Agreg interne leçon 208

Vu le titre :
- Les théorèmes (pas trop je pense)
- "Beaucoup" d'applications diverses

Il est vrai que je pense qu'il y a deux choix possibles, en fonction de la culture du candidat :
(Attendons bien entendu des contradicteurs)

1) utiliser essentiellement, le théorème du point fixe de Picard (ou corollaires), dans diverses situations

2) énoncer plusieurs théorèmes de point fixe (Picard et d'autres...)

Par contre il faut absolument des applications d'après moi même si on est dans les "leçons" d'analyse.
Je pense même qu'il faut développer une application et ne pas développer la démonstration d'un théorème ici.


J'essaye de trouver un document....: posté !

mojojojo écrivait:

---

> le théorème de point fixe de Schauder est un joli résultat et permet par exemple de démontrer un résultat d’existence de solutions d'équa diff
> (de mémoire $y'=F(y)$ admet une solution à condition que $F$ soit continue).

?? Schauder, c'est une déclinaison de Brouwer en dimension infinie et en dimension infinie, justement le théorème de Peano est faux.

Je n'ai pas tout compris de ce que tu veux dire remarque. Pour la dimension de Brouwer je voulais dire que en admettant Brouwer en dimension finie quelconque (pas juste 2) on pouvait démontrer le théorème de Schauder en dimension infinie. Pour le théorème de peano mes souvenirs sont vagues mais je parlais de la dimension finie. Si je me souviens bien il faut refaire la démo classique de Cauchy Lipschitz et là où ça bloque pour appliquer le théorème de Picard parce qu'il n'y a pas d'hypothèse Lipschitz on comble le trou avec Schauder + Arzelà-Ascoli.


Mais de toute façon cette partie de mon message n'a pas grand intérêt parce que j'avais mal lu (j'ai l'impression que ça devient une habitude chez moi en ce moment :-() le titre et que j'avais compris agrégation externe au lieu d'interne... Mea-culpa encore une fois... Donc je pense que c'est effectivement trop compliqué. Par contre je pense que brouwer en dimension 2 et CL ça tien toujours.

Ah mais peut-être tu pensais à la version de Peano en dimension infinie en ajoutant une hypothèse de compacité ?

Dom a écrit:

[...]
si on développe Cauchy-Lipschitz linéaire.
[...]

Pour info, le théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire est noté comme admis dans le programme de l'agrégation interne. Pour autant, je ne pense pas que ce soit un problème de le développer si on maîtrise le sujet (mais je n'en sais fichtre rien, ce n'est qu'un avis).

Oui c'est vrai @michael.

C'est pour cette raison qu'il est écrit "sur un segment" sur le document je pense.
De mémoire, dans les programmes c'est sur un intervalle $I$ quelconque.
Je crois qu'on peut le présenter comme ça.

Bien entendu, il faut maîtriser tout cela.

Je me souviens qu'on utilise notamment l'équivalence des normes en dimension finie et l'existence du max sur un compact d'une fonction continue.
Ça rentre dans ces conditions en plein dans le cadre du concours : on articule les théorèmes "importants".

Mine de rien, bien travaillé, c'est à garder sous le coude.
Et pourquoi pas pour l'externe puisqu'il est évident qu'il faut s'inscrire à l'externe même quand on passe l'interne.

De toutes façons, Schauder fait des hypothèses de compacité, donc si on utilise Schauder, il faut de la compacité quelque part. Par ailleurs, Peano sans rien est faux en dimension infinie.

Comme je l'ai dit : second concours (de math) de l'ENS cachan, probablement 2003/2004. C'est un concours niveau M1, l'écrit de "mathématique générale" ressemble beaucoup à l'écrit d'analyse de l'agrégation, à tel point qu'une année les deux épreuves étaient le même jour et portaient toutes deux sur les espaces de Müntz.

Merci pour ces renseignements.

Je pense vraiment que certaines propositions ci-dessus sont très au-dessus de ce qui est nécessaire pour avoir une très bonne note à l'agrégation interne.

La lecture du chapitre 8 du livre de Pommelet (qui s'intitule justement Théorèmes de points fixes) peut être utile :
8.1 Généralités (fonctions $\left[a;b\right]\to\left[a;b\right]$)
8.2 Applications contractantes dans des espaces complets (avec l'étude d'une suite définie par récurrence comme application, ainsi que le théorème de Cauchy-Lipschitz)
8.3 Cas des espaces compacts

Je crois que le cas des fonctions de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ et des suites réelles définies par récurrence est déjà très riche...