Corrigé capes interne 1987 analyse

Oui c'est bizarre, l'énoncé est sur le site Mégamaths :

http://megamaths.1free-host.com/enonce_87_1.pdf

Le corrigé est annoncé mais il ne s'ouvre pas.

Je me suis amusé à faire une figure, demandée dans la toute première question.

Numéro de la question traitée : Première Partie, 1., 1.1.

Petit descriptif : Les segments de même couleur sont de même longueur.
Un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit représentent les réels positifs $a$ et $b$ pour le membre médian de l'inégalité (Pythagore) et un triangle rectangle isocèle (en bleu) pour le premier membre $cos(\dfrac{\pi}{4})=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$.
L'hypoténuse ($a+b$) de ce dernier représente le membre de droite de l'inégalité.

J'espère que ça rend bien (c'est très moche à l'aperçu)...

Oui, j'ai griffonné un peu, et à première vue, utiliser Cauchy-uniforme est une bonne idée.
Se placer sur un compact de la forme $[0;a]$, avec $a>1$ puis on majore $|f_{n+k}-f_n|$ (notations usuelles) par le reste $\sum_n^{\infty} \dfrac{a^i}{i!}$ qui tend vers $0$ avec $n$ (le $k$ disparait).

Attention à bien énoncer les théorèmes utilisant la convergence uniforme (continuité, derivabilité, etc.).
C'est très sélectif dans un concours.