Agrégation épreuve 2 Kato Hoeven

Ange
Ange
dans Concours et Examens
Voici un scan du sujet

Les revenants d'ARTE arrivent jusque dans les sujets. J'ai sursauté en voyant que Kato Hoeven ne trouvait pas le repos. La salle d'agrégation ressemblait à la chambre d'hôtel de beau séjour.61626
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Réponses

  • aléa
    aléa
    Autre version:
  • ev
    ev
    Je parierais plus prosaïquement sur Tosio Kato

    e.v.
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


  • poli
    poli
    Bonjour,
    il me semble que davantage de concurrents disaient ce qu'ils pensaient avoir réussi les années précédentes. J'aimais bien cette coutume, ça permettait un peu de se situer...
    Alors à l'épreuve 1, j'ai traité les 2 premiers exercices préliminaires, puis la partie I jusqu'à 7a) inclus et je n'ai pas traité 3. Et enfin II 1. Je regrette de ne pas avoir lu la question 6 qui a priori ne semblait pas difficile.
    Et à l'épreuve 2: Partie I jusqu'à 5a), parti II jusqu'à 4. Je n'ai pas réussi à majorer III Sn,t III. Et enfin la question 1 de la partie III.
    Je ne pense pas que ça suffise. En tous cas, c'est ma dernière tentative.
    Bonne chance aux besogneux.
  • ev
    ev
    poli a écrit:
    Je ne pense pas que ça suffise.

    Tu n'en sais rien. Si c'est bien fait, ça devrait suffire.
    Il vaut bien mieux peu et bien fait que beaucoup et nawak.

    e.v.
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


  • Ange
    Ange
    Si l'un d'entre vous peux me résoudre ou m'indiquer des pistes pour I5b et II3


    Merci
  • Ange
    Ange
    Par contre je sais pas chez vous mais pas beaucoup de monde et surtout pratiquement personne n'est parti avant la fin. Ou alors j'étais trop dedans
  • jpmjpmjpm
    jpmjpmjpm
    Pour I5b.
    Tu as pour $t \ge 0$ et $x$ quelconque et en utilisant l'équation différentielle $$
    \phi_x^\prime(t) +A \phi_x(t)=0$$ l'inégalité $$A \phi_x(t) \cdot \phi_x(t) =- \phi_x^\prime(t) \cdot \phi_x(t) \ge 0$$ si $A$ est supposée positive.
    Ce qui prouve que le dérivée de la fonction $\psi_x(t) =\Vert \phi_x(t) \Vert_2^2$ est négative pour $t \ge 0$. Comme $\psi_x(0)=\Vert x \Vert_2^2$, tu obtiens $$
    \Vert \phi_x(t) \Vert_2 \le \Vert x \Vert_2$$ pour tout $t \ge 0$, d'où l'inégalité sur la norme de $e^{-tA}$.
    La réciproque s'obtient de manière similaire, en considérant la dérivée de $\psi_x$ en $0$.
  • dfshr8
    dfshr8
    Ah cette question m a tellement pris la tête ^^ merci pour la correction!
  • david9333
    david9333
    Pour II.3, j'ai développé le produit des deux exponentielles dans $T_{n,t}$ et en écrivant la série $S_{n,t}-T_{n,t}$ avec un seul $\sum_{k=0}^\infty\left(\cdots\right)$ j'ai montré que les termes de $k=0$ et $k=1$ étaient nuls, ce qui permettait de trouver la majoration voulue.
  • jpmjpmjpm
    jpmjpmjpm
    J'ai commencé à produire des éléments de correction en fichier joint.

    N'hésitez pas à me dire si j'ai écrit des bêtises, ce qui est fort probable...

    Je n'arrive pas à voir comment calculer $e^L$ sans diagonaliser $L$, ce que j'ai eu la flemme de faire. J'imagine qu'il y a une astuce en écrivant $L$ comme somme de matrices qui commutent et dont on peut calculer simplement des exponentielles.
  • Ange
    Ange
    Pour $e^L$ en calculant les premières puissances je crois que l'on tombe sur la suite de Fibonacci.

    On peut donc calculer chaque coefficient en fonction de k.

    Mais ça me donnait pas un truc joli avec des exponentielles du nombre d'or.
  • poli
    poli
    J'avais diagonalisé L, et sauf erreur j'ai trouvé un truc moche ou que je n'ai pas su écrire joliment. Donc j'ai gardé l'écriture avec la matrice de passage.
  • lilyviolet
    lilyviolet
    Bonjour,

    J'ai écrit L=(1/2)(I-J)+K ( toutes les matrices commutent) pour faire le calcul de exp(L).
  • Philippe Malot
    Philippe Malot
    Salut,
    $\dfrac 12(I-J)$ ne commute pas avec $K$.
    Le polynôme caractéristique de $L$ est $X^2-X-1$, de racines $\varphi=\dfrac{1+\sqrt 5}2$ et $\varphi'=\dfrac{1-\sqrt 5}2$.
    Si $n$ est un nombre entier naturel, la division euclidienne de $X^n$ par $X^2-X-1$ nous donne $Q_n(X)$ et $R_n(X)$ uniques dans $\R[X]$ qui vérifient $$X^n=Q_n(X)(X^2-X-1)+R_n(X)\quad \text{et}\quad \deg(R_n)<2\;.$$
    On a donc $R_n(X)=a_n X+b_n$ où $a_n$ et $b_n$ sont deux nombres réels.
    Puisque $\varphi^n=a_n\varphi+b_n$ et $\varphi'^n=a_n\varphi'+b_n$, on trouve :
    \begin{align*}
    a_n&=\dfrac{\varphi^n-\varphi'^n}{\varphi-\varphi'}=\dfrac{\varphi^n-\varphi'^n}{\sqrt 5}\\
    b_n&=\dfrac{\varphi\varphi'^n-\varphi'\varphi^n}{\varphi-\varphi'}=\dfrac{\varphi\varphi'^n-\varphi'\varphi^n}{\sqrt 5}
    \end{align*} Le théorème de Cayley-Hamilton nous permet de dire que $$L^n=a_n L+b_nI=\begin{pmatrix} b_n & a_n \\ a_n & a_n+b_n\end{pmatrix}$$ Or, on a :
    \begin{align*}
    \sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{a_n}{n!}&=\dfrac{e^\varphi-e^{\varphi'}}{\sqrt 5}\\
    \sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{b_n}{n!}&=\dfrac{\varphi e^{\varphi'}-\varphi' e^\varphi}{\sqrt 5}\\
    \sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{a_n+b_n}{n!}&=\dfrac{\varphi e^\varphi-\varphi' e^{\varphi '}}{\sqrt 5}
    \end{align*} On en déduit, sauf erreur : $$
    e^L=\dfrac 1{\sqrt 5}\begin{pmatrix}\varphi e^{\varphi'}-\varphi' e^{\varphi} & e^\varphi-e^{\varphi '} \\
    e^\varphi-e^{\varphi '} & \varphi e^\varphi-\varphi' e^{\varphi '}\end{pmatrix}$$
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