Produit matriciel

C'était une fausse bonne idée.
La récurrence est simple à rédiger.
Comme pour le calcul de $D^k$.

Bonjour,

On calcule $N^2=N.$ Puis la récurrence : $N^p = N$ pour tout entier $p$ non nul. Pour $p=1$, c'est vrai. On suppose $N^p=N$ et on calcule $N^{p+1} = N^p N = N N = N^2 = N.$ Est-ce si difficile comme récurrence ?

Oui je trouve que la récurrence est de trop

Il faut te débarasser de ce genre de préjugé faux. Sans récurrence on ne peut même pas être sûr que tout nombre entier qui n'est pas pair est suivi par un nombre qui est pair.

Bonjour,

Démontre que $N^p = N$ pour tout $p$ non nul. Commence par calculer $N^2.$
Démontre que $D^kN = N$ pour tout $k$ entier. Commence par calculer $DN.$
Que dire de $ND^k$ pour tout $k$ entier ? Commence par calculer $ND.$
Vérifier que $P^{-1}$ est bien l'inverse de $P.$
Calcule $P^{-1}AP.$ Ouvre les yeux. Comment s'écrit $P^{-1}AP$ en fonction de $D$ et $N$ ?
Les matrices $D$ et $N$ commutent-elles ?
Révise la formule du binôme de Newton.
Calcule $(D+N)^k$ pour tout $k$ entier impair.
ou variation (plus facile) :
Calcule $(D+N)^k$ pour tout $k$ entier. Commerce par calculer $(D+N)^2.$
Conclure.

Dans certains ouvrages on peut voir l'expression "par récurrence immédiate" mais c'est quand même une (vraie) récurrence.
La fainéantise de l'auteur, tout simplement. Mais c'est aussi un choix pertinent (de style, et non mathématique) pour ne pas surcharger une preuve déjà complexe.

Bonjour,

Choisis la variante sans le binôme. Calcule $\displaystyle (D+N)^2.$ Montre que, pour tout $n$ entier, $\displaystyle (D+N)^{2n} = I_3 + a_n N$ où $a$ est une suite à déterminer. Puis calcule $\displaystyle (D+N)^{2n+1}$ pour tout $n$ entier.

Lorsque $A$ et $B$ sont des matrices carrées de même taille et que $\displaystyle [A,B]=AB-BA=0$, elles commutent donc, on a $\displaystyle (A+B)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k A^k B^{n-k}.$ Si tu fais le calcul prudemment, tu retrouveras le résultat pour $(D+N)^{2n+1}.$

Avec le binôme de Newton et les yeux grands ouverts :
Les matrices $D$ et $N$ commutent puisque $\displaystyle ND=DN=N$, on a alors, pour tout entier $n$, $\displaystyle (N+D)^{2n+1} = \sum_{k=0}^{2n+1} C_{2n+1}^k D^k N^{2n+1-k}.$ Tous les termes $\displaystyle N^{2n+1-k}$ vallent $N$, pour $\displaystyle k=0, 1, ..., 2n$, et $\displaystyle I_3$ pour le terme $\displaystyle k=2n+1$ car alors $\displaystyle N^0 = I_3.$ On sépare donc dans la somme $\displaystyle k=2n+1$ des autres termes : $\displaystyle (N+D)^{2n+1} = \sum_{k=0}^{2n} C_{2n+1}^k D^k N^{2n+1-k} + D^{2n+1}I_3.$ On sait que $\displaystyle D^{2n+1}I_3 = D$ et $\displaystyle D^k N^{2n+1-k} = D^k N = N$ pour $\displaystyle k=0, 1, ..., 2n.$ On a donc : $\displaystyle (N+D)^{2n+1} =\sum_{k=0}^{2n} C_{2n+1}^k N + D.$
Un grand classique : $(1+1)^{2n+1} = 2^{2n+1} = \sum_{k=0}^{2n+1} C_{2n+1}^k = \sum_{k=0}^{2n} C_{2n+1}^k +1.$
On a donc démontré que : $(N+D)^{2n+1} = (2^{2n+1}-1)N+D.$

Bonjour,

Relis mon message ci-dessus.

Bonjour,

L'énoncé donne une relation pour un entier impair. Je choisis de l'écrire sous la forme $2n+1$ pour $n$ entier... un grand classique. Si tu es perturbée par l'énoncé qui utilise $n$ aussi, tu peux écrire : pour tout $n$ entier impair, il existe $m$ entier tel que $n=2m+1$ et poursuivre avec $m$...

Bonjour @Lolipop,

Qu'en penses-tu ? Pour tout entier $n$ pair, il existe $m$ entier, tel que $n=2m.$

[small]C'est même, pour moi, la définition d'un entier pair ! Vulgairement : un nombre de la table de 2. [/small]

Bonjour,

Tu as écris une typo. On trouve $2^{2n+1}$ ne reconnais-tu pas une puissance impaire de $2$ ? Réfléchis bien.

Bonjour,

Puisque tu sais que $N^0=I_3$ et que pour tout $p$ entier non nul, $N^p = N$, alors, pour tout $k=0, 1, ..., 2n-1$, $D^k N^{2n-k} = D^k N$ puisque l'exposant de $N$ ne s'annule pas ; tu sais aussi que, pour tout $k$ entier, $D^kN=N$ tu peux conclure que $D^k N^{2n-k} = N$ pour tout $n$ entier non nul, et pour tout $k=0, 1, ..., 2n-1.$

Remarque bien que je prends la peine d'écrire les quantificateurs. Pourquoi ai-je écrit $n$ non nul ?

Bonjour,

Continue. Le but de l'exercice est de calculer $A^n$...

Bonjour,

Tu n'as pas lu un de mes messages : tu dois démontrer que P(-1) AP puissance n vaut P(-1) A^n P.