Exemple VS application

Beaucoup de leçons d'agrégation mentionnent les termes "exemples" et "applications" dans leur intitulé.
A priori, la différence est claire et nette, mais quand on creuse un peu, dans la pratique, on n'est plus aussi convaincu !

Quand on définit un objet, on peut en donner (ou non !) des exemples. Par contre, pour un résultat, une méthode, la question peut se poser de savoir si l'on expose ensuite un exemple, une application, ou les deux à la fois. On pourrait penser qu'une application donne un nouveau résultat, mais est-ce que dans beaucoup de cas, une illustration n'est pas un "exemple" ("d'utilisation") ?
Alors où sont les frontières ?

Exemples :-D :

Cas simple : Un groupe est commutatif lorsque patati patata.
=> Exemple : tel groupe est commutatif. (Éventuellement : "Voici pourquoi...")

Cas moins simple : Si $F$ est un espace de Banach, alors l'espace vectoriel normé (evn) des applications de $E$ dans $F$ est un Banach.
=> L'evn des applications linéaires d'un evn dans un evn de dimension finie est un espace de Banach : c'est un exemple ("d'utilisation") ou une application ?
En particulier, le dual topologique est toujours un Banach : nouvel exemple ou nouvelle application de ce qui précède ??

Question subsidiaire : et une "illustration", c'est quoi dans tout ça ?

Si vous avez un avis sur la question, merci de me donnez des exemples, des applications, voire des illustrations ;-).

EDIT : Modification de l'exemple 2 (erreur d'énoncé).