Intervalle de confiance
dans Statistiques
Bonjour, je dois préparer un cours (au pied levé et pour la rentrée des vacances) pour des BTS sur les estimations par intervalle de confiance.
Je ne vois pas à quoi sert le $2\Pi(t)-1$ dans le coefficient de confiance dans l'intervalle de la moyenne.
Si quelqu'un peut m'éclairer ....
Merci d'avance
Je ne vois pas à quoi sert le $2\Pi(t)-1$ dans le coefficient de confiance dans l'intervalle de la moyenne.
Si quelqu'un peut m'éclairer ....
Merci d'avance
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Réponses
je suppose que vous voulez parler d'un énoncé du type suivant :
$$\left[ \bar{X} - t \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{X} + t \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right] $$
est un intervalle de confiance de la moyenne $m$ de la population avec niveau de confiance $2\Pi(t) -1 =1-\alpha$
que l'on trouve, semble-t-il dans certains cours de BTS.
Dans ce cas, $\Pi$ est alors la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite .
Ceci sous l'hypothèse que $\bar{X}$ suit la loi $\mathcal{N}\left(m, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) $.
Vu que les fonctions de répartition ne sont pas au programme des BTS, je ne vois pas l'intérêt d'écrire $2\Pi(t)-1$ dans l'énoncé !
Peut-être que tu serais mieux servi par certains intervenants du forum si tu précisais mieux ton contexte de rentrée. Certains ont enseigné en BTS sur le forum et même précisément ces sujets-là. Qu'est-ce qui te tombe dessus en cette si méchante rentrée ?
Si tu ne vois pas l'intérêt de ça dans la présentation, laisse tomber. N'importe comment, le niveau mathématique en BTS va de faible à dramatiquement faible. Déjà dans les années 80 à 98, quand j'avais des BTS (textile-matériaux souples et MAVA) il fallait choisir ce qu'on allait présenter. Et espérer qu'ils soient là en cours (le projet était bien plus important que les maths). Essaie aussi de savoir quel est le pourcentage d'anciens bac pro (100 % dans certains cas !).
Donc si tu peux, contacte ton collègue pour savoir comment est la classe et ce qu'il vise avec eux. Et explique comment on obtient les bornes de l'intervalle sans nécessairement théoriser. Par contre, quand j'avais des BTS, puis ensuite en IUT, la propriété $P(-a<Z<a)=2\Pi(a)-1$ où $Z$ est une $\mathcal N(0,1)$ était dans mes cours de proba. Donc réutilisable pour les intervalles de confiance.
Cordialement.
La réponse à la question D.2) sur l'intervalle de confiance est-elle $$
\bigg[f-1,96 \sqrt{\frac{f(1-f)}{n-1}};f+1,96 \sqrt{\frac{f(1-f)}{n-1}}\bigg]\quad\text{ou}\quad \bigg[f-1,96 \sqrt{\frac{f(1-f)}n};f+1,96 \sqrt{\frac{f(1-f)}n}\bigg]
$$ Il me semble que le 1er intervalle convient mais un site internet propose le 2eme sur le corrigé !!!
Merci pour vos réponses !
[Sans l'énoncé, à quoi correspond la question D.2 ? AD]
Sans l'énoncé, et la description précise de ce qui est connu en cours, difficile de répondre. Les deux sont-ils au programme ?
Cordialement.
Dans le programme, il n'est pas préciser un intervalle particulier.
J'ai un cours trouvé sur internet où il est écrit les deux propriétés suivantes:
1) Si X barre suit une loi normale (m; sigma/sqrt n) alors [X barre - t sigma/sqrt n ;X barre + t sigma/sqrt n ] est l'intervalle de confiance de la moyenne m de la population avec le coefficient de confiance 2 pi(t) -1 =1 – alpha .
2) si F la VA ,qui à tout échantillon de taille n associe la fréquence de cet échantillon, par la loi normale N(p;sqrt( p(1-p)/n))
alors [f- t sqrt (f(1-f)/(n-1)) ; f+ t sqrt (f(1-f)/(n-1))] est l’intervalle de confiance d’une fréquence p de la population avec le coefficient de confiance 2pi(t)-1=1 ? alpha ayant pour centre la fréquence f de l’échantillon considéré.
De plus, je me demande si l'énoncé 1) est assez clair (faire apparaitre un variable aléatoire dans un intervalle)
Merci gérard0, pour tes réponses (je ne peux pas contacter mes collègues ...)
Vu le sujet, tu n'utilises ni l'un ni l'autre, tu appliques la règle pour un intervalle de confiance tiré d'un intervalle de fluctuation de la variable Normale $F$.
Tu sais qu'un intervalle de fluctuation de $F$ est $[\mu-t \sigma,\mu+t \sigma]$, où $\mu$ est la moyenne, et $\sigma$ l'écart type de $F$, $t$ étant la valeur pour laquelle 95% de la probabilité d'une $\mathcal N(0,1)$ est entre $-t$ et $t$, donc 97,5% est avant $t$, donc $t=1,96$. On en déduit un intervalle de confiance pour la moyenne inconnue $\mu$ : $[f-t \sigma,f+t \sigma]$, où $f$ est la fréquence (*). Y a plus qu'à ...
Deux remarques :
* Ce calcul revient à appliquer la formule avec $n$
* L'énoncé est quand même assez grossier ! Considérer une variable discrète (fréquence sur 150) comme une variable gaussienne ...
Cordialement.
(*) le passage est classique si $a$ est entre $b-c$ et $b+c$, avec $c>0$, donc $|a-b|<c$, alors $|b-a|< c$ donc $b$ est entre $a-c$ et $a+c$.