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Je n'ai pas regardé tellement de choses mais pour la question 5 on peut faire un poil plus rapide que ce que tu fais :

1)$E$ connexe ssi toute fonction $ g : E \to \{0;1\}$ continue est constante.
2)Supposons $E'$ non connexe on a $g:E'\to \{0;1\}$ continue non constante et donc $g\circ f : E\to \{0;1\}$ est continue (car composée de fonctions continues) et non constante car $f$ est surjective, contradiction.



Pour la question 7 pauvres Arzelà et Ascoli :-( Bon mais sans faire de blague c'est quand même un "incontournable" de l'analyse fonctionnelle ce théorème, à réviser donc. Je profite de la question 5 pour faire une petite remarque, d'habitude on dis que $A\subset C(K,\mathbf R)$ est compacte ssi $A$ est équicontinue et $A(x)=\{f(x)\in \mathbf R :f\in A\}$ est borné pour tout $x\in K$. En fait si $A$ est équicontinue l'ensemble $E=\{x\in K ; A(x) \text{ est borné }\}$ est à la fois ouvert et fermé. Donc Si $K$ est connexe on n'a besoin de tester la bornitude de $A(x)$ qu'en un seul $x$. M'enfin c'est somme toute assez accessoire parce que ce n'est généralement pas cette partie qui pose problème.


Question 8 ça manque de rédaction, au moins écrire $f'$ et $f''$ puis vérifier les hypothèses de C.L. surtout si tu ne réponds pas aux autres questions de cette partie. Pour la 16.2 je trouve que c'est pas génial comme justification, surtout si c'était un début de copie. On raconte toujours qu'ils faut faire la première (ou les deux premières ?) parties le plus proprement possible et qu'ensuite on peut se relâcher un peu niveau rédaction par la suite une fois la confiance du correcteur gagnée. Je ne sais pas dans quelle mesure c'est vrai mais il y a probablement une part de vérité là dedans.