Probabilité au lycée [oral capes]

flipflop · September 2016

Ps / je me suis trompé de section

plutôt pour concours et examens)

Bonjour,

Je prépare une leçon de capes sur les probabilités niveau lycée.

Alors en seconde, on défini la notion d'expérience aléatoire de manière informelle, puis la notion d'univers : un ensemble fini $\Omega$.

Ensuite on défini la notion de probabilité.

Une loi probabilité sur $\Omega$ est la donnée d'une application $p : \Omega \mapsto [0, \ 1]$ vérifiant :
$$
\sum_{\omega \in \Omega} p(x) =1
$$
Pour tout $A \subset \Omega$, on note : $p(A) = \sum_{x \in A} p(x)$. On dit que l'application $p : \mathcal{P}(\Omega) \mapsto [0, \ 1]$ est une probabilité sur $\Omega$.

Du coup, avec cette définition. Il faut prouver les formules de base, par exemple :

$$
p(A \cup

= p(A)+p(B)
$$
lorsque $A$ et $B$ sont disjoints.

Alors la je trouve que cette définition est par terrible pour faire la démonstration car elle fait manipuler des sommes sur un ensemble et c'est pas forcément au programme ? (je veux dire $\sum_{i=1}^n$ c'est bon mais $\sum_{x \in X}$ c'est plus délicat à définir).

Donc ma question, si le jury me demande de prouver la formule plus haut, est ce que je dois lui répondre en parlant plus ou moins avec les mains (comme ce que je ferai devant des élèves) ou est-ce que je lui propose une démonstration formelle qui consiste en gros à définir le symbole $\sum_{x \in X}$ pour pouvoir manipuler les choses proprement (bien entendu, je ne ferai jamais ça devant une classe de seconde) ?

Merci d'avance,

[Titre modifié : j'ai ajouté [Oral CAPES] . md]

Philippe Malot · September 2016

Salut,
Tu peux éviter la notation $\Sigma$ en disant (en tout cas c'est ce que je fais en cours) : La somme des probabilités des événements élémentaires (ceux qui correspondent à une seule issue) doit être égale à $1$. Autrement dit, si $\Omega=\{x_1,\dots,x_n\}$, alors on doit avoir $$P(\{x_1\})+\dots+P(\{x_n\})=1\;.$$ On donne de la même manière la somme qui définit $P(A)$ pour événement $A$ quelconque.
Du coup, si $A=\{a_1,\dots,a_p\}$ et $B=\{b_1,\dots,b_q\}$ sont des événements disjoints, cela signifie que les éléments de $A$ sont tous différents de ceux de $B$, et donc que $A\cup B=\{a_1,\dots,a_p,b_1,\dots,b_q\}$, du coup :
$$P(A\cup

=P(\{a_1\})+\dots+P(\{a_p\})+P(\{b_1\})+\dots+P(\{b_q\})=P(A)+P(B)$$
Je me demande cependant ce que tu risques à présenter cette leçon de cette manière ou avec la notation $\Sigma$ ("Vous auriez pu utiliser la notation $\Sigma$ !" ou alors "Croyez-vous vraiment que les élèves de seconde comprendraient cette notation ?")

flipflop · September 2016

Ah oui merci, j'avais même pas pensé a ne pas utiliser $\sum$, en fait ça passe sous silence le truc qui m'a m'ennuyé (tu)

christophe c · September 2016

De mon téléphone :

1) privilégié toujours le précis -formel (il n'y a pas de loi qui dit que tu dois te comporter comme devant des bambins à un oral de capes agrégé)

2) Ne dis surtout pas que tu définis l'expression "expérience aléatoire" (tu te ferais lyncher) même en prétendant le faire "informellement"). Ne parle pas TOUT SIMPLEMENT PAS d'expérience aléatoire (ça n'a rien à voir avec les maths).

flipflop · October 2016

Salut CC,

Pour le 2/ : le titre de la leçon est : Expérience aléatoire, probabilité et probabilité conditionnelle.

Sur le principe, je suis d'accord avec toi :c'est pas des mathématiques. Par contre, comme cette notion fait partie du titre, ça me semble un peu tendu de ne pas donner la "définition" (enfin le truc qu'on trouve dans les livres de lycée et qui ne sert à rien pour poursuivre le cours). Tu en penses quoi ?

Pour le 1/ : Encore d'accord avec toi. Mon soucis ici est que si je prend formellement la définition que j'ai trouvé dans un livre de cours de seconde, on ne peut pas vraiment travailler.

La solution que propose Philippe Malot me semble pas mal, mais je vais faire l'effort, a titre d'exercice, de formaliser plus la preuve. Bon pas maintenant puisque je dois partir travailler !

a finir plus tard ...

Soit $E$ un ensemble fini de cardinal $n$. Soit $p : E \to \mathbb{R}$ une application. On note :
$$
\sum_{x \in E} p(x) = \sum_{i=1}^n p(\phi(i))
$$
Pour toute bijection $\phi : \{1,2,\dots, n\} \to E$. (Note indépendance de la somme du choix de la bijection admis pour l'instant).

Maintenant, soit $A$, $B$ deux événements incompatibles d'un univers $\Omega$. Soit $\phi_{A} : \{1,2,\dots, p\} \to A$ et $\phi_B : \{1,2,\dots, q\} \to B$ deux bijections.

L'application $ \phi : \{1,2,\dots,p+q\} \to Aa \cup B$, défini par :

$\phi(i)=\phi_A(i)$ lorsque $i \in \{1,2,\dots, p\}$ et $\phi(i)=\phi_B(i-p)$ lorsque $i \in \{p+1,2,\dots, p+ q\}$,
est une bijection de $ \{1,2,\dots,p+q\}$ sur $A \cup B$. (a faire)

Alors : $$p(A \cup

=\sum_{x \in A \cup B} p(x) = \sum_{i \in \{1,2,\dots,p+q\}} p(\phi(i))= \sum_{i \in \{1,2,\dots,p\}} p(\phi(i))+\sum_{i \in \{p+1,2,\dots,p+q\}} p(\phi(i))$$
Mais :
$$
\sum_{i \in \{1,2,\dots,p\}} p(\phi(i))=\sum_{i \in \{1,2,\dots,p\}} p(\phi_A(i))=p(A)
$$
et
$$
\sum_{i \in \{p+1,2,\dots,p+q\}} p(\phi(i))=\sum_{i \in \{p+1,2,\dots,p+q\}} p(\phi_B(i-p))=\sum_{i \in \{1,2,\dots,q\}} p(\phi_B(i))=p(B)
$$
ouf, bon j'ai utilisé la lettre $p$ pour la proba et pour l'indice grrr

christophe c · October 2016

De mon téléphone : n'écris pas "définition" et n'écris pas non plus "définition informelle" à propos de l'expression "expérience aléatoire". C'était ça avant tout que je voulais t'écrire.

Étant sur mon téléphone je ne peux détailler mais l'apparition de ces notions est gérée par un dictionnaire typographique très court que je te poste raï d'un PC, qui traduit tout énoncé "snob"** de lycée en énoncé sincère de 5ieme sans changer sa valeur.

** pour faire style "on fait des probas, on n'en est plus à calculer la proportion des girafes dans un zoo"

Balix · October 2016

Je connais pas exactement les modalités de l'oral du Capes, mais si tu dois prouver tout en restant dans les programmes du lycée, bijection , permutation des termes de la sommes, c'est plus dans le programmes.
Si effectivement, tu dois rester au niveau lycée, je te conseille de lire les programmes et les docs d'accompagnement , là t'as des arguments pour dire au jury que ce que tu présentes est conforme.
Je te résume ce que j'en ai compris pour les probas de 2nde :
on suit plus ou moins l'approche historique, pas question de tribus ou de manipulation de familles sommables , mêmes finies.
Une expérience aléatoire est une expérience dont le résultat dépend du hasard et donc peut changer à chaque fois (ça les élèves le comprennent bien, tu parles de lancer de dé ou de pile ou face), on n'a pas les outils pour définir plus proprement.
Dans un premier temps, on observe la stabilisation des fréquences sur un grand nombre d'expériences, avec un beau TD algobox ou tableur. On parle de loi des grands nombres qui dit que pour n très grand , les fréquences de réalisation d'un évènement se stabilisent autour d'une valeur qu'on appellera la probabilité de cet événement. Puis on se demande si on ne pouvait pas prévoir cette probabilité à priori.
On étudie en fait la loi uniforme discrète sur un ensemble fini (ça on le dit pas).
Pour les formules de p(AuB) et autres, tu fais un joli dessin avec des ensembles patates (tu dis diagramme de Venn, ça fait plus sérieux), et tu expliques pourquoi p(AuB) = p(A) + p (B) - p(AnB)

On en pense ce qu'on veut au niveau mathématiques, mais il me semble que les indications dans les docs officielles veulent ça. Comme tu présentes le Capes, t'as plutôt intérêt à au moins en respecter l'esprit.

christophe c · October 2016

@Balix : attention ce que tu viens de décrire est le dada de la partie extrémiste des ipr telle qu'ils propagandent durant leurs visites d'inspection qu'il faut pédagogiquement faire (ils donnent même un nom à ça: "approche fréquentiste pédagogique des probas en seconde". C'est y pas beau).

Mais étant donnée l'invalidité scientifique quasi totale de cette approche je conseille à flipflop de se renseigner si les critères d'évaluation sont les mêmes au capes qu'à "l'école". C'est "pas idiot" de le penser mais c'est loin d'être "sûr". Il y a de nombreux exemples où les ipr disent noir en visite et où les jurys disent blanc aux concours.

flipflop · October 2016

Salut Balix,

J'aime bien ton résumé, merci. L'utilisation du tableur est une très bonne idée pour la présentation (je vais préparer ça).

Pour le côté formel, une fois que l'on a la formule sur les unions disjointes c'est bon, on obtient facilement les autres, présentable en cours sans avoir besoin de la technique de mon autre post.

Mon but était de comprendre comment rendre exploitable les définitions du livre de 2nd que je consulte : c'est un épreuve de maths niveau Bac +5 ... je pense que j'ai le droit de faire un peu de maths et pas juste du marketing B-)-

Bref, faut surement trouver un juste milieu entre les deux points de vue ...

Balix · October 2016

@CC, je parlais pas des inspecteurs, mais des docs officiels, dire que c'est pourri et c'est pas des maths, tu peux te permettre quand t'es installé, pas quand tu présentes un concours d'aptitude au professorat.
Au vu des sujets, je doute que le Capes soit un concours de mathématiciens.
L'idéal c'est de concilier les 2 oui, montrer ce qu'on va présenter tout en montrant qu'on a les connaissances au dessus.

Digression
Après, l'invalidité scientifique de cette approche, ouais ok, mais c'est quand même comme ça que ça a été fait pendant 3 siècles par des mathématiciens qui étaient pas trop neuneus.
Puis des profs de lycée qui maîtrisent la théorie de la mesure , on même si on veut rester sur les probas discrètes, connaissent la définition exacte d'une variable aléatoire qui parle de tribus, je suis pas sur que y'en ai des masses.
Je compte me présenter à l'agreg interne,j'ai jamais fait de probas dans mes études (un peu de dénombrement en TC c'est tout) je me suis cogné le tome 1 d'Ouvrard cet été, ça m'a pris 3 mois, et j'ai pas encore tout pigé en profondeur, faut que je le relise une ou 2 fois encore au minimum. Donc soit on veut faire de l'ultra rigoureux, et on peut pas faire de probas au lycée, soit on fait ce qu'on fait (tout en disant que l'on est pas dans le cadre rigoureux). C'est une sensibilisation au probas, c'est surement mieux que rien (je sais que là tu vas pas être d'accord), si les élèves retiennent qu'on traite des cas "simples", et que si ça devient plus subtil, cela relève d'une théorie bien plus compliquée.
Dans le contexte d'illetrisme numérique revendiqué (c'est swag d'avoir été dernier de la classe en maths, d'ailleurs Villani le dit bien , c'est bizarre, on dirait que il y des classes ou il n'y avait que des derniers ) , c'est une bonne chose d'avoir des gens qui ont quelques connaissances pour ne pas acquiescer à tout et n'importe quoi dès qu'on leur sort 3 arguments avec des chiffres.
Le danger , c'est les gens qui croient avoir compris parce qu'ils savent faire une addition et une division (souvent en stats et en probas) et qui assènent des vérités (car basées sur des chiffres) qui sont en fait des non sens.
En début de carrière, j'avais été convoqué chez mon (petit ) chef d'établissement parce que mes notes étaient trop basses. Monsieur avait fait des "hypermoyennes" et m'avait doctement expliqué que je mettais des notes trop basses. Il a eu de la chance ,j'étais jeune et impressionnable, si on me le refait, on va parler d'échantillon témoin, de fluctuation , de correction du biais du aux options dans les classes, de suivi et de progression pluri annuelle de l'élève et de sa cohorte... ça risque d'être passionnant.
Mon approche, c'est de dire aux élèves qu'on leur donne des clés de compréhension pour ne pas se faire embobiner par le premier charlatan venu, mais qu'on est loin d'en faire des cadors. D'ailleurs pour illustrer les dangers de ces dérives , je les fait travailler sur Sally Clark .

Par ailleurs, je ne comprends pas que ce débat légitime quant à l'enseignement des probas et des stats n'apparaisse quasi jamais au niveau de la géométrie. Si on suit la même démarche, pour faire de la géométrie, il faudrait s'être cogné avant une grande partie de la théorie de l'algèbre linéaire , les espaces affines, les matrices de rotation et tutti quanti. On ne parle plus d'angle avant d'avoir défini les classes d'équivalences , on ne parle pas de droite avant d'avoir défini les sev de dimension 1....

flipflop · October 2016

Salut,

Alors voilà. J'ai préparé un petit programme sur Xcas pour la simulation de l'expérience aléatoire suivante (d'après un document trouvé sur le site du capes) :

On lance $3$ dés équilibrés et on note $S$ la somme des valeurs des faces qu'on trouve.

de_():={
  retourne alea(6)+1;
  }:;
de_3():={
  // simulation de la variable aléatoire somme de trois de équilibrés
  return de_()+de_()+de_();
  }:;

experience_aleatoire(n):={
  // simulation de trois dé et frequence d'apparition de n.
  local k,somm,nombren;
  nombren := 0;
  pour k de 1 jusque 1000000 pas 1 faire
    somm:=de_3();
    si somm == n alors nombren:=nombren+1 fsi;
  fpour;
  retourne evalf(nombren/1000000,5); 
  }

La question est : est-ce que la probabilité de trouver $9$ et plus petite que celle de trouver $10$.
$f_9=0.11565$
$f_{10}=0.12516.$

Donc ici on peut répondre oui en première approche, sans trop ce prendre la tête. Attention tout de même !!!

Maintenant, si l'on pose la question : est-ce que la probabilité de trouver $10$ et plus petite que celle de trouver $11$.
$f_{10}=0.12516.$
$f_{11}=0.12469$

C'est plus tendu tout de même, et on peut parler d'intervalle de fluctuation à 95 % ... hum il y a un petit soucis là

Qu'en pensez vous, c'est une bonne application des logiciels de calculs ? Qui permet de mettre un peu en lumière les problèmes de simulation.

aléa · October 2016

Balix a écrit:

Après, l'invalidité scientifique de cette approche, ouais ok, mais c'est quand même comme ça que ça a été fait pendant 3 siècles par des mathématiciens qui étaient pas trop neuneus.

C'est un curieux argument d'autorité.
Que dirait-on si en biologie on enseignait le point de vue des savants du 19e siècle ? On dirait qu'il s'agit d'un enseignement dépassé.

Balix · October 2016

@Aléa : Les implications ne sont pas tout à fait les mêmes.

C'est pas un argument d'autorité, sur des "bases" peu rigoureuses, les mathématiciens avant Kolmogorov ont quand même construit une théorie qui tient la route dans les cas pas trop tordus (ceux qu'on étudie au secondaire notamment) , et qui est cohérente et compatible avec la théorie de Kolmogorov (théorie qui sera peut être considérée comme peu rigoureuse et obsolète dans quelques siècles, enfin si y'a encore des gens pour faire des maths...)
Les biologistes et naturalistes, c'est quand même pas pareil, certaines théories ont carrément été réfutées et remplacées par d'autres (et parfois plus par effet de mode ou par l'influence d'un représentant charismatique que par de réelles preuves scientifiques), théories qui souvent sont incompatibles entre elles. C'est aussi souvent le cas dans les sciences molles sociales, psycho, sociaux, eco ...

En gros , je suis pas d'accord avec toi pour mélanger les torchons et les serviettes (:D

Balix · October 2016

@ Flip flop
Je sais pas si ça tient la route pour l'Oral du Capes, mais je présentais ton exemple en classe avec 2 dés.
Première question : probabilité de chacune des sommes ? donc 1/ 11 pour la moitié de la classe
Deuxième question : Simulation par un algorithme. Détermination de l'intervalle de confiance (c'est confiance il me semble dans les progs du Lycée quand tu te sers de la stabilisation des fréquences pour en déduire un encadrement de la probabilité)
Troisième question : Recalcul de la probabilité théorique avec un arbre (chiant, 36 branches) ou un tableau à double entrée.

Après, je te dis, je suis pas sur que ça colle pour le Capes, c'est adapté à des lycéens. Tu peux faire la même chose sur ton exemple , mais faut voir si calculer les probabilités théoriques derriere est pas trop pénible (à priori non, si on s'y prend bien à faire son arbre ou son tableau).
Perso, je trouve ton exemples pas mal (justement si tu peux mettre de l'algo pour la simulation, de l'intervalle de confiance et un peu de théorie, ça balaye bien), mais je ne suis pas jury de Capes.

flipflop · October 2016

Pour le calcul théorique : alors c'est chiant avec $3$ dés sans bagage théorique ... sinon, il suffit de considérer les fonctions génératrices :

$1/216 * (X+X^2+...+X^6)^3$ : le coefficient de $X^k$ est la proba de $S=k$ ... facile avec xcas ...

$X^{18}+3\cdot X^{17}+6\cdot X^{16}+10\cdot X^{15}+15\cdot X^{14}+21\cdot X^{13}+25\cdot X^{12}$
$+27\cdot X^{11}+27\cdot X^{10}+25\cdot X^{9}+21\cdot X^{8}+15\cdot X^{7}+10\cdot X^{6}+6\cdot X^{5}+3\cdot X^{4}+X^3)$

On voit que : $P(S=10)=P(S=11)$ ... ce qui répond à ma deuxième question plus haut ...

[merci Félix Oui faute de frappe]

Félix · October 2016

Il doit y avoir une petite faute de frappe : 1/216 et non 1/226
et X² ?

Balix · October 2016

Là tu me parais pas mal du coup, tu donnes un moyen de trouver les résultats en lycée (sans faire les calculs, t'expliques la démarche précise) et tu enchaines sur tes fonctions génératrices (en faisant gaffe à bien préciser les hypothèses d'utilisation) pour faire la démo.

flipflop · October 2016

Merci Balix !

D'un point de vue pédagogique (pour les élèves plus évolués), je trouve ça bien que les évaluations numériques soit très proches et montre une utilisation d'intervalle de confiance, du nombre de simulation que l'on doit faire etc

Très sympas ce problème !

christophe c · October 2016

Pardon pour la réponse tardive

Balix a écrit:

Après, l'invalidité scientifique de cette approche, ouais ok, mais c'est quand même comme ça que ça a été fait pendant 3 siècles par des mathématiciens qui étaient pas trop neuneus.

Euuuuu, il y a peut-être malentendu!! Je ne comprends pas ce que tu veux dire. Il est bien évident que l'approche "fréquentielle" (ou fréquentiste, je ne sais plus quel mot on dit) n'a jamais été celle même des ancètres.

Comme tu dis, "ils n'étaient pas neuneu", donc n'auraient pas fait cette grave faute. La notion d'approche fréquentiste est une pure débilité pédagogo*** de non matheux des années récentes, généralement des "ipr littéraires et psychologues", qui se sont crus malins de sortir cette histoire, qui ne serait qu'un gag, s'ils n'étaient pas "ipr". Je suis loin d'être sûr qu'au capes tout le monde ignore cette faute et plonge comme "un seul homme" dans les modes (je crois que le jury est plus varié que ça, même s'il s'est beaucoup dégradé ces derniers temps avec sa volonté de "se rapprocher" de soit-disant son rôle de recruteur de "bons fonctionnaires" et non de profs de matières spécifiques)

*** Peut-être parlais-tu d'autre chose? Donc je cite le passage précis auquel "j'ai peur que tu aies répondu" mais sans en être sûr:

balix citant eduscol a écrit:

Dans un premier temps, on observe la stabilisation des fréquences sur un grand nombre d'expériences, avec un beau TD algobox ou tableur. On parle de loi des grands nombres qui dit que pour n très grand , les fréquences de réalisation d'un évènement se stabilisent autour d'une valeur qu'on appellera la probabilité de cet événement. Puis on se demande si on ne pouvait pas prévoir cette probabilité à priori.

[small]Pour te rendre justice quand-même, je tiens à préciser que tu ne mens pas en disant que le mot "observer" figure (même si c'est incroyable) dans les docs... de maths. Il fait d'ailleurs partie d'une liste de 6 mots (je ne connais plus par coeur la liste) qui se veulent un ordre politique et dont la façon de les brandir par les textes fait froid dans le dos (c'est un peu comme si ces textes de loi disaient: "il est interdit strictement de mettre plus de 10% de maths dans vos contenus et d'ailleurs afin de bien solidifier cette instruction, nos disons de quoi doit être composée la part des 90% restant". Il est aussi important de souligner que le processus pédagogique que tu décris est "honorable" en physique (et surtout en SVT) et que signaler qu'il n'a strictement rien de mathématique n'en fait pas un truc infréquentable. Mais son honorabilité physique n'en fait pas quelque chose que les pédago auraient dû considérer comme légitimant une inclusion dans les programmes de maths. S'ils l'ont fait, c'est très exactement dans la même optique que celle qui a supprimé l'épreuve de maths au brevet (dixit journal Le Parisien), prétendant "inclure des maths" dans une épreuve de science plus globale. Autrement dit, c'est "par la force brute et sans légitimité intellectuelle"[/small]

Au cas où tu ne le saurais pas, à la question : pouvait-on prévoir cette probabilité à priori? La réponse mathématique est non et elle est sans appel.

Mais comme je l'ai dit, tu parlais peut-être d'autre chose.

Félix · October 2016

Bonjour,

christophe c : "Il est bien évident que l'approche "fréquentielle" (ou fréquentiste, je ne sais plus quel mot on dit) n'a jamais été celle même des ancètres."

Wikipédia, article Histoire des probabilités, au sujet de Cardan, qui écrivit à la Renaissance le premier véritable traité des probabilités :
"Cette approche utilise l'intuition d'un comportement à long terme, c'est-à-dire correspondant à un sentiment empirique de la loi des grands nombres, elle est qualifiée de fréquentiste".
Fermat, Pascal, Huygens... Wiki est à leur sujet muet sur ce point.
Puis Wiki sur Jacques Bernoulli, Ars Conjectandi, 1713 : "Son traité contient également une description de l'estimation d'un phénomène aléatoire sous forme de fréquences"

Bien sûr, on ne doit pas prendre un article de Wiki pour vérité absolue, mais comme indication sérieuse, comme piste de départ, pourquoi ne le pourrions-nous pas ?
Il semble donc aventureux de trancher d'une affirmation péremptoire la question de l'existence historique, ou non, de l'approche fréquentiste.
Bonne journée.

aléa · October 2016

Balix a écrit:

@Aléa : Les implications ne sont pas tout à fait les mêmes.
....
En gros , je suis pas d'accord avec toi pour mélanger les torchons et les serviettes.

Qui décide de la gravité des implications ?
Si on va par là, dans le quotidien, ce n'est pas très grave de croire que la terre est plate.
Deux domaines scientifiques ne sont jamais les mêmes, par définition, donc effectivement on peut toujours arguer qu'une comparaison est abusive.
Mais, justement, au 21ie siècle , et dans le cadre d'un débat sur l'enseignement des mathématiques, dire "ce point de vue est admissible (sous-entendu comme point de vue mathématique), parce que c'était le point de vue d'un mathématicien", c'est abusif, parce qu'il y a un glissement de sens et un anachronisme. Le mathématicien tel qu'on l'entend aujourd'hui n'existe pas vraiment au 17e et au 18e siècle; les biographies disent mathématicien-physicien, disons que ce sont des scientifiques qui essaient de comprendre le monde.
Il faudra attendre la crise des fondements au 19e siècle pour que les disciplines se séparent vraiment, et que le rapport au fondement des objets se précise.

Pour ma part, je pense que ce n'est pas raisonnable, au 21e siècle, de construire dans les esprits adolescents une représentation des mathématiques qui les maintient dans le flou qui prévalait il y a quelques siècles.
Flou dans lequel de grands esprits arrivaient tout de même à faire de bonnes choses, et étaient assez sages pour que leurs ignorances ne les amènent pas trop souvent à des conclusions erronées. Mais les scientifiques de demain (*) ne sont pas tous les personnalités d'exception que tu cites. C'est leur mettre un fil à la patte que de leur laisser penser que l'à peu près est possible.

Tu demandes pourquoi on est plus tolérant à l'égard de la géométrie. Là dessus, je ne suis pas d'accord non plus. L'essentiel de la géométrie classique se base sur une axiomatique simple, qui n'est sans doute pas exposée en cours, mais pourrait l'être aisément, et elle parle bien d'objets mathématiques.
Ce n'est pas le cas de l'enseignement des probabilités et statistiques dans le secondaire, qui ne parle absolument pas d'objets mathématiques. C'est un discours sur le réel où l'on emploie des mots du vocabulaire mathématique, mais il n'y a pas du tout de construction mathématique attachée. Dans le secondaire, une probabilité est une application qui à une phrase associe un nombre.

(*) Je sais bien que tous les élèves de lycée ne deviendront pas mathématiciens/scientifiques. Il faut aussi penser à ceux qui ne deviendront pas scientifiques, dit on. On pense tellement à eux (même en section S!) que ça devient presque une insolence de penser à la formation des scientifiques.

blaise · October 2016

Les probabilités "naïves" enseignées en collège et lycée sont sous-tendues par une axiomatique claire :

On appelle "univers" un ensemble fini $\Omega$ sur lequel on va considérer des éventualités, qui sont des éléments de $\Omega$, et des événements, qui sont des parties de $\Omega$. On définit une probabilité (que l'on appellera souvent par abus de langage "la" probabilité) comme une application de $\mathcal{P}(\Omega)$ dans $[0,1]$ telle que $p(\Omega)=1$ et $p(A \cup

= p(A)+p(B)$ pour tous événements $A$ et $B$ disjoints .

On peut l'enseigner de façon plus ou moins formelle (et là c'est un choix pédagogique) mais c'est la même chose pour la géométrie.

*modifié sur la suggestion de flipflop*

flipflop · October 2016

Salut Blaise,

Une application de $\mathcal{P}(\Omega) \to [0,1]$ ? non ?

1528 · October 2016

@blaise

J'aimerais bien savoir comment tu peux parler ne serait-ce qu'une d'une variable aléatoire de loi normale dans ton cadre.

Et je ne parle pas des théorèmes limites...

Edit : message modifié suite à la modification du message de blaise.

christophe c · October 2016

@Félix: attention ce n'est pas l'expression "...fréquentielle..." dont je parle. C'est pourquoi j'ai pris soin de citer le passage de balix concerné.

blaise · October 2016

@flipflop : oui.. je corrige, merci !

blaise · October 2016

@1528 : sur le côté "contradictoire" - je te crois sur parole, mais comme tu n'avances pas d'arguments, je ne peux pas y répondre.

De toutes façons je ne voulais pas dire qu'il fallait présenter les choses de manière formelle, mais c'est le cadre qu'on peut avoir en tête. Il s'agit d'un modèle $(\Omega,\mathcal{A},P)$ où $\Omega$ est fini, ce qui simplifie les choses : la $\sigma$-algèbre naturelle est l'ensemble des parties de $\Omega$ et on n'a pas besoin de $\sigma$-additivité.

Les exercices de probablité fini (de type dés, cartes, etc.) peuvent je pense pour la plupart entrer dans ce cadre. Après, je n'ai pas prétendu pouvoir démontrer le théorème central limite à des élèves du secondaire, et il est clair que les lois continues ne vont pas entrer dans ce cadre. Quant à la partinence d'enseigner ces deux points dans le secondaire, je n'en suis pas vraiment convaincu, mais c'est une autre histoire.

Balix · October 2016

@ Alea : Je voulais juste dire que les théorie des probabilités d'avant Kolmogorov sont cohérentes avec la théorie actuellement reconnue comme valide et rigoureuse (je pense que sinon elles seraient pas enseignées ) , alors que la terre est plate et la terre est ronde ça me parait moins compatible.

@1528 : Par ailleurs, j'aimerais bien savoir comment tu peux parler ne serait-ce qu'une d'une variable aléatoire de loi normale dans ton cadre.

Donc seuls des Bac + 4 ou 5 options probas pourraient utiliser la loi normale ? ça laisse pas grand monde.

@CC : Tu as raison, il y a 2 choses , je me suis mal exprimé sûrement, je voulais dire
1) les anciens ont fait des probabilités sans définir de bases rigoureuses , mais ce qu'ils ont fait est cohérent.
2) Les docs officiels incitent à présenter la probabilité d'un événement comme limite des fréquences de réalisation de cet événement (approche fréquentiste). Une fois qu'on a défini le concept , on se demande si lorsqu'on a des renseignements sur l'expérience, on ne peut pas calculer les probabilités à priori (approche bayesienne), c'est comme ça que j'ai compris et c'est ce que je disais à flipflop.
J'ai peut être compris de travers , mais il me semble que l'idée forte qu'ils veulent faire souligner est le lien entre statistiques et probabilités.

cc a écrit:

pouvait-on prévoir cette probabilité à priori? La réponse mathématique est non et elle est sans appel.

Là par contre , je ne te suis plus. On peut pas prévoir que si on lance un dé un grand nombre de fois, la fréquence d'obtention de 6 va se stabiliser autour de 1/6 ?

@Flipflop : On t'a bien pourri ton fil :-D, c'est bon signe, si personne ne te reprend sur ta leçon, c'est que personne n'y a vu de grosse faille (ou que tout le monde s'en fout et préfère polémiquer, mais c'est pas le genre de ce forum [size=x-small]CC est là, attendons l'arrivée de Fin de Partie[/size])

1528 · October 2016

@blaise. J'ai modifié mon message suite à la modification du tiens. Tu as corrigé la contradiction.

@balix. On ne peut pas traiter le sujet mathématiquement sans parler d'univers infini, de tribu etc. Tu ne peux rien contre cela. La conclusion est effectivement que cela ne devrait pas faire partie du programme de mathématiques du lycée. Comment veux-tu que les élèves comprennent ce que sont les mathématiques si on ne leur fait pas de preuves et si on les bombarde d'objets qu'ils ne peuvent aborder de manière mathématique ?

Tu noteras d'ailleurs que le programme de probabilités en classe prépa scientifique est beaucoup moins ambitieux. On n'a pas encore renoncé aux maths en prépa...

Tu noteras aussi que l'on peut très bien initier aux statistiques en restant sur un univers fini. Ça reste un sujet délicat mais on peut donner les idées les plus importantes sans faire appel aux théorèmes limites.

blaise · October 2016

@flipflop : pour tenter de répondre à ta question initiale (plutôt que de polémiquer inutilement sur les mérites d'enseigner l'addition à des élèves qui ne maîtrisent *même pas* les axiomes de Peano) :

Comme $\Omega$ est un ensemble fini, rien ne t'empêche pas numéroter les éléments : $\omega_1,...,\omega_n$. De même, toute partie $A$ de $\Omega$ s'écrit $A=\{ \omega_{i_{1}} , ... , \omega_{i_{p}} \}$ - ce qui devrait permettre de manipuler des signes somme plus simplement (ou des $+....+$ dont je pense qu'il sont tout aussi pertinents le jour de l'oral du CAPES, mais ce n'est que mon avis).
Ou alors, plus simplement, tu explique "avec les mains" que l'addition est commutative( c'est un fait bien établi !) et donc le signe $\sum_{\omega \in \Omega}$ a bien du sens.

flipflop · October 2016

Vous pouvez polémiquer, y' a pas de soucis. Mais essayez s'il vous plait de ne pas faire fermer le fil (:P)

Pour cc : pour revenir à la notion d'expérience aléatoire, dans son livre Probabilités 1 (cassini) Jean Yves Ouvrard prend $5$ pages pour expliquer cette notion, bien entendu il n'y a pas de définition mais une explication. Tu penses qu'il n'aurait pas du prendre le temps d'écrire ça ?

D'un autre côté, dans l'exemple que j'ai traité : je dis je lance trois dés et je fais la somme. Là les élèves comprennent bien ce que je fais et on peut a partir de cette situation les faire réfléchir sur des petits exemples. Si j'oublie cette notion d'expérience aléatoire, je dois dire quoi ?

On considère : $\Omega:=\{ 1 , \dots, 6\}^3$ que l'on muni de la tribu des parties et de la probabilité uniforme.

Calculer la probabilité de l'ensemble $A := \{ (w_1,w_2,w_3) \in \Omega, \ w_1+w_2+w_3=10 \}$

a mon avis, le soucis étant que pour un élève classique, ça va être complexe à comprendre, non ?

En fait, je vais plutôt considérer que les dés sont lancés en même temps. Du coup, je considère l'action de $\mathfrak{S}_3$ sur l'ensemble
$\Omega$ définie par $\sigma \star (w_1,w_2,w_3)=(w_{\sigma(1)},w_{\sigma(2)},w_{\sigma(3)})$ est je considère la probabilité uniforme l'ensemble des orbites X:-(

Philippe Malot · October 2016

Bonjour,
Voici une lecture intéressante et pour ainsi dire obligatoire : http://revue.sesamath.net/IMG/pdf/l_article_de_daniel_perrin_en_pdf.pdf
Des articles et commentaires intéressants sur Images des mathématiques : (on peut y lire un certain christophec dans les commentaires :-D)
http://images.math.cnrs.fr/Pourquoi-enseigner-les.html (il y a plusieurs autres articles très importants dont les liens sont donnés sur cette page)
On se rend compte que même d'éminents mathématiciens ont du mal à comprendre comment on peut faire des mathématiques (ou si ce sont bien des mathématiques que l'on fait) avec des définitions bancales voire incompréhensibles.
EDIT : http://images.math.cnrs.fr/Mathematiques-post-modernes.html (à lire, ainsi que les commentaires)

Balix · October 2016

@1528 :Je suis d'accord avec toi, mais c'est comme l'a dit Alea, on fait au lycée des maths pour ceux qui ne deviendront pas scientifiques , une grosse partie des élèves ne feront plus ou presque de maths après, je pense que c'est pour ça qu'on essaie de leur donner des notions d'objets mathématiques qui semblent importants (en fait on fait à peu près avec les probas stats au collège lycée ce que font les collègues du primaire en géométrie , on introduit l'objet sans grande rigueur pour les familiariser avec).
En prépa, on suppute que les élèves qui y sont feront encore des maths derrière , donc on peut se permettre de prendre le temps de bien faire les choses de manière rigoureuse.

@Alea : Comment tu définis rigoureusement tout en restant compréhensible un point , une droite , un angle, une longueur , un carré à des sixièmes ?

blaise · October 2016

@flipflop : tu es sûr de vouloir munir ton $\Omega$ de la probabilité uniforme ?

Par ailleurs, quel est l'intérêt de prendre 3 dés plutôt que 2 ?

flipflop · October 2016

Oui, c'est la probabilité uniforme, il y a 216 issues et chacune à la probabilité de ${1 \over 216}$, non ?

christophe c · October 2016

balix a écrit:

Là par contre , je ne te suis plus. On peut pas prévoir que si on lance un dé un grand nombre de fois, la fréquence d'obtention de 6 va se stabiliser autour de 1/6 ?

Non, on ne peut pas mathématiquement le prévoir.

C'est une "loi de la Nature" constatée et inexpliquée (jusqu'à la naissance de la MQ qui a réussi à impliquer ça en admettant des lois "probabilistes" totalement différentes de celles qu'on a l'habitude de voir. Autrement dit, c'est PARCE QUE la MQ impose "autre chose" qu'il en émerge cette constatation) qui n'a pas plus de fondement matheux que la gravitation.

1528 · October 2016

@balix

Comme je l'ai dit, on peut introduire les notions fondamentales (intervalle de confiance pour un paramètre, test statistique, erreur de première et de seconde espèce) dans le cadre fini (en se limitant par exemple à la loi binomiale). Cela fait un programme chargé et sophistiqué (mais bien moins que le programme actuel !) mais traitable de manière élémentaire.

Si on veut vraiment faire des choses non mathématiques au lycée... alors il faudrait qu'il soit clairement identifié que ce sont des choses non mathématiques. Là il y a une grosse hypocrisie (déjà signalée mainte fois) : en cours de maths au lycée on ne fait essentiellement plus de math.

Espérer que le supérieur pourra corriger tout cela est assez illusoire. Pour commencer, il y a beaucoup d'erreurs d'aiguillage. Comme les lycéens ne font pas de mathématiques (essentiellement), comment pourraient-ils savoir s'ils ont envie des les étudier dans le supérieur ? Par ailleurs, on constate en pratique qu'il est extrêmement difficile de faire comprendre aux étudiants en licence ce que sont les mathématiques. Pour eux, c'est une discipline dénuée de signification où il faut essayer d'appliquer des recettes et reproduire des corrections d'exercices. Ce n'est pas surprenant : c'est ce qu'ils ont appris au lycée, conformément aux directives officielles. Bien sûr, certains profs du lycée résistent, mais c'est difficile. Faut-il dire quasiment en permanence "là, on ne fait pas de mathématiques" !?

C'est vraiment un gâchis. Sous prétexte que tout le monde ne fait pas de mathématiques ensuite, on ne fait plus de mathématiques du tout, mais sans le crier sur les toits. Officiellement, tout va bien !?

flipflop · October 2016

Pour les 3 dés.

En fait, numériquement $P(S:=9)$ et $P(S:=10)$ sont très proches (et $P(S:=10)=P(S:=11)$) . Du coup, on a un peu de mal à répondre à la question.

Et on peut embrayer sur une prise de décision avec un intervalle de confiance.

Je vais refaire un post avec les détails Xcas pour voir si je dit pas de bêtise.

Balix · October 2016

@CC , fais la moi plus lentement par MP quand t'auras le temps (sans trop d'acronymes , MQ j'ai pas suivi non plus), parce que j'ai rien pigé.

blaise · October 2016

@flipflop : oui c'est la probabilité uniforme, oublie ma question, j'avais mal lu :)o

Foys · October 2016

Salut à tous!
Je rappelle les FAITS suivants, méconnus (trop de gens sont nombrophobes et calculophobes ce qui les fait passer à côté de la compréhension de trucs simples qui du coup passent pour des miracles):
Soit $E=\{p,f\}^{10000}$ l'ensemble de tous les mots différents de 10000 caractères écrits avec les lettres $p$ et $f$. Il y en a $2^{10000}$ ce qui fait beaucoup (un nombre à 3000 chiffres... le nombre d'atomes de l'univers est très petit à côté).
Soit $F$ l'ensemble de tous les $u\in E$ tels que le nombre de $"p"$ apparaissant dans $u$ est compris entre $4400$ et $5600$ (entre $44%$ et $56%$ pour l'amateur de pourcentage). Alors un calcul exact (réalisé avec PARI GP: il utilise des entiers en précision arbitraire) montre que $$1-\frac{card(F)}{card (E)} \leq \frac{2.65}{10^{33}}$$

Autrement dit la très très très [size=x-large]ECRASANTE[/size] majorité des éléments de $E$ est en fait dans $F$.

Bon donc si on fabrique de toutes pièces un élément de $E$ avec un procédé délibérément maladroit (ex: pièces de monnaie, etc. je laisse le lecteur élaborer les scénarios qu'il souhaite), pourquoi on est en présence d'un miracle si l'élément obtenu évite $E\backslash F$ ???

Ah oui soit aussi $F'$ l'ensemble des $u$ de $E$ tels que le nombre de $"p"$ de $u$ soit compris entre $1300$ et $2500$. Le naïf va se dire "ah mais ça fait 1200 valeurs du nombre de $"p"$ différentes, exactement comme pour $F$. Donc il est également plausible de tomber dans $F$ que dans $F'$": s'il vous plaît, relisez ce qu'il y a ci-dessus :-( $\frac{card(F)}{card(F')}$ est un nombre gigantesque.

Balix · October 2016

Des articles et commentaires intéressants sur Images des mathématiques : (on peut y lire un certain christophec dans les commentaires grinning smiley)

D'ailleurs il se tient bien là bas, il n'a pas dit qu'on n'enseignait plus les maths dans le secondaire.

samok · October 2016

Tu ressembles de plus en plus à cc sieur Foys en terme de forme : police, couleur.

Vos grosses polices et vos couleurs ne passeront pas sur moi. Je suis démagogo [edit] pédagogo je connais cette technique, sauf que je l'utilise à la loyale, pas comme vous.
La grosse différence entre vous (cc et toi) et moi, c'est que je ne vous suis pas, car vous êtes contradictoires l'un l'autre (je donnerai des sources quand cc donnera ses sources historiques, bien entendu : à la loyale.)

S

Foys · October 2016

samok a écrit:

Vos grosses polices et vos couleurs ne passeront pas sur moi

Fontaine, je ne boirai pas de ton eau...

flipflop · October 2016

Salut Foys,

Je ne comprend pas trop ton message, que veux tu dire ? Enfin, plutôt pourquoi cette remarque ?

Pour la réponse au naïf, c'est juste que la probabilité est uniforme sur $\Omega:=\{ pile, face \}^{10000}$ mais pas sur $\{0,1,2 \dots, 10000\}$.

Foys · October 2016

Bonjour flipflop:
Le but de ce message était de répondre au propos qui dit que les phénomènes physiques considérés habituellement comme des applications des énoncés "fréquentistes" de la théorie des probabilités, seraient par nature profondément inintelligibles (en gros personne ne pourrait expliquer pourquoi quand on lance un "grand" nombre de pièces la différence entre la proportion de piles et un demi est "petite"). A cette fin, je parle dans mon message d'un cas très particulier de la loi faible des grands nombres (et dont j'ai le sentiment qu'il est éclairant).

christophe c · October 2016

@flipflop :-D : foys a une excuse, il fait écho à un fil déjà bien fourni où une problématique très proche a déjà donné bien des débats. Et t'inquiète, les calculophobes et les nombrophobes évoqués par foys forment un ... singleton: {cc} :-D

A noter, que je pourrais mal le prendre X:-( car foys semble croire que ma calculophobie fait de moi un gars qui ressent mal les ordres de grandeurs alors que j'ai un instinct tout à fait aiguisé, au contraire, pour ça (qui compense ma dyscalculie).

Je réponds donc à foys:

1) Je reformule l'argument de foys: parmi toutes les suites u de 1000 éléments de {rouge; vert} presque toutes vérifient $r(u)/v(u) \in [0.99, 1.01]$. Il n'est [size=x-large]DONC[/size] pas étonnant prévisible d'observer, quand on lance une pièce de monnaie ordinaire 1000 fois de suite en secouant un gobelet avant dans lequel se trouve la pièce qui sera lancée, que nombre de pile divisé par nombre de face soit proche de 1.

2) Je ne sais pas pourquoi foys s'obstine depuis des lustres, dans ce paragraphe des débats entre nous, à sembler contester (car il ne le conteste pas vraiment tout en le contestant) aux yeux des lecteurs que son "donc" n'est pas un "donc" mathématique :-S

Voilà, flip flop, j'espère t'avoir éclairé sur cet apparté entre foys et moi et il corrigera s'il estime infidèle la traduction que j'en ai fait

A noter que foys avait écrit "pas étonnant" et que c'est moi qui ai barré et écrit "prévisible". En effet, son "pas étonnant" ne contient pas assez d'engagement scientifique et de toute façon il voulait vraiment dire prévisible ou prédictible.

Précision: je sais que beaucoup (qui n'ont pas les idées claires sur la frontière entre la partie maths et la partie "SVT" de la science) peuvent se sentir perplexes face à l'affirmation qui va suivre, mais je leur demande de bien y réfléchir: les convergences observées des fréquences vers les probas théoriques lors des répétitions d'expériences est une loi de la Nature*** (et n'a aucun fondement mathématique).

La perplexité peut venir du fait que les enseignants pourraient se demander quel incroyable vice peut développer la Nature pour satisfaire l'enseignant de seconde qui exécute devant ses élèves un begin a:=0; for i:=1 to 1000000 do if random(10)>4 then a:=a+1 else rienfaire done; afficher a end avec le pc du bureau de la classe en allant, telle une entité élastique, perturber de son fluide magique les circuits internes dudit pc. Et bien justement, profitez de ce très précieux exemple pour revisiter vos approches de la notion de Nature

*** un constat souvent fait et devenu postulat physique pour être plus précis.

christophe c · October 2016

foys a écrit:

seraient par nature profondément inintelligibles

"pas étonnant"; "profondément inintelligibles" :-D Mais qui a dit ça?

Ne dis-tu pas plus exactement qu'ils sont prédictibles (ou encore prévisibles)?

Foys · October 2016

Ca a été abordé plus haut il me semble mais soit $T$ un ensemble fini, $n\in \N$, si $(i,a,b)\in \{1,...,n\}\times T\times T$ soit $\tau_{a,b}\in \mathfrak S_T$ la transposition de $T$ échangeant $a$ et $b$ (l'identité si $a=b$) et $f_{i,a,b}$ l'application bijective qui à $x\in T^n$ associe le $n$-uplet $(y_k)_{1\leq k \leq n}$ tel que $y_k=x_k$ si $k\neq i$ et $y_k =\tau_{a,b}(x_i)$ si $k=i$.

Bon quelles sont les mesures de probabilité sur $T^n$ invariantes(*) par toutes les applications $f_{i,a,b}$ quand $(i,a,b)\in \{1,...,n\}\times T^2$? Il n'y en a pas beaucoup(**).
Par ex dans un jeu avec des dés on pourrait à tout moment(***) réétiqueter les faces du dé sans dénaturer le jeu...

[size=x-small]
(*) une mesure de probabilité $\mu:\mathcal P(T^n)\to [0,1]$ est dite invariante par $g:T^n\to T^n$ si $\mu(g^{-1}(E))=\mu(E)$
pour tout $E\in \mathcal P(T^n)$
(**) Il n'y en a qu'une seule: l'identifier (exo)
(***)Sauf bien sûr entre le moment où le dé a été lancé et celui où son résultat est pris en compte. On va pas tricher non plus :-D[/size]

christophe c · October 2016

C'est assez étonnant, et je ne suis même pas sûr que tu me répondais à moi, que tu développes comme ça tout plein d'artillerie math pour "lutter" contre le fait qu'un truc n'est pas mathématique :-S , :-S

Je te raconte donc une histoire très simple:

-Lea dit à Bil: "donne-moi une pièce, enfin non, plutôt garde-la". Bil s'exécute.

-Bil "je fais quoi maintenant"

-Lea "lance-la 1000 fois, je te parie qu'elle va tomber toujours sur pile".

On dirait que tu essaies d'expliquer que tu vas pouvoir mathématiquement faire disparaître les adverbes (ici par exemple "presque") entre "est" et "sûr" dans "Bil est presque sûr que Lea va perdre"

Encore une fois, j'insiste, il n'y a pas de fondement mathématique (au sens d'argument, je ne parle pas d'axiome) au fait qu'on ne constate pas que toutes les pièces du monde, tous les objets du monde s'abonnent automatiquement à "face" s'ils tombent la première fois sur "face", par exemple. Ou au fait qu'ils "dansent". Bref, quand tu constates que la Nature offre des apparences qui sont bien décrites par des calculs de probas, tu le constates, [small](et éventuellement tu peux faire comme beaucoup de gens, en tirer un postulat physique que c'est "dans la nature des choses matérielles" de se comporter ainsi).[/small] . Tu ne peux pas dire "je pouvais le prédire, car les maths m'enseignaient que ça allait arriver".

Foys · October 2016

Ca ne se voit pas sur le foum mais je rédige lentement (10 minutes pour quelques lignes ce n'est pas rare) d'où un certain décalage; je tentais d'expliquer pourquoi il est pertinent de mettre des mesures produits sur les ensembles de tirages.

Une fois digérées ces histoires de tailles d'ensembles, j'ai l'impression que tu me dis qu'il est excessif, voire carrément erroné d'employer le mot "prévisible" pour qualifier l'échec du tireur dans l'expérience qui va suivre plus bas:

On est en plein air, met un bandeau sur les yeux du sujet, on lui fait faire plusieurs tours sur lui-même, on lui donne un fusil et on lui demande d'abattre un drone de 20 cm de large situé à une distance d'environ 50 mètres.

les expériences de proba usuelles sont du même genre...

Probabilité au lycée [oral capes]

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