a,b]$ et si $f'(a)=f'(b)$, il existe une corde issue de $a$ qui est tangente à la courbe, i.e. un point $c$ tel que $f'(c)=\bigl(f(c)-f(a)\bigr)/(c-a)$.

Version brève : on peut supposer en plus que $f(a)=f(b)$ et il suffit de prendre un point où la pente admet son minimum.

Version détaillée. On note que pour une fonction $f$ affine, la condition est remplie pour tout $c$ ; de plus, la condition est linéaire en $f$. Par conséquent, on peut librement multiplier $f$ par une constante $k$ et lui ajouter une fonction affine $\alpha$ ($f'(a)=f'(b)$ SSI $(kf+\alpha)'(a)=(kf+\alpha)'(b)$ et la conclusion pour $f$ équivaut à la conclusion pour $kf+\alpha$).

On peut donc supposer que $f'(a)\ge0$ (quitte à remplacer $f$ par $-f$) et que $f(a)=f(b)$ (quitte à remplacer $f(x)$ par $f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$.
Soit $c$ un point où $g:x\mapsto \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ atteint son minimum (avec $g(a)=f'(a)$ pour que $g$ soit continue). Si $c$ est dans l'intervalle ouvert $\left]a,b\right[$, alors $g'(c)=0$ et c'est gagné car le dénominateur de $g'(c)$ est $f'(c)(x-c)-\bigl(f(c)-f(a)\bigr)$.
Si le minimum est atteint en $a$, c'est que $f'(a)=0$ (comme $g(b)=0$, le minimum est $\le0$, mais $f'(a)\ge0$), et alors $f'(b)=f'(a)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$.
Si le minimum est atteint en $b$, on a aussi $f'(b)=0$ car alors, $\frac{f(b)-f(x)}{b-x}\ge0$ pour $x<b$ et on a bien $f'(b)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$.
Re: Agreg interne - leçon accroissements finis
il y a cinq semaines
J'ai posté l'article de Flett, mais j'avais en tête l'article de Trahan.
Pièces jointes:
ouvrir | télécharger - A New Type of Mean Value Theorem.pdf (483.8 KB)
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