Demi-tangente en zéro

Bonjour,

Connais-tu la règle de L'Hôpital ?

Si $f$ et $g$ sont dérivables et si $\displaystyle {f'(x) \over g'(x)} \to a$ quand $\displaystyle x \to x_0$, alors $\displaystyle {f(x) \over g(x)} \to a$ quand $\displaystyle x \to x_0.$

On considére, pour $\displaystyle \lambda >0$, et $\displaystyle x >0$, $\displaystyle x^\lambda \ln x = {\ln x \over x^{-\lambda}}.$ On pose $\displaystyle f(x) = \ln x$, dérivable, $\displaystyle f'(x) = \frac1x$ et $\displaystyle g(x) = x^{-\lambda}$ dérivable avec $\displaystyle g'(x) = -\lambda x^{-\lambda-1}$ et alors $\displaystyle {f'(x) \over g'(x)} = {1 \over -\lambda x^{-\lambda}} = -\lambda x^\lambda \to 0$ quand $\displaystyle x \to 0^+$ ; on en déduit $\displaystyle {f(x) \over g(x)} = x^\lambda \ln x \to 0$ quand $\displaystyle x \to 0^+.$

Démontre la règle de L'Hôpital une fois pour toutes. Et attention, c'est une implication (la réciproque est fausse).

enciao a écrit:

En tout cas je te suis très reconnaissant de m'avoir répondu car j'ai passé beaucoup de temps sur cette question et ça commençait vraiment à me prendre la tête !

quand ça commence à faire mal au crâne, il faut toujours appeler l'hôpital ... pareil dans ce cas-là ... :-P ...

Bonjour,

Tu fais déjà partie de la DGFIP ou tu cherches à y entrer ?

Ah! je n' avais pas compris...

Je sais que la réponse est
> zéro grâce à ma calculatrice.

Comme quoi il faut se méfier des calculatrices; pour $0<\lambda\leq 1$ la limite est $-\infty $

Bonjour @enciao,

Que cherches-tu à calculer ? Ecris la question complète. Sinon c'est incompréhensible.

Bonjour,

Mazette !

On a $\displaystyle \lambda >0$ et on souhaite calculer $\displaystyle \lim_{x \to 0^+} {x^{x^\lambda} - 1 \over x}.$

On a $\displaystyle x^{x^\lambda} = \exp(x^\lambda \ln x).$ On a donc une forme indéterminée $0$ sur $0.$

Comme on sait que $e^u = 1+u+o(u)$ alors $\displaystyle {x^{x^\lambda} - 1 \over x} \sim x^{\lambda-1} \ln x$ en $x=0.$

Si $\lambda>1$, on a $\displaystyle \lim_{x \to 0^+} {x^{x^\lambda} - 1 \over x} =0.$
Si $\lambda \leq 1$, on a $\displaystyle \lim_{x \to 0^+} {x^{x^\lambda} - 1 \over x} =-\infty.$

Est-ce vraiment hors de ta portée ?

Il semble y avoir un certain nombre de matheux dans l'administration fiscale. Je n'ai pas encore rencontré d'ancien étudiant en physique comme moi depuis 2010 et la formation à Clermont en revanche.