Raisonnement par l'absurde bac métropole 2017

MatisseR
MatisseR
dans Concours et Examens
Bonjour à tous
Ma question est au sujet de la dernière question du deuxième exercice du bac métropole 2017.
Je tiens à préciser que je ne viens absolument pas poser ma question ici pour faire comme certains font, regarder les réponses après coup pour voir à quel points ils ont réussi (ou plutôt loupé). Mais j'ai pensé à une réponse après coup pour la dernière question de cet exercice et je voulais savoir ce que vous en pensez.

Supposons la négation de cette proposition (il existe une valeurs de a telle que la distance AH est minimale)
C'est-à-dire : Il n'existe aucune valeur de a pour laquelle la distance AH est minimale.
Donc pour toute valeur de a, la distance AH est la même.
Or si on calcule cette distance pour a =0 ou a=1 on trouve des distances différentes.
Donc la supposition de départ est fausse.
Donc sa négation est vrai par le principe du tiers exclu.

Qu'en pensez-vous ?65106

Réponses

  • gai requin
    gai requin
    Donc pour toute valeur de a, la distance AH est la même.

    Peux-tu expliquer ?
  • zenxbear
    zenxbear
    La négation est "il n'existe pas de A tel que la distance AH est égale à la borne inférieure de {AH | A(a) avec a réel}
    La borne inférieure existe vu que cet ensemble est dans R+ et non vide.
  • gai requin
    gai requin
    Mais ça ne veut pas dire que le minimum existe.
  • Sylvain
    Sylvain
    Continuité ?
  • gai requin
    gai requin
    Ou on peut calculer $AH$ pour ne pas se prendre la tête...
  • MatisseR
    MatisseR
    Gai requin : Je pensais que l'affirmation : cette distance ne peut pas être minimale était équivalente à : cette distance est tout le temps la même
    Oui bien-sûr ! Évidemment la réponse attendu passe par le calcul de cette longueur mais vu qu'il fallait prouver une existence, j'ai pensé qu'une démo par l'absurde serrait bienvenue
  • gai requin
    gai requin
    Ce que je voulais te faire dire, c'est qu'une fonction constante admet un minimum.
    C'est évident non ?
    Et donc ton raisonnement ne tient pas.

    Si la fonction $AH$ de la variable $a$ n'admet pas de minimum, alors :
    $$\forall a\in\mathbb R\ \exists a_0\in\mathbb R\quad AH(a_0)<AH(a).$$

    Conclusion : quand le calcul a l'air simple, pourquoi s'en passer ?
  • MatisseR
    MatisseR
    Ah oui d'accord ! Oui mon erreur vient effectivement de là , je pensais que si x0 était l'antécédent du minimum de f alors quelque soit x, f(x)>f(x0) alors que si je comprend bien votre message, et cela paraît cohérent, c'est une inégalité large et non pas stricte, merci quand même !
  • gai requin
    gai requin
    quelque soit x, f(x)>f(x0)

    C'est pas gagné si on remplace $x$ par $x_0$. ;-)
  • MatisseR
    MatisseR
    Différent de x0 mais vous m'avez sûrement compris ;)
  • gai requin
    gai requin
    Attention MatisseR, s'il existe un minimum, celui-ci peut avoir plusieurs antécédents.
    Voilà pourquoi tu trouves la définition suivante dans ton cours de seconde.

    Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $x_0\in I$.
    Alors $f$ présente un minimum en $x_0$ si, pour tout $x\in I$,
    $$f(x)\geq f(x_0).$$

    Tu trouveras aussi dans ton cours de 1ère la notion de minimum local.
  • MatisseR
    MatisseR
    Oui oui, c'est justement ce qu'il me manque pour formuler cette preuve, j'ai cru qu'il y avait inégalité stricte alors qu'avec cette notion de minimum, l'inégalité est large
  • remark
    remark
    .
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