Leçon Capes, Exemples de calculs d'intégrales
Bonjour,
Je travaille actuellement sur la leçon Exemples de calculs d'intégrales - Méthodes exactes ou approchées.
En ce qui concerne la partie méthode exacte, pensez-vous que ce serait jugé comme non adapté pour des terminales, si je parlais de l'IPP et des changements de variables ?
Si je ne parle pas des 2 items précédents, hormis le calcul à l'aide de primitives et éventuellement un calcul d'intégrales définies à l'aide de suites je manque cruellement d'idées pour cette partie ...
Je prends toute idée, suggestion ou avis ...
Je travaille actuellement sur la leçon Exemples de calculs d'intégrales - Méthodes exactes ou approchées.
En ce qui concerne la partie méthode exacte, pensez-vous que ce serait jugé comme non adapté pour des terminales, si je parlais de l'IPP et des changements de variables ?
Si je ne parle pas des 2 items précédents, hormis le calcul à l'aide de primitives et éventuellement un calcul d'intégrales définies à l'aide de suites je manque cruellement d'idées pour cette partie ...
Je prends toute idée, suggestion ou avis ...
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Réponses
En méthode approchée, pour introduire, ce qui peut être intéressant c'est une représentation graphique, avec calcul d'unités d'aires, ça se fait beaucoup en TES.
Donc je vais effectivement me tourner vers le niveau BTS pour cette leçon, merci.
Pour les méthodes approchées, j'ai des idées, ce sont des idées d'exercices de méthodes exactes qui me manquaient.
Tu dois pour chaque rubrique être capable de distinguer ce qui est du niveau terminale et du niveau BTS.
Le jury appréciera que tu donnes des exemples au niveau terminale.
Au niveau collège serait encore mieux, mais pour les intégrales, ça risque d'être coton.
e.v.
S
@wkmx31 : non je n'y avais pas pensé, mais c'est une bonne idée d'en parler
Merci à tous pour vos conseils,
Ce ne serait pas "collège" car on fait appelle à la notion de limite mais...en classe de première, dans ce cas ?
https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Quadrature_de_la_parabole
@ elrenzam:
rien n'empêche de proposer un exercice en Terminale S, en précisant éventuellement que c'est un exercice qui peut être donné en approfondissement, demandant, dans une première question, de démontrer la formule d'intégration par parties puis proposant ensuite quelques applications simples de ce résultat.
Pour ma part, je le fais en Terminale S, tout en précisant que le résultat en lui-même est hors programme.
Je dépose en fichier joint une feuille d'exercices donnés à mes élèves, cela pourra peut-être te donner des idées.
L'exercice sur l'IPP est l'exercice 24.
Par ailleurs, je t'invite à consulter, si tu en as la possibilité, le livre de Gilles Costantini, Analyse MPSI aux éditions De Boeck, pages 660 et suivantes; il y a, à mon avis, matière à faire un bel exercice sur le calcul de l'aire d'un secteur parabolique à l'aide de triangles inscrits.
Enfin, l'activité 1 du document joint intitulé "Introduction" pourra peut-être t'intéresser.
Bon courage.
Cordialement.
Y.
Le titre de la leçon est "Exemples de calculs d'intégrales - Méthodes exactes ou approchées".
Deux point importants :
- Ne pas oublier le point "Méthodes approchées", avec le changement de variables ou l'IPP, tu restes sur des méthodes exactes. Pourquoi ne pas montrer un exercice à résoudre sous Géogébra, avec les fonctions qui vont bien. Tu fais voir que tu connais ce logiciel et ta leçon utilises les TICEs.
- Rien ne dit "Exemples en mathématiques", tu peux aller chercher des exemples dans d'autres matières comme l'électricité. Avec le calcul de la valeur moyenne ou efficace d'une grandeur périodique. Et tu gagnes un exo commun avec la leçon : 28. Applications des mathématiques à d’autres disciplines.
Mais ça fait déjà un bon début de plan :
Calcul d'intégrales méthode approchée avec les rectangles "sous" puis "sur" la courbe (facile avec geogebra https://www.geogebra.org/m/RKtzMFYb ou https://www.geogebra.org/m/FAnQKyav). Faut-il donner une définition de l'intégrale à cet endroit ?
Exemple simple simple calcul d'une aire sous une courbe.
Exemple en TS : Fonction de répartition d'une loi de probabilité continue.
Exemple en BTS : Calcul de la valeur efficace d'une grandeur périodique.
A toi de complèter
Je suis très surprise de vos réponses sur ce sujet.
À la fac (prépa capes), on ne cesse de nous rabâcher qu'il ne faut pas se limiter au niveau terminale S et que l'oral 1, à la différence de l'oral 2 n'est pas une épreuve de pédagogie et connaissances des programmes mais une épreuve durant laquelle on se doit de montrer un minimum nos connaissances mathématiques.
Mon plan sur cette leçon est :
I - Méthodes de Résolution exactes :
1) Primitive et résolution directe
2) Intégration par partie
3) Changement de variable
II - Méthode de résolution approchées :
1) Méthode des rectangles
2) Méthode des trapèzes
3) Méthode de Simpson
Sachant que, dans les deux partie, le 3) sera peut être supprimé en fonction du temps écoulé au cours de la présentation.
Qu'en pensez-vous ?
PS : il est précisé dans le rapport du jury : "Le niveau auquel se situe l’exposé reste au choix du candidat qui n’a pas à adapter le contenu au programme de telle ou telle classe."
"L’ensemble de l’épreuve s’inscrit dans le cadre des programmes de mathématiques du collège et des différentes
séries du lycée général et technologique. La capacité du candidat à illustrer le sujet par des exemples sera valorisée".
Donc j'en avais déduit qu'il s'agissait quand même d'une épreuve de pédagogie.
Pour l'aspect "montrer un minimum nos connaissances mathématiques" je suis en phase avec toi, mais je le réserve à des exemples ou des exercices, je ne pensais pas exposer directement des notions qui dépasseraient le cadre du programme défini. J'ai un plan relativement proche du tien.
Pour ce qui est de montrer des connaissances mathématiques, je ne me ferais pas trop de souci : un jury de Capes n'aura pas trop de problème à pousser un(e) candidat(e) dans ses retranchements. De ce que j'ai pu voir pendant les oraux blancs auxquels j'ai assisté (qui ne sont pas forcément comme les vrais oraux, certes), le jury s'est à chaque fois engouffré dans les erreurs et approximations (de langage, notamment) des candidat(e)s lors de l'exposé de la leçon. Personnellement ce que j'en ai retenu c'est qu'il vaut mieux ne présenter que des exemples ou exercices dont on maîtrise les tenants et les aboutissants. Et si le niveau des exemples ou exercices est jugé trop basique par le jury, je ne me fais aucun doute qu'il saura faire preuve d'inventivité.
Accessoirement j'ai pu assister à une présentation de cette leçon avec un plan plus court (primitives, IPP et méthode des rectangles) et le jury avait visiblement déjà largement de quoi s'amuser.
Je ne vois pas de calcul d'intégrales multiples.
e.v.
@ wkmx31 @rougemaire
Question élémentaire ( vu que j'ai pas eu de formation)
Si on veut placer notre exposé à plusieurs niveau, au début de l' exposé on écrit, par exemple
Niveau : TS, BTS, TES
Puis on précise pour chaque exemple le niveau?
deuxième question : Peut on faire un exemple avec une même courbe et on calcule l'aire avec deux méthodes: primitives et calcul approché avec des rectangles?
Merci pour vos conseils
ma réponse est peut être anachronique (j'ai passé le CAPES en 2000) mais, de mon temps, le jury n'avait que faire des pinaillages sur je me place à tel ou tel niveau; plus exactement, s'il avait envie de savoir à quel niveau on pensait traiter tel ou tel exercice ou tel exemple donné dans la leçon, il le demandait, mais cela avait a priori une importance mineure, en tout cas bien moindre que le fait de maîtriser le contenu de ce que l'on choisissait d'exposer.
A l'épreuve d'oral 1, je suis tombé sur une leçon dont le titre ressemblait peu ou prou à "Calcul approché d'intégrales" et, si l'on excepte la méthode des rectangles, rien ne rentrait dans le cadre des programmes de lycée.
J'ai parlé des méthodes des rectangles, des trapèzes, du point milieu et de Simpson, évoqué une majoration de l'erreur pour chacune (énoncé le résultat et donné juste les résultats utiles pour la démonstration sans entrer dans les détails, donné en fil rouge le calcul approché d'une même intégrale par chacune des méthodes et cité l'intérêt que cela pouvait avoir (valeurs décimales approchées de ln(2) ou de pi). Dans les questions, le jury m'a demandé la preuve pour la méthode de Simpson.
Cordialement.
Y.
Je pense qu'il convient, dans une telle leçon, d'expliciter clairement ce que signifie le mot exact dans méthode exacte. Je vous laisse le soin de répondre vous même à cette question. Pour ma part, je considère que $ \displaystyle \int_{a}^{b}f(t)dt $ est une formule exacte qui suffit à mon bonheur; mais je doute qu'un jury de CAPES partagerait spontanément mon point vue (à moins que je ne l'argumente). Je vous renvoie à l'étude de $ \sqrt{2} $ par Micmaths pour un point de vue tout à fait clair sur un sujet connexe (quoique la lecture des commentaires prouve que rare sont les lecteurs à avoir compris le point de vue exposé par Micmaths).
Pour les méthodes approchées, on peut naturellement évoquer la méthode des rectangles et les méthodes liées (trapèze, point milieu, Simpson etc...); mais il peut être aussi rafraîchissant de varier un peu et d'expliciter d'autres méthodes.
Ainsi, comment peut on calculer $ \displaystyle \operatorname{erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}} dt $ de manière approchée ? Pour l'exemple de la fonction $ \operatorname{erf} $, sachant que $ \operatorname{erfc} (x)\xrightarrow[x\to+\infty]{} 1 $, on peut également évoquer la fonction d'erreur complémentaire $ \displaystyle \operatorname{erfc} (x)=1-\operatorname{erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{x}^{+\infty}e^{-t^{2}} dt $ : dispose-t-on de formules approchées pour $ \operatorname{erfc} $ ? Comment sont elles justifiées ?
On peut naturellement se restreindre au programme du lycée en invoquant la fonction $ \ln $ au lieu d'invoquer les fonctions $ \operatorname{erf} $ et $ \operatorname{erfc} $ (même si ces fonctions apparaissent implicitement dans le mystérieux coefficient $ 1.96 $ de la loi normale). Il est ainsi tout à fait possible de démontrer le développement en série de $ \ln(1+x) $ à partir des formules associées à la somme d'une suite géométrique, ce qui est tout au fait faisable de façon élémentaire au niveau lycée.
Dans les 2 !
Dans l'intro tu présentes la notion et où elle est vue dans les programmes.
Exemple : Les élèves découvriront ... au primaire, ... sera repris au collège en 6e pour ... , ...
(Attention pour des notions comme la proportionnalité, la liste est longue.)
Ainsi tu fais voir que tu connais les programmes.
Ensuite quand tu présentes un exercice, tu dis à quel(s) niveau(x) il est réalisable.
Après, il ne faut pas trop s'attarder à cause du temps et le jury saura te poser les questions pour clarifier ses doutes.
c'est super intéressant ce que tu racontes à propos de la fonction erreur ?
Mais comment peut-on évoquer cette fonction au niveau Lycée ?
Peut-être c'est mieux de parler de la fonction gaussienne ; calculer les aires sous la courbe avec geogébra (entre deux abscisses) et comparer avec les résultats (dans une autre fenêtre de probabilité) concernant les intervalles de confiances et de fluctuations. La fonction erf apparaît ainsi d'une façon naturelle dans la partie calcul formel.
Tu penses [que] c'est une bonne idée si je présente mon cours ainsi ?
Merci.
Est ce que quelqu'un connaît la méthode employée implicitement dans géogebra ( la fonction integral [f, xmax, xmin]?
Merci
Aussi, je pense que faire le malin en étalant méthode des Rectangles+Trapèzes+Simpson... c'est devoir se préparer à des questions sur les vitesses de convergences comparatives de ces méthodes,
- de coût du calcul,
- est ce que tu gagnes quelque chose à courir derrière Simpson si ta fonction est périodique infiniment dérivable? des exemples ou la réponse est oui, des exemples ou la réponse est non, pas vraiment.
- Comment tu vas présenter graphiquement des vitesses de convergences en n sur une échelle logarithmique à des élèves? savent t'ils ce qu'est une échelle logarithmique en ordonnées.
- comment tu vas la faire via géogebra pour représenter des vitesses de convergences? (je n'y arrive pas vraiment)
- sais tu justifier les vitesses de convergence théoriques?
Je réfléchis sur ca, mais je ne suis pas sûr que c'est une bonne idée d'étaler la confiture...
Merci pour ta réponse.
Je ne sais pas quelle calculatrice. J'ai vu cela dans dans le document joint (page 1, contenu de la leçon, point 4) et j'en ai déduit naïvement que c'est la calculatrice ( en tout cas c'est très bien que tu m'as posé la question, car si j'ai dit cette bêtise devant le jury je ne saurai pas comment m'en sortir).
mais à ton avis, quelle est le plan convenable pour cette leçon?
Une autre source sur ce sujet : cf. Leçon numéro 54.
Comme je le disais dans un message précédent, je ne suis pas sûr qu'il soit vraiment avantageux de vouloir trop en faire. Le temps passe vite, surtout sur un sujet aussi vaste. Une fois passées les considérations générales (niveau de cette leçon, pré-requis, théorèmes fondamentaux...) et la présentation au minimum de la recherche de primitive + IPP, il ne restera pas beaucoup de temps pour présenter plusieurs méthodes approchées, surtout si on veut entrer dans les détails pour au moins une des méthodes. Je ne sais pas s'il est obligatoire de présenter aussi quelques exercices ? L'impression que j'aie eu en aller assister à quelques oraux blancs est qu'il vaut mieux rester dans le cadre (en l'occurrence respecter les 20 minutes de temps imparti).
Il me semble que face au jury "tout ce que le candidat dira pourra être (et sera) retenu contre lui". C'est d'autant plus vrai pour un concours d'enseignant où on s'attend à ce que le candidat n'aille pas raconter des sottises à une classe. Personnellement je compte rester sur des présentations très classiques et laisser le jury faire son job sans chercher à creuser ma propre tombe. Globalement le classement ne sert pas à grand chose (quelques points supplémentaires pour s'assurer de faire son stage dans l'académie de son choix ?) donc je ne vois pas en quoi la prise de risques est récompensée.
Je me suis inspirée du plan de lilicacao car il me semblait qu'elle est bien renseignée (elle est prépa capes).
En tout cas moi je suis cafep-capes (capes privé et il n 'y a pas de classement) .
Tu as assisté où aux oraux blancs?
Merci
Dans la partie 1, quand on rappelle les définitions d'intégrales comme aire, on aborde aussi l’intégrale comme moyenne d'une fonction. Et la formule de la moyenne vient à très peu de frais. Du coup à la fin de cette partie, on peut parler de méthodes géométriques de calcul d'intégrales (utiliser la parité pour calculer l’intégrale sur R+ de la fonction densité de la loi normale, les symétries, les fonctions impaires sur un intervalle centré, la périodicité, notion de valeur moyenne sur une période pour une fonction périodique). Les élèves de BTS du bâtiments, utilisent la formule de la moyenne pour contourner le calcul d'intégral. calculer l’Intégrale de x(ax+b) sur un intervalle I, revient à calculer le "moment" d'un trapèze: c.a.d l’abscisse de son centre d'inertie x aire du trapèze..
Dans la partie 2, je fais la relation avec la primitive. Les terminales ne font pas de changement de variables, mais ils font quelque chose pas très éloigné, pour calculer une primitive ils essayent de d'écrire la fonction sous la forme f(g(x))g'(x).. A partir de là, tu as plein d'exemples à dérouler:
Et ce sont des notions approfondies plus tard. Les terminales ne connaissent pas la décomposition en elements simples, mais on leur fait plein d'exo avec l'intégrales de fractions rationnelles et des questions préliminaires.
les intégrales avec des polynômes en cos et sin => procéder par linéarisations. les intégrales de P(x)exp(ax).
Dans la partie 3, je fais quelques méthodes d'approximations. une sous section sur la méthode du trapèze. vitesse de convergence si tu peux.
une section sur méthode de monte carlo. le programme sur algobox c'est 10 lignes.
Merci beaucoup. C'est très intéressant comme plan. Il me paraît que tu t'y connais très bien dans les programmes du second degré.
Je tiendrai compte de toutes ces informations pour faire ma leçon.
PS: Je t'ai envoyé un MP par rapport aux oraux, mais la réponse de ALcashi est beaucoup plus intéressante.
oui. j'ai chronométré. Mais par exemple dans la partie 2. une fois que j'ai énonce le théorème liant intégrale et primitive. je dis qu'on fait alors appel aux connaissances sur les chapitres calcul de primitives. Puis 1 slide avec les 4 exemples. de préférence copie d’écrans d'exos, en disant l'objectif dans chaque... puis je passe à la partie 3. idem, très épuré. genre monte carlo, du explique ce que tu fais, loi des grands nombres, voici résultats dans algobox pour différentes intégrales et les erreurs respectives.
Je pense que c'est la 1ere qui pose problème, parce qu'il faut mettre en place les propriétés, et exemples d’intégrales. dans cette logique certains transparent sur les propriétés doivent être expédiés. je ne vais passer 30 s pour expédier les propriétés de linéarités et >0.
Après faut que j'aille voir un vrai oral blanc, pour comprendre leur logique. et s'il faut vraiment détailler.
De notre côté, lors de la formation on nous a toujours dit que "on ne se limite pas à un niveau (lycée en particulier)" il y notamment une petite phrase dans le rapport du jury qui dit que le concours ne fait que s'appuyer sur les différents programmes et donc qu'on peut en sortir.
Sur cette leçon je pense que Simpson est superflus et la démonstration de l'erreur (très) fastidieuse.
Celles des rectangles et trapezes sont abordables et permettent d'avoir un point de comparaison quand à la vitesse des méthodes. Je replace les rectangles pour ma part un peu partout (dans au moins 5 leçons) donc je maîtrise cette demo. Pour le reste, mes profs avaient appréciés mon plan. A voir si ce sera le cas du jury.
Monte Carlo avait été écartée car pas considérée comme un "calcul"
Evidemment, l'animation geogebra avec un curseur sur n pour illustrer rectangles et trapèze me paraît indispensable (et surtout top facile et rapide !)
PS : celle pour Monté Carlo pour le coup n'est pas évidente !
Mais tu as raison, il faut utiliser la formule de la fonction de transfert pour démontrer que l'espérance de X=f(U) existe et la lier à l'intégrale. Et la convergence découle de la loi des grands nombres.
Mais la démonstration pour f en escalier, est immédiate.
Pour info, des amis sont déjà passés et sont restés dans cette optique de plan plutôt détaillé avec les définitions/propriétés/ théorèmes énoncés entièrement et les énoncés d'exercices donnés. Du moins pour les leçons "classiques" (celle-ci n'en fait pas partie) et le jury a clairement apprécié. Ils sont aussi, comme je l'expliquais plus tôt totalement sortis du programme lycée et construit leur leçon en insérant du contenu post-bac et là encore ça a été clairement apprécié. Evidemment il est nécessaire de pouvoir "redescendre" et expliquer comment on aborderai telle ou telle notion au lycée et/ou au collège ensuite lors de la phase d'entretien avec le jury.
Pour les leçons "particulières", celles qui commencent par "problèmes" ou "exemple"... ect là le plan est basé sur des exemples ou des problèmes donc c'est différent. Dans le cas de cette leçon, Je poserai une fonction et un intervalle sur lequel je souhaite l'intégrer et déclinerai les différentes méthodes me permettant de la calculer. D'où mon plan :
I - Méthodes exactes
1) Primitives
2) Intégration par partie
II - Calcul approché
1) Méthode des rectangles
2) Méthodes des trapèzes
J'ai volontairement enlevé mes 3) à chaque fois et passerai plus de temps à expliquer chaque méthode présenter les illustrations sous geogebra pour les rectangles et trapèzes.
Dans chaque partie je poserai les propriétés et théorèmes qui me sont utiles.
ça vous parait comment ?
Il est aussi nécessaire de pouvoir "rester" au niveau post-bac, dans ces cas-là. À mon avis le jeu n'en vaut la chandelle que si c'est le cas.
Concernant ton plan je pense qu'il est standard et tout à fait dans l'idée de ce qui est attendu. J'essayerais d'y rajouter une petite touche personnelle. L'exemple d'algo tombé au bac S aujourd'hui peut être une piste. Ou (mais on retombe sur les probas) glisser vers un premier exemple d'intégrales généralisées grâce aux fonctions de densité (ensuite il faut évidemment plutôt bien maîtriser la théorie derrière les intégrales généralisées, mais au pire ça peut se contourner en considérant admis le résultat lié à la limite de la primitive).
Accessoirement si tu poses une seule fonction pour toute la leçon, en proposer directement une primitive va rendre la partie IPP plutôt superflue... mais proposer l'IPP dès le départ n'a pas beaucoup de sens.
Je pensais déjà proposer les algos de calculs de la méthode des rectangles et des trapèzes sous python (notamment en application avec une autre fonction cette fois-ci mais je file de ce pas voir ce qui est tombé au bac du coup.