sujet ens

Jhon
Jhon
dans Concours et Examens
Bonjour tout le monde j'espère que vous allez très bien.
Je me demande si quelqu'un peut m'aider à trouver le corrigé de l'épreuve ens Fontenay Saint Cloud 1982.
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Réponses

  • Jhon
    Jhon
    sinon ça bloque dans la question 3 (la surjectivité)
  • Siméon
    Siméon
    Tu peux utiliser les arguments classiques d'algèbre linéaire en dimension finie. Par exemple, quelle est l'image de la base des $X^iY^{k-i}$ par ton application ? de quelle dimension est l'espace engendré ?
  • Jhon
    Jhon
    L'idée c'est d'introduire une famille génératrice quelconque de l'espace de départ et montrer que son image reste génératrice , ce que tu indique va montrer le fait que l'endomorphisme est bijectif (utiliser une base au lieu d'une famille génératrice ) sinon je comprends pas très bien ton idée
  • Siméon
    Siméon
    Pourquoi tourner aveuglément autour du pot au lieu de répondre à ces deux questions basiques ? Tu verrais que l'image de la famille $(X^iY^{k-i})_{1\leq i \leq k}$ est échelonnée en degré, donc ...
  • Jhon
    Jhon
    la famille n'est pas échelonnée en degrès , c'est une famille de polynome homogènes ils ont le même degrès
  • Siméon
    Siméon
    Ils ont le même degré total mais pas le même degré en $X$ ou en $Y$. Si tu es gêné par la notion de degré, tu peux tout de même parler d'échelonnement dans la base des $X^iY^{k-i}$ ou même prouver à la main la liberté de la famille.
  • Jhon
    Jhon
    @Simeon tu peux pas discerner les degrès des deux parties parce que la famille est indexée par un indice qui figure dans les deux parties si tu veux montrer la liberté à la mais tu peux pas classifier X et Y , peut être je comprends pas très bien ton idée tu peux donner une preuve complète ?
  • Siméon
    Siméon
    J'arrête les frais puisque tu es décidé à ne rien faire toi-même.
  • Bergtatt
    Bergtatt
    Les indications de Siméon étaient pourtant limpides ...
  • Jhon
    Jhon
    Pas du tout monsieur @Simeon je prends beaucoup mon travail au sérieux et j'ai bien cherché ne le prenez pas mal si je pose beaucoup de questions c'est peut être parce que je suis pas à la hauteur pour travailler ce genre de problèmes , maintenant je comprends votre méthode monsieur mais vous utiliser la dimension de l'espace des polynomes homogènes c'est ça monsieur ?
  • Seginus
    Seginus
    Bonsoir Jhon j'ai jetté un coup d'oeil sur ce sujet , mon prof nous dit que les anciens sujets n'ont pas de grande importance tu peux te contenter des sujets récents , pour la réponse de Siméon , elle est clair on travaille avec des polynômes à deux variables et son idée est naturelle , j'ai cherché le corrigé dans la CDI mais j'ai pas trouvé malheureusement , j'espère que quelqu'un t'aidera à le trouver , bon courage ( en fait on prépare pour le même concours)
  • Jhon
    Jhon
    Merci Seginus , je m'excuse encore une fois monsieur Siméon , pour les question de calcul des dimensions de $A_k$ et $B_k$ je trouve pour la première $k/2$ et la deuxième $k$ quelqu'un pourra me confirmer ces valeurs ?
  • Siméon
    Siméon
    Il me semble que la dimension de $\mathcal A_k$ dépend de la parité de $\frac k2$. Quelle est la base tu as obtenu ?
  • Jhon
    Jhon
    Dans l'énoncé on a mentionné la parité de k
  • Jhon
    Jhon
    je réctifie ma réponse : la dimension dépend de $k$ $mod4$ ,c'est ce que vous voulez dire monsieur ?
  • Jhon
    Jhon
    la question suivante est un casse tête , une indication s'il vous plait ?
  • Jhon
    Jhon
    comment en déduire la diagonalisabilité de l'endomorphisme dans la partie 2 ?
  • Jhon
    Jhon
    J'aurais aimé travailler ce sujet en groupe. J'espère recevoir de l'aide pour la question 2-b partie 2
    Merci beaucoup Siméon.
  • Jhon
    Jhon
    J'ai vraiment cherché un lien entre les polynômes homogènes et la diagonalisation mais sans aucun succès peut être on utilisera la notion de la forme quadratique
  • Siméon
    Siméon
    Soit $U \in GL_2(\C)$ et $\lambda,\mu$ des complexes tels que $ST = U\begin{pmatrix}\lambda &0\\0&\mu\end{pmatrix}U^{-1}$. Soit $i \in \{0,\dots,k\}$. On pose $P_i = [X^i Y^{k-i} \mid U^{-1}]$.
    1) Justifier que $[P_i \mid U] = X^i Y^{k-i}$.
    2) En déduire que $P_i$ est vecteur propre de $P \mapsto [P \mid ST]$.
    3) Conclure.
  • Jhon
    Jhon
    excellente remarque Siméon !! j'aimerais bien que tu nous expliquer comment t'as trouvé cette suite de polynôme
    autre remarque :
    peut être fallait considérer cette suite de polynôme ( c'est la même chose mais ça explique beaucoup de choses tu verras pourquoi ) :
    $P_i = [X^i\overline{ Y^{k-i}} \mid U^{-1}]$ pourquoi ? parce que les valeurs propres de $ST$ sont $j$ et $\overline{j}$ ce qui donnera les valeurs propres de notre opérateurs de puissances de $j$ c'est à dire $1$ , $j$ , et $\overline{j}$ pourquoi encore ? on peut remarquer très bien que notre opérateur "puissance" $3$ donne l'identité donc les valeurs propres sont incluses dans $1,j,\overline{j}$
    sinon j'aimerais bien comprendre comment t'as pu construire cette suite de polynômes
  • Jhon
    Jhon
    on se demandera aussi si cette base de diagonalisation nous aidera t-elle à construire une base de $B_k$
  • Siméon
    Siméon
    Pour l'idée : la diagonalisation de $P \mapsto [P\mid A]$ est immédiate si $A$ est une matrice diagonale. On fait simplement un changement de base pour se ramener à ce cas-là.

    Pour déterminer une base de $\mathcal B_k$, c'est assez facile maintenant : cherche une condition nécessaire et suffisante sur les coefficients $(c_i)_{0\leq i \leq k}$ pour que le polynôme $\sum_{i=0}^k c_i P_i$ appartienne à ce sous-espace.
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