Coordonnées de vecteurs
dans Concours et Examens
Bonjour,
Je me pose une question concernant l'écriture des coordonnées d'un vecteur : vect(u)(x;y) ou vect(u)=(x;y) ?
Au lycée j'utilise la première version mais à l'université, certains professeurs écrivaient u=(x,y,z) pour définir un vecteur de R3.
Je me pose une question concernant l'écriture des coordonnées d'un vecteur : vect(u)(x;y) ou vect(u)=(x;y) ?
Au lycée j'utilise la première version mais à l'université, certains professeurs écrivaient u=(x,y,z) pour définir un vecteur de R3.
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Réponses
Un vecteur de $(\mathbb R^3, +,.)$ est un élément de $\mathbb R^3$, donc un triplet de réels. Quoi de plus naturel que de l'écrire comme un triplet de réels ?
Cordialement.
- le quadruplet d'entiers $1$, $2$, $3$, $4$ ?
- le couple de décimaux $1,2$ et $3,4$ ?
- etc
Exercice : combien d'interprétations possibles ?
Cordialement, Pierre.
les vecteurs utilisés au lycée sont des objets purement géométriques, des classes d'équivalence de bipoints (ou des translations maintenant). Ils ne sont donc pas des objets numériques (ils le seront quand on définira dans le supérieur la géométrie affine à partie d'espaces $\mathbb R^n$). Ils n'ont pas de coordonnées, tant qu'on n'a pas défini un repère cartésien et ces coordonnées dépendent du repère choisi. Donc on évite de confondre le vecteur (indépendant de tout repère) avec le couple ou triplet de ses coordonnées dans un repère donné.
Cordialement.
NB : ceci est une traduction (*) en français de France des propos cryptiques de Pierre.
(*) commentée.
pour ma part je tolère le signe "=" au lycée, en précisant que c'est parce qu'on ne fait pas de changements de repères, les curieux demandent des explications supplémentaires et :
$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=x\vec{i}+y\vec{j}$
S
existe-t-il vraiment et si oui pourquoi?
Au moins avec $\R^3$ on est à peu près sûr.
stk78: mets les notations exigées par celui qui a le pouvoir de mettre une note à ta copie.
Mais après, utilise les notations de la fac; elles sont mieux.
la notion d'existence, en mathématiques, ramène toujours à admettre une existence à la base (l'ensemble vide, par exemple, dans certaines constructions à base d'ensembles). Pour ce qui est de sa non contradiction, l'expérience de 25 siècles de réflexion montre que l'espace d'Euclide, Gauss, Kant et Hilbert, basé sur des axiomes bien explicités par le dernier, est assez solide, attendons quelques siècles encore pour pouvoir en dire autant des axiomes sur lesquels on s'appuie actuellement.
"Au moins avec R3 on est à peu près sûr." ??? X:-(
Cordialement.
Le problème n'est pas vraiment en l'espèce la consistance des choix d'axiomes employés pour faire de la géométrie (la plupart de la géométrie classique se réalise dans la théorie des corps réels clos qui est complète, et en fait survivrait telle quelle à la découverte d'une contradiction dans un des jeux d'axiomes contemporains des mathématiques tels que ZFC).
Le problème est que quand on parle "d'espace" on ne sait pas de quoi on parle. Moi je peux comprendre le message qu'on semble vouloir faire passer aux étudiants ("la carte n'est pas le territoire"). Mais voilà, un étudiant en mathématique (qu'il soit au CP ou à la fac) est quelqu'un à qui on fait des procès en rigueur intellectuelle en permanence. Des "monsieur vous ne savez pas penser" et autres horreurs.
Le plan et l'espace euclidien idéalisés des grecs n'existent pas, ils n'ont jamais existé, ce sont des fantasmes à 100%. Certes on ne le sait que depuis peu, c'est la physique qui le dit. A l'échelle microscopique, la géométrie n'est pas une description réaliste de la nature, à l'échelle spatiale non plus.
Si je fais de la géométrie classique, je vais prendre un segment $[AB]$ que je vais décider d'appeler "le mètre" et dire que si $p,q$ sont des nombres entiers avec $q\neq 0$, un autre segment $[CD]$ sera de longueur $\frac{p}{q}$ s'il existe une isométrie envoyant $q$ copies de $[CD]$ mises bout à bout sur $p$ copies de $[CD]$ mises bout à bout (il y a sûrement des moyens beaucoup plus efficaces pour définir la longueur d'un segment mais c'est pour se mettre d'accord).
Des objets comme un triangle équilatéral de côté de longueur $10^{9000}$ mètres, ou un cube d'arête de longueur $10^{-600}$ mètre, sont donc parfaitement légitimes. On montre qu'il en existe, que le second peut être recouvert par $1000$ cubes d'arête $10^{-601}$ mètres; en fait on peut faire beaucoup de choses.
Maintenant est il bon d'agresser, au nom de la "rigueur des mathématiques", quelqu'un qui aurait négligé de rendre un hommage réglementaire appuyé à la "réalité" de ces objets géométriques (en utilisant une graphie spéciale)?
Cordialement.
Lorsque l'on veut faire de $\R^3$ un espace vectoriel et dire que $x\doteq \left[ \begin {array}{c} 4\\ 5\\ 6\end {array} \right]=4i+5j+6k$ les ennuis commencent. On a en effet,
$$x\doteq \left[ \begin {array}{c} 4\\ 5\\ 6\end {array} \right] =
\left[ \begin {array}{c} 1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end {array} \right] \left( \begin {array}{c} 4\\ 5\\ 6\end {array} \right)
$$
le vecteur $[]$ est le produit de la base par la colonne des coordonnées $()$. Comment noter cela ? On nous propose le choix entre $\left[ \begin {array}{c} 4\\ 5\\ 6\end {array} \right] \left( \begin {array}{c} 4\\ 5\\ 6\end {array} \right) $ au lycée et $\left[ \begin {array}{c} 4\\ 5\\ 6\end {array} \right] =\left( \begin {array}{c} 4\\ 5\\ 6\end {array} \right) $ à la fac. Pourquoi pas. Faisons alors un changement de base (rappel: le caractère tintrin sec des propriétés vectorielles est lié au fait qu'elles se conservent par changement de base). Cela donne
$$x\doteq \left[ \begin {array}{c} 4\\ 5\\ 6\end {array} \right] =
\left[ \begin {array}{c} 0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end {array} \right] \left( \begin {array}{c} 5\\ 6\\4\end {array} \right)
$$
Comment allons nous noter cela ? $\left[ \begin {array}{c} 4\\ 5\\ 6\end {array} \right] \left( \begin {array}{c} 5\\ 6\\4\end {array} \right) $ au lycée et $\left[ \begin {array}{c} 4\\ 5\\ 6\end {array} \right] =\left( \begin {array}{c} 5\\ 6\\4\end {array} \right) $ à la fac ?
Le premier étudiant qui osera dire "ils ont encore forcé sur le tintrin sec" passera directement en L3.
Cordialement, Pierre.
En fait j'ai l'impression qu'on a placé ce malheureux étudiant non pas dans $\R^3$ mais dans $E:=\{(x_1,x_2,x_3,y_1,y_2,y_3) \in \R^6 \mid y= Mx\}$ sans le prévenir (avec $M:=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$ et bien sûr, $x$ et $y$ désignant $\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix}$)
définissons
$\mathbf i:=(1,0,0,0,1,0)$
$\mathbf j:=(0,1,0,0,0,1)$
$\mathbf k:=(0,0,1,1,0,0)$
$\mathbf i':=(0,0,1,1,0,0)=\mathbf k$
$\mathbf j':=(1,0,0,0,1,0)=\mathbf i$
$\mathbf k':=(0,1,0,0,0,1)=\mathbf j$
Bon, $(\mathbf i,\mathbf j,\mathbf k)$ et $(\mathbf i',\mathbf j',\mathbf k')$ s'avèrent être des bases de $E$ et $4\mathbf i'+5\mathbf j'+6 \mathbf k'=5\mathbf i+6 \mathbf j +4 \mathbf k$.
$$x\doteq \left[ \begin {array}{c} 4\\ 5\\ 6\end {array} \right] = 4i+5j+6k=\left[i,j,k\right] \cdot \left( \begin {array}{c} 4\\ 5\\ 6\end {array} \right)=
\left[ \begin {array}{c} 1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end {array} \right] \left( \begin {array}{c} 4\\ 5\\ 6\end {array} \right)
$$
Dans la dernière expression, je me suis contenté de remplacer $i,j,k$ par leurs définitions canoniques, à savoir
$$ i\doteq \left[ \begin {array}{c} 1\\ 0\\ 0\end {array} \right],\;j\doteq \left[ \begin {array}{c} 0\\1\\ 0 \end {array} \right],\;k\doteq \left[ \begin {array}{c} 0\\ 0\\1\end {array} \right] $$
Si l'on prend pour base $i'=j, j'=k, k'=i$, cela donne $$ \left[i', j', k'\right]= \left[j, k, i \right] =
\left[ \left[ \begin {array}{c} 0\\1\\ 0 \end {array} \right],\; \left[ \begin {array}{c} 0\\ 0\\1\end {array} \right],\; \left[ \begin {array}{c} 1\\ 0\\ 0\end {array} \right] \right]=\left[ \begin {array}{ccc} 0&0&1\\1&0&0\\ 0&1&0 \end {array} \right] $$
Et pour avoir le même vecteur $[]$, les coordonnées $()$ doivent changer lorsque la base change.
Qu'est-ce qu'un espace de dimension $6$ vient faire là-dedans ? La dimension n'est-elle pas une caractéristique tintrin sèche d'un espace vectoriel à savoir un cardinal invariant par changement de base ?
Cordialement, Pierre.
Bon elles ne sont pas indépendantes les unes des autres certes.
Mon espace $E$ ci-dessus est de dimension 3, c'est ce qui compte.
J'espère que stk78 continue d'être satisfait d'avoir posé sa question !
Cordialement, Pierre.
ton discours revient à dire que 2400 ans de mathématiques n'existent pas. Quel dommage !
Et ne t'étonne pas que les matheux soient considérés comme des extraterrestres, ils ne sont même pas capables de comprendre des mots de vocabulaire courant, comme "plane et "espace".
Désolé pour toi !
Pas "approximativement" plats (comme ma table de cuisine).
inutile de continuer, tu ne comprends pas de quoi je parle. Tant pis !