exos de base pour séniors pour les concours

christophe c · August 2016

De mon téléphone : je suis dans les Pyrénées avec une collègue que je suis censé préparer aux deux agregs (merci de ne pas exploser de rire :-D ) en échange des frais de vacances.

Je m'apprête, sous la canicule, à lui proposer de trouver la borne sup des cardinaux des images directes des morphismes de monoïdes de l'ensemble des injections de IN dans IN dans un groupe commutatif. Est-ce une bonne idée sachant que je n'ai pas réfléchi une seconde à la question de savoir si je connais un début de réponse ?

christophe c · August 2016

L'ensemble de départ est muni de la composition pardon.

christophe c · August 2016

De mon téléphone : juste une précision (au cas où son absence aurait contribué au peu de succès de ce fil depuis 5H) la borne sup est évidemment un max (question préliminaire pour s'enthousiasmer). Merci AD pour le "s"

christophe c · August 2016

J'ai promis à la personne** que j'évoque au premier post une liste de petits "exercices nettoyant". On a en effet constaté qu'il est difficile (éventuellement, peut-être pas pour tout monde, je ne sais pas) pour un candidat à ces concours de rédiger des "évidences" de premier cycle. Or il m'a semblé que ça peut faire perdre beaucoup de temps à ces personnes lors des écrits et éventuellement les pénaliser à l'oral (ie démasquer une inculture ou plonger dans une hésitation pénalisante)

** elle est rentrée à Paris, je fais usage du forum pour transmettre cette liste depuis mon wifi de vacances parce que d'une part, elle est rallongeable à souhait et d'autres peuvent poster des questions auxquelles je ne penserais pas, et d'autre part, ça peut être très utile à tous les candidats âgés (et même jeunes!!) qui n'ont pas cotoyé du L1-L3 "quotidien" depuis des décennies. Je modifierai le titre pour qu'il soit plus en rapport

Merci aux experts du forum de ne donner aucune solution à ces exercices "évidents" pour quelqu'un travaillant au quotidien dans les maths post-bac

1) On regarde $E:=\C(X)$ comme un ev sur $\C$ et pour chaque $a\in \C$, on note $e_a:=1/(X+a)$. Prouver que $a\mapsto e_a$ est une famille libre de vecteurs de $E$

2) Prouver que pour toute application continue $f$ de $\R$ dans $\R$ il existe une application de $\R$ dans $\R$, dérivable sur $\R$ telle que $\forall x\in \R: f(x)\leq g(x)$

3) Soit $\phi$ un morphisme de $(\N^\N, \circ )$ dans un groupe commutatif. Prouver qu'il est constant.

4) Prouver que l'ensemble des matrices inversibles de $M_n(\C)$ est un ouvert dense dans $M_n(\C)$

5) Prouver que les intervalles fermés et bornés de $\R$ sont compacts

6) Soit $E$ un ev sur $ \R$ doté d'un produit scalaire. De plus la boule unité fermé de $E$ est compacte. Prouver qu'alors $E$ est de dimension finie.

7) Soit $(E,d)$ un espace métrique et $u$ une suite dont les termes sont dans $E$. Prouver qu'il existe une suite $v$ extraite de $u$, ayant l'une au moins des 2 propriétés suivantes:

7.1) prop1: $v$ est de Cauchy
7.2) prop2: il existe $e>0$ tel que pour tous $n,p$ entiers différents, $d(v_n,v_p)>e$.

8) Prouver que si $u$ est une suite d'éléments de $E:=C^0(\R,\R)$ qui converge pour la norme uniforme vers $g\in \R^\R$ alors $g\in E$

9) Prouver que l'enveloppe convexe d'un compact de $\R^n$ est compacte

10) Un anneau sera appelé un village quand il a un nombre fini d'idéaux (exemple les corps). Un anneau sera appelé une ferme quand tous ses sous-anneaux sont des villages. Existe-t-il des fermes infinies?

11) Prouver le lemme de Schwarz pour les fonctions $C^\infty$ de $\R^2\to \R$

12) Soit $(E,d)$ l'espace métrique tel que $E:=$ l'ensemble des applications 3-Lipschitziennes de $[0;1]$ dans $[0;1]$ et $d(f,g):=sup_{x\in [0;1]} |f(x)-g(x)|$.
12.1) Prouver qu'il est compact
12.2) Soit $u\in E^\N$. Existe-t-il forcément une suite extraite $v$ de $u$ telle que $\forall x\in [0;1]: [(n\mapsto v_n(x))$
est monotone $]$?

A suivre... (pardon, quelques uns sont parfois difficiles (mais rares), je mettrai des tags pour les signaler un peu plus tard)

christophe c · August 2016

13) Enoncer et démontrer le lemme de Zorn. Démontrer qu'il implique l'axiome du choix

14) Prouver que tout groupe est le quotient d'un groupe libre

15) Prouver que tout ensemble ayant un cardinal $\geq $ à celui de $\R$ peut être muni d'une métrique qui en fait un espace connexe

16) Soit $E$ un espace métrique tel que toute application continue de $E$ dans $\R$ atteint ses bornes. Prouver que $E$ est compact

17) Prouver qu'il existe un groupe $G$, fini, non commutatif et dont tous les sous-groupes stricts sont commutatifs

18) On admet l'axiome du choix. Soit $E$ un espace vectoriel sur $\R$. On note $L(E,E)$ l'espace vectoriel des applications linéaire de $E$ dans $E$. On suppose que $E=L(E,E)$. Prouver que $dim(E)=1$

19) Soit $A$ un anneau commutatif tel que toute application de $A$ dans $A$ est polynomiale. Prouver que $A$ est un corps fini

20) Prouver qu'un sous-ensemble fermé de l'espace euclidien naturel $\R^n$ est convexe si et seulement si il est intersection des boules (éventuellement de rayon infini) qui le contiennent

21) Soit $A$ une matrice diagonale de $M_n(\C)$ dont tous les éléments diagonaux sont égaux. Prouver que l'ensemble des matrices qui sont semblables à $A$ est fermé

22) Soit $E$ un espace vectoriel normé sur $\R$, de dimension finie tel que tout convexe fermé est intersection des boules qui le contiennent. Soit $C$ est convexe fermé non vide et $a$ un élément de $E$ prouver qu'il existe un unique $b\in C$ tel que $\forall x\in C: d(x,a)\leq d(b,a)$

23) Soit $E$ un espace topologique tel que toute application de $E$ dans $E$ admet un point fixe. Prouver que $E$ est connexe

24) Soit $G$ un graphe fini connexe non vide. Prouver qu'il existe un sommet $s$ de $G$ tel que le graphe obtenu en retirant $s$ à $G$ est connexe.

25) Soit $E$ un espace métrique connexe qui cesse de l'être quand on lui retire n'importe lequel de ses points. Prouver que $card(E)\leq card(\R)$

1528 · August 2016

L'énoncé du 13 n'est-il pas à revoir ? À moins que l'on ne suppose que le lecteur est capable de deviner le bon énoncé.

aléa · August 2016

Pour des exos de remise en forme, c'est chaud.
Je suis assez étonné que tu proposes le 9, toi qui aime les trucs où on n'écrit rien. Si tu as une belle solution, je suis preneur, celle que je connais repose sur un lemme que je trouve assez calculatoire.

Fin de partie · August 2016

Christophe a écrit:

je suis dans les Pyrénées avec une collègue que je suis censé préparer aux deux agregs

Drôle d'occupation. Son mari vous accompagne? X:-(

Foys · August 2016

18) pour info, $L(\{0\},\{0\})$ et $\{0\}$ sont isomorphes.

christophe c · August 2016

@foys. Merci pour l'info sur la coquille

@1528 merci j'y remedierai le 13

@aléa : oui certains (j'espère en petite proportion) peuvent être un peu plus durs ou au moins "de synthèse". Mais pour le 9 je pensais académique d'admettre qu'en dimension n l'enveloppe convexe est la réunion des enveloppes convexes des sous ensembles de n+1 éléments. Je pense que c'est la preuve de cet admis que tu evalues très calculatoire. Je vais chercher une preuve sans calcul qui le contourne.

christophe c · September 2016

J'avais complètement oublié ce fil, je le fais remonter car un ami m'a demandé de lui envoyer une version pdf et tex. Je le complète un peu (disons jusqu'à 50) puis j'exaucerai son voeu, là, fait trop chaud.

27) Soit $A$ un anneau commutatif unitaire, noethérien et "de Boole", ie pour tout $x\in A: x^2=x$. Prouver que $A$ est fini.

28) Soit $A$ un anneau commutatif unitaire. On suppose que toute application de $A\to A$ est polynomiale. Prouver que $A$ est un corps fini.

29) Prouver $\exists x\forall y: (R(x)\to R(y))$ (la flèche signifie "implique")

30) On suppose que pour tout ensemble $E$ et toute partie $R$ de $E^2$, si $\forall x\in E\exists y\in E: (x,y)\in R$ alors $\exists f\in E^E \forall x\in E: (x,f(x))\in R$. Prouver qu'alors on a l'axiome du choix. (Version la plus répandue de l'axiome du choix: pour tout ensemble $A$ dont les éléments sont non vides et 2 à 2 disjoints, il existe $T$ tel que l'intersection de $T$ avec chaque élément de $A$ est un singleton

31) Soit $E$ un ensemble et soit $f\in E^E$. Prouver que si $\forall g\in E^E: f\circ g = g\circ f$ alors $f=id_E$.

32) Construire un anneau commutatif non forcément unitaire tel que l'ensemble des idéaux de $A$ qui ne sont pas $A$ n'a pas d'élément maximal pour l'inclusion

blaise · September 2016

31) Pour $e \in E$ on considère $g$ constante : $\forall x \in E, g(x)=e$ et alors $f(e)=e$ donc $f=id_E$.

christophe c · September 2016

Bravo Blaise.

Merci aux gens qui postent des solutions de les mettre en blanc (suffit de sélectionner le texte entier et de cliquer sur le bouton couleur et choisir)

blaise · September 2016

Voilà c'est fait ! (par contre, je n'ai pas traité le cas où $E$ est l'ensemble vide)

Siméon · September 2016

@christophe : 28) = 19).

christophe c · September 2016

@Siméon: merci je corrigerai d'un PC. @Blaise: merci. Bon comme c'est en blanc je ne peux plus voir d'être mon tel mais méfie-toi tu as peut être bien traité le cas vide sans en être conscient: je vérifier ai d'un PC.

christophe c · September 2016

@Blaise: tu as traité le cas $E=\emptyset$, je viens de vérifier.

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