58ème Olympiade internationale
Aujourd'hui 18/07/2017 premier jour à Rio.
Énoncés :
https://www.reddit.com/r/math/comments/6o2slr/problems_from_day_1_of_imo_2017/
Nous sommes tous de cœur avec notre équipe nationale et son chef de délégation Pierre Bornsztein.
Bonne soirée.
Fr. Ch.
Énoncés :
https://www.reddit.com/r/math/comments/6o2slr/problems_from_day_1_of_imo_2017/
Nous sommes tous de cœur avec notre équipe nationale et son chef de délégation Pierre Bornsztein.
Bonne soirée.
Fr. Ch.
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Réponses
ainsi qu'un récit au jour le jour, rédigé par Vincent Jugé (chef-adjoint de délégation). À noter qu'un petit nombre de candidats de Belgique, du Luxembourg et d'Algérie ont également suivi la préparation olympique française, on peut les voir ici : http://www.animath.fr/spip.php?article2975
N.B. On est bien sûr en droit de soutenir l'équipe (de foot ou de math) de son pays, comme on est en droit d'y être indifférent. Merci de ne pas prolonger cette discussion et de s'en tenir au sujet du fil.
[Je viens de cacher 5 messages partant à la dérive par rapport au sujet de la discussion. AD]
http://imo-official.org/results_country.aspx?column=awards&order=desc
Chaque année, 1/12 des participants reçoivent une médaille d'or, 2/12 une médaille d'argent et 3/12 une médaille de bronze. Le classement ci-dessus ne reflète pas exactement la force actuelle des divers pays puisque certains pays n'ont commencé que récemment à participer. Un peu moins de la moitié des pays n'ont jamais obtenu de médaille d'or.
Et après, ces sal..ds de luxembourgeois viennent nous taper dessus parce que l'on dépasse les 3% de déficit.
[Inutile de répéter le message précédent. AD]
@Cidrolin pourtant Maryam Mirzakhani est bien devenu professeur à Stanford, la langue c'est un prétexte pas un obstacle.
Le participant de l'équipe luxembourgeoise est de nationalité française et résident au Luxembourg, il a préféré faire partie de l'équipe du Luxembourg en considérant sans doute que le Luxembourgeois auquel il "prend une place" n'aurait quasiment eu aucune chance de médaille, contrairement au participant français auquel il "laisse la place".
Le participant de l'équipe algérienne a la double nationalité, réside en France et a déjà (ainsi que son frère) participé au sein de l'équipe de France pour certaines compétitions, mais a choisi l'Algérie pour l'OIM 2017 (peut-être avec le même raisonnement que le Luxembourgeois mais je n'en sais rien).
Les participants de l'équipe de Belgique n'ont pas la double nationalité et ne sont pas résidents en France.
Former un petit nombre de participants étrangers coûte moins de 1% des ressources financières de la préparation olympique française. En compensation, la France a été invitée il y a 2 ans à participer aux BxMO (olympiades du Bénélux), et le sera peut-être encore l'année prochaine.
Merci de me répondre au lieu de me réserver pour seule réponse la censure comme à l'accoutumée. Je pourrais répondre à mon tour, mais comme je crains encore de passer une demi-heure à rédiger un texte qui sera détruit en trois secondes, je vais laisser parler un des grands représentants du génie français. Ainsi, si ce message est effacé, ce ne sera rien.
.........................................................................................................
LA CHAUVE-SOURIS ET LES DEUX BELETTES
Une Chauve-Souris donna tête baissée
Dans un nid de Belette ; et sitôt qu'elle y fut,
L'autre envers les Souris de longtemps courroucée,
Pour la dévorer accourut.
Quoi ! vous osez, dit-elle, à mes yeux vous produire,
Après que votre race a tâché de me nuire !
N'êtes-vous pas Souris ? Parlez sans fiction.
Oui vous l'êtes, ou bien je ne suis pas Belette.
Pardonnez-moi, dit la Pauvrette,
Ce n'est pas ma profession.
Moi Souris ! Des méchants vous ont dit ces nouvelles :
Grâce à l'Auteur de l'univers,
Je suis Oiseau : voyez mes ailes ;
Vive la gent qui fend les airs !
Sa raison plut, et sembla bonne.
Elle fait si bien qu'on lui donne
Liberté de se retirer.
Deux jours après, notre étourdie
Aveuglément se va fourrer
Chez une autre Belette aux Oiseaux ennemie.
La voilà derechef en danger de sa vie.
La Dame du logis avec son long museau
S'en allait la croquer en qualité d'Oiseau,
Quand elle protesta qu'on lui faisait outrage :
Moi pour telle passer ! vous n'y regardez pas :
Qui fait l'oiseau ? C'est le plumage.
Je suis Souris : vivent les Rats ;
Jupiter confonde les Chats.
Par cette adroite repartie
Elle sauva deux fois sa vie.
Sur le fond : n'ai-je pas répondu longuement à ton message ? Ou alors attendais-tu une réponse plus précise à la question : « Pourquoi pas entraîner le monde entier ? » Je pensais que mon message précédent y répondait implicitement : tant que les coûts sont très faibles (moins de 1% des recettes) et qu'on en tire des avantages (participation BxMO par exemple, mais on peut imaginer d'autres types de liens entre les pays), je ne vois pas de raison de ne pas entraîner les candidats de tous les pays qui réussissent les tests de sélection français. Donc oui, on est (tant que ça reste gérable) ouverts au monde entier mais les candidatures sont limitées du fait que les tests sont en français, et que les stages ont lieu en France et en français.
À propos d'argent du contribuable, je signale également que les RMM (Romanian Master of Mathematics) sont financés par les Roumains qui ne demandent pas de contrepartie aux pays participants ; la France y a été invitée les trois dernières fois et le sera encore en 2018.
Quant à ton histoire de chauve-souris, c'est le règlement officiel de l'OIM qui veut ça :
donc effectivement certains peuvent jouer sur deux tableaux. Ça ne correspond peut-être pas à ton point de vue qui consiste à vouloir cloisonner les pays, que chacun choisisse son camp et y reste, mais je ne suis pas d'accord avec ton point de vue si c'est bien le tien. Quand on a par exemple un père d'un pays A, une mère d'un pays B et que l'on vit depuis longtemps dans un pays C, on peut très bien être ami avec les trois pays A, B et C.
On lit aussi
Dans cette direction, un peu d'ouverture internationale ne fait pas de mal. Dans le même ordre d'idées, le Royaume-Uni et la Hongrie organisent un stage commun en hiver.
On ne s'est pas compris. Je voulais dire « merci de m'avoir répondu », déjà par ton premier message. Cela me changeait agréablement de la suppression pure et simple de mes messages, que nous n'appellerons pas « censure » puisqu'il ne faut pas. Re-merci donc de ton second message, qui révèle un réel sens du dialogue.
Je pourrais répondre en détail, mais comme j'ai dit j'ai trop peur de perdre mon temps à rédiger un texte qui sera supprimé sans autre forme de procès. Disons pour faire court que pour moi on a une nationalité et non plusieurs, et qu'on aime naturellement en premier son pays, sans que ceci conduise à détester les autres. Toutes les mères sont égales, mais chacun préfère la sienne. Dans une compétition internationale, on souhaite naturellement la victoire de son pays, mais bien sûr on admire la performance de ceux qui font mieux. C'est ainsi dans le sport comme dans toute compétition ce me semble.
Qu'un message aussi anodin que mon message initial ait pu déclencher pareil hourvari, en dit long sur l'état de pathologie idéologique où se trouve une partie de notre intelligentsia, mais ce n'est pas vraiment une découverte, et *** modéré ***
Pourrais-je récupérer en message privé une copie de mes messages supprimés de ce fil ? Merci.
Bonne soirée.
Fr. Ch.
[Cela dit je suis quand même obligé de couper un passage non essentiel et sans rapport avec les maths pour éviter que le fil parte dans tous les sens. Je cache également la réponse d'un autre intervenant plus bas qui s'y réfère. --JLT]
*** modéré, merci de revenir au sujet « olympiades de mathématiques », et éventuellement de parler des problèmes posés. ***
Voici les énoncés du deuxième jour :
https://www.reddit.com/r/math/comments/6o9qwl/problems_from_day_2_of_imo_2017/
Bonne journée, hélas grisounette en ÎDF.
Bien cordialement,
Fr. Ch.
J'attends la version française des énoncés.
Bonne journée.
Fr. Ch.
http://www.imo-official.org/problems.aspx
Maintenant nous attendons avec impatience les résultats en formant des vœux pour notre équipe de France.
Bonne après-midi.
Fr. Ch.
Le problème 1 est, comme les années précédentes, très « facile », sans doute au moins deux tiers des participants parviendront à une solution complète.
Si $a_0$ est congru à 2 modulo $3$, alors par récurrence immédiate, $a_n=a_0+3n$ pour tout $n$ (utiliser qu'un entier congru à 2 modulo $3$ n'est pas un carré), donc $a_0$ ne convient pas.
Si $a_0$ est congru à 0 modulo $3$, alors par récurrence immédiate, $a_n$ est divisible par $3$ pour tout $n$. Soit $A$ la valeur minimale de la suite. Soit $m$ tel que $a_m=A$. Si $A=3$ alors $a_{m+3k}=3$ pour tout $k$ par une récurrence immédiate. On ne peut pas avoir $A=6$ sinon $a_{m+2}=3<A$. On ne peut pas avoir $A=9$ sinon $a_{m+1}=3<A$.
Si $A>9$ alors il existe un entier $b>3$, multiple de $3$, tel que $(b-3)^2<A\leqslant b^2$. Comme $b$ est un multiple de $3$, on a $b\geqslant 6$, donc $A>(b-3)^2\geqslant 3(b-3)> b$. Or, il existe $k$ tel que $a_k=b^2$, et l'inégalité $a_{k+1}=b<A$ est contradictoire.
On en déduit que $a_0$ convient s'il est divisible par $3$.
Supposons par l'absurde qu'il existe $a_0\equiv 1\pmod{3}$ qui convient. Prenons $a_0$ minimal. D'après le premier cas, on a $a_n\equiv 1\pmod{3}$ pour tout $n$, et donc $a_0$ est la valeur minimale de la suite.
On ne peut pas avoir $a_0=4$, sinon $a_1=2<a_0$.
Soit $b$ le plus petit entier non divisible par $3$ tel que $a_0\leqslant b^2$. On a alors $(b-2)^2<a_0\leqslant b^2$. Or, il existe $k$ tel que $a_k=b^2$, donc $b=a_{k+1}\geqslant a_0>(b-2)^2$, d'où $b\leqslant 3$. Comme $b$ n'est pas divisible par $3$, on a $b\leqslant 2$, donc $a_0\leqslant 4$.
Conclusion : les seuls entiers qui conviennent sont les multiples de $3$.
Notons $E(x,y)$ l'équation.
(1) Notons $a=f(0)$. D'après $E(x,0)$, si $a=0$ alors $f(0)+f(x)=f(0)$ pour tout $x$, donc $f=0$. Contradiction. On a donc $a\ne 0$, et quitte à remplacer $f$ par $-f$, on peut supposer $a>0$.
(2) Supposons que $b\in\R$ vérifie $f(b)=0$. Alors $E(x,b)$ donne $a+f(x+b)=f(bx)$. Comme $a\ne 0$, on a $f(bx)\ne f(x+b)$ pour tout $x$, donc $bx\ne x+b$ pour tout $x$, donc $b=1$.
(3) $E(0,0)$ donne $f(a^2)=0$, donc d'après (2) on a $a^2=1$, donc $a=1$ puisque $a>0$. On a donc $f(1)=0$.
(4) $E(x,0)$ donne $f(f(x))+f(x)=1$.
(5) $E(x,1)$ donne, d'après (3) : $1+f(x+1)=f(x)$ pour tout $x$.
(6) Montrons que $\forall x,\; f(x)=1\implies x=0$. En effet, $f(x)=1$ implique $f(x+1)=0$ d'après (5), donc $x+1=1$ d'après (2), donc $x=0$.
(7) Montrons que $f$ est injective. Soient $u$ et $v$ des réels tels que $f(u)=f(v)$. On veut montrer que $u=v$. D'après (5), on a $f(u-n)=f(v-n)$ pour tout entier $n$, donc on peut supposer que $u<0$. Soient $x$ et $y$ les solutions de l'équation $X^2-(v+1)X+u=0$ d'inconnue $X$, on a $u=xy$ et $v=x+y-1$ donc d'après $E(x,y)$ on a $f(f(x)f(y))=f(xy)-f(x+y)=f(u)-f(v+1)=1$ d'après (5), donc $f(x)f(y)=0$ d'après (6), ce qui implique $x=1$ ou $y=1$ d'après (2), et donc $u=v$.
(8) Soit $g(x)=1-x$. D'après (4) on a $f\circ f=g\circ f$, donc $f=(g\circ g)\circ f=(g\circ f)\circ f=(f\circ f)\circ f = f\circ (f\circ f)$. Comme $f$ est injective, on en déduit que $f\circ f=\mathrm{Id}$, donc $f=g\circ (g\circ f)=g\circ \mathrm{Id}=g$.
Avec les notations de JLT (pour $E(x,y)$) voici comment on peut faire (désolé je n'ai pas le temps de mettre les détails).
(1) Si $f(0)=0$ alors $f=0$. Et sinon on trouve que $f(0)= \pm 1$, supposons $f(0)=-1$ et l'on va montrer que $f(x)=x-1$.
(2) On voit que $f(1)=0$ et $f(x+1)=f(x)+1$ . De plus on a $f(x)=0$ ssi $x=1$ et $f(x)=n$ ssi $x=n+1$. C'est cette propriété que l'on va utiliser.
(3) Le but est de montrer que $f(f(x)-x+1)=-1$, ie $f(f(x)-x+2)=0$. Admettons que l'on ait $f(x+y)=f(x)+f(y)+1$ (*) alors il suffit de montrer $f(f(x))+f(-x)+3=0$ mais comme l'a dit JLT $f(f(x))=f(x)-1$ (attention : on a pas pris le même $f(0)$ et JLT montre donc que $f(-f(x))=-f(x)-1$) donc il suffit de montrer $f(x)+f(-x)+2=0$ i.e par (*) il suffit de montrer $f(0)=-1$ ce qui est le cas.
(4) Pour la suite ça peut paraître pas très naturel mais on va montrer que $f(2-x)+f(x)=0.$. En fait si j'ai étudié cette quantité c'est pour une raison très simple : on souhaite profiter du fait que $f(1)=0$ donc on souhaite appliquer $E(x,y)$ à $(x,1-x)$ et donc c'est pour ça que j'ai cherché à évaluer $f(1-x)$ mais par $1$-additivité ça revient au même que $f(2-x)$. Admettons le pour le moment.
(5) En écrivant $E(x,y)$ on a $f(xy)-f(x+y)=f(f(x)f(y))=f(f(2-x)f(2-y))=f(4-x-y+xy)-f(4-x-y)=f(-2x-2y-xy)-f(-x-y)$ et donc étant donnés $X,Y$ on peut choisir des $x,y$ tels que $-2x-2y-xy=X$, $2x+2y=Y$. Alors on a $f(X+Y)=f(Y/2)+f(X)-F(-Y/2)$. En somme il reste à montrer que $f(y/2)-f(-y/2)=f(y)+1$ qui est impliqué par le fait que $f(2x)=2f(x)+1$ et $f(-2x)=-2f(x)-3$ (dont la démonstration est similaire)
Il reste donc à prouver que $f(2x)=2f(x)+1$ c'est l'objet du (6) et à prouver que $f(2-x)+f(x)=0$ c'est l'objet du (7).
(6) $f(2x)=f(f(x))+f(2+x)=f(f(x))+f(x)+2$ il faut donc voir pourquoi $f(f(x))=f(x)-1$ et pour cela $f(x)=f(x+0)=-1-f(-f(x))$ donc $f(-f(x))=-f(x)-1$ donc $f(-f(-f(x)))=f(f(x))+1$ et d'autre part on a $f(-f(-f(x)))=-f(-f(x))-1=f(x)$ donc $f(f(x))=f(x)-1$.
NB. Si on arrive à montrer que $f$ est surjective on aurait pu conclure avec ça, mais je n'ai jamais réussi, comme l'injectivité !
(7) Maintenant on écrit : $f(x)=f(-x \times (-1)) = f(-x)-1 + f(-2f(-x)) = 2f(-f(-x))+f(-x) = 2(-f(-x)-1)+f(-x)=-f(2-x)$.
Bien sûr j'y ai passé la journée d'hier et la matinée d'aujourd'hui, inutile de préciser que jamais je n'aurais sorti ça en péreuve ahah.
@JLT : tu as réussi le troisième problème ? Perso je ne sais pas du tout faire !
EDIT. Je me demande si ce problème ne pourrait pas se reformuler sous forme de problème de contrôle optimal ? Y a-t-il des spécialistes dans la salle ?
Après je ne me sors pas des calculs. En faisant une approximation, j'arrive à la relation de récurrence
$u_{n+1}^2 = u_n^2 + \dfrac{1}{(u_n + 1)^2}$, là aussi je coince.
EDIT. La remarque ci-dessus est fausse, on a simplement $u_n \approx (2n)^{1/4} $
Sinon, ton approximation Mickael ne me parait pas bonne, les termes que je calcule de $(u_n)$ ne sont pas proches de $(2n)^\frac{1}{4}$
En fait avec la majoration $u_0 \leqslant u_n$ sauf erreurs de calculs (très probable ...) j'obtiens $u_n \geqslant \left( u_0^4 + \frac{2n}{(1+1/u_0)}\right)^{1/4}$
Parmi les compétiteurs inscrits à la préparation olympique française, les Belges obtiennent une médaille d'argent, une médaille de bronze et une mention honorable ; un représentant de l'équipe du Luxembourg et un représentant de l'équipe d'Algérie obtiennent chacun une médaille de bronze.
Au classement des nations, on trouve
1. Corée du Sud
2. Chine
3. Vietnam (qui égale son meilleur classement jamais obtenu)
4. États-Unis
...
11. Russie (son plus mauvais classement jamais obtenu)
...
39. France (malheureusement en retrait par rapport aux années précédentes).
...
52. Inde (son plus mauvais classement jamais obtenu)
On peut toutefois se réjouir que le meilleur représentant français, étant en classe de première, pourra encore se présenter à la compétition l'année prochaine.
Sur les 615 candidats, le meilleur score est de 35 points (sur un maximum possible de 42). Sur le problème 1, 446 candidats ont obtenu un score parfait, tandis que seuls 2 candidats ont obtenu un score parfait sur le problème 3.
On peut considérer que l'OIM 2017 était la plus difficile de l'histoire puisque la barre pour obtenir la médaille d'or était de 25 points, battant ainsi le record de 2015 (26 points), et la barre pour obtenir l'argent était de 19 points, égalant le record de 1999, 2003, 2006 et 2015.
[Édit : faute de français corrigée.]
52. Inde (son plus mauvais classement jamais obtenu)
Est-ce à dire que l'Inde a embauché nos anciens ministres de l'EN ?
Cordialement, j__j
Quelques constatations en vrac :
-- écrasante domination de l'Extrême-Orient (notez que 4/5 des 6 Américains et 3 des 6 Anglais ont des noms à consonance asiatique)
-- très bonne performance de l'Iran
-- en Europe, les pays de l'Est sont encore les meilleurs
-- la France, bof !
A+
Je me souviens effectivement d'une ministre. J'ai toujours cru qu'elle était d'Inde.
@ Pete.
On croirait voir du golf féminin.
e.v.
A propos du coup du lapin (problème 3)
JLT a montré que la stratégie "avancer d'1 vers le P" ne marche pas toujours.
Bref, n'utiliser que l'information "$L_n$ est dans le disque $(P_n,1)$" ne mène pas sûrement au succès.
Si on utilise aussi $P_{n-1}$, on a une information plus fine: $L_n$ est dans l'intersection de $(P_n,1)$ et de $(P_{n-1},2)$.
Je ne sais si ça suffit! Si non on peut rajouter que $L_n$ est dans l'intersection de tous les $(P_{n-i}, i+1)$
Cordialement
Paul
Edit
(Mon souhait est de contribuer à promouvoir par ma participation des énoncés un peu moins calculatoires (je sais bien qu'il faut du calcul en maths quand-même, ce n'est pas du fanatisme))
@cc : je ne sais pas si tu parles des problèmes proposés à l'OIM ou à la préparation olympique française. S'il s'agit de l'OIM, chaque pays peut faire des propositions, et un comité de sélection des problèmes fait un choix parmi les (centaines de) problèmes proposés. S'il s'agit de la préparation olympique française, un petit groupe de bénévoles prépare les sujets. Dans les deux cas, tu peux toujours m'envoyer quelque chose et je transmets si la proposition me semble appropriée, mais ce n'est pas une seule personne qui décide. En tout cas, les problèmes doivent appartenir au sens large à l'un des quatre domaines olympiques (algèbre, combinatoire, théorie des nombres, géométrie) mais ne doivent pas nécessiter de connaissances d'analyse, ni de probabilités, ni sur les nombres complexes.
Concernant la boîte mail de cc qui ne marche qu'à moitié : merci d'éviter d'en discuter sur ce fil. Shah d'Ock avait un autre type de bug sur son compte qui semble-t-il s'est résolu de manière inexpliquée en modifiant l'adresse mail associée à son compte. Donc essaye d'en faire de même pour voir si par miracle ça résout le problème.
Question annexe:
1) faut-il envoyer les solutions avec? (Honnêtement, s'il le faut ça m'intéresse beaucoup moins ;-) )
2) Et même faut-il que ce soit des problèmes dont on garantisse (même si on n'envoie pas la solution) que les réponses soient connues (au moins par l'auteur). Idem: sous cette contrainte, je serai beaucoup moins prolifique :-D (par exemple, il est assez minoritaire dans le fil "il est facile de" que je poste des questions dont j'ai une idée de la réponse)
** est-ce le bon mot?
*** par définition je rappelle OU SIGNALE au lecteur et ça s'applique ENCORE PLUS aux olympiades qu'à l'école que ce qui est dur c'est de trouver. Mais JAMAIS de "corriger" (ie évaluer ne propositions n de solutions )
Je rappelle que les correcteurs sont généralement bénévoles, et ne veulent pas nécessairement passer plusieurs heures à essayer de résoudre des problèmes dont le concepteur n'a aucune idée de la solution.
https://www.imo-official.org/
Je conseille aussi la consultation de :
http://www.cs.elte.hu/~nagyzoli/compendium.pdf
Ceci pour bien se rendre compte de la tonalité de ces problèmes, et du corpus de connaissances qui est requis pour les aborder, même s'il n'y a pas de programme officiel, que je sache.
J'espère que les officiels confirmeront la pertinence de ces conseils.
J'ajoute que je ne comprends pas comment on peut penser à proposer des problèmes dans une compétition sans en donner une solution. Ou alors, on pourrait poser par exemple la conjecture de Goldbach, qui a un énoncé parfaitement élémentaire...
Bonne soirée.
Fr. Ch.
J'ai posté avec présent en tête qu'aux "championnats du monde de maths de base" on n'avait pas besoin de décrypter des non solutions pour accorder des points sociaux mais il est vrai que vous souhaitez mettre autre chose que 0 ou 1. Pourquoi pas après tout mais ça rend quelque peu subjectif l'évaluation en ce sens qu'une "bonne idée partielle" non répertoriée dans la stratégie envoyée par l'auteur pourra être sous évaluée. Mais bon a-t-on le choix...
@chairien merci pour tes liens.
Une petite remarque amusante sur le problème 5. Cette « Clara » qui souhaite exclure des joueurs n'est présente que dans la version française, et a divers remplaçants dans les versions étrangères, Pelé pour la version allemande, etc. Que les forumeurs linguistes nous révèlent les variations de ce personnage.
Bonne soirée.
Fr. Ch.