Leçon CAPES maths ?

Come Prima
Come Prima
dans Concours et Examens
Bonjour,

Je prépare quelques leçons pour l'oral 1 du capes 2018. En réalité, je n'en ai fait que deux pour le moment.

Arithmétique des nombres entiers
Limites d'une fonction à une variable (dans IR)

Je ne sais pas trop comment m'y prendre, donc je demande conseil !

Pour la leçon arithmétique j'ai fait ça, je préviens je met ça vite fait juste pour que vous voyez globalement la gueule du truc, je developpe nullement.

Pré requis: Connâitre les ensemble N, Z
I/ Divisions Euclidienne et PGCD
1.1/ Definition : Soit a et b blablabla b divise a si il existe blabla
Th 1: a = bq + r
Preuve: Existence + Unicité

1.2/ PGDC
Def + exemple de pgcd par ex pgcd(a,a+1) = 1, pgcd(a,0) = a
(Avec les preuves en tête)

Lemme: Algorithme d'Euclide pgcd(a,b) = pgcd(b,r)

(La preuve en tête: Je ne la maitrise pas à 100% mais j'ai bien compris l'idée intuitive, je dois travailler la rigueur + que la compréhension.)

1.3/ Nombre premier entre eux

2/ Théorème de Bézout

Au+bv = pgcd(a,b)
Corrolaire si pgcd = 1 alors au+bv = 1 = a,b premier entre eux.

Preuve du théorème par recurréence via l'algo d'euclide

2.1 Lemme de Gauss

2.2 Les equations ax+by = c

2.3 PPCM

III/ Nombre premiers

3.1 Lemme: tout entier >= 2 admet un diviseur premier.

3.2 une infinité de nombres premiers

Petite remarque la racine carrée d'un nombre premier est irrationel : démo facile

3.3 Décomposition en produit de facteurs premiers

IIII/ Congruences

Def + propositions

4.2/ Equation de congruence

Pour aller plus loin...

Petit th de fermat et son corrolaire

Lemme: p divise (k,p) (à lire k parmi p).


Voilà, c'est hyper classique et d'un coté, c'est une leçon qu'il faut faire. Vous en pensez quoi ? Des conseils ? Trop long ? Trop court ?

D'ailleurs combien de temps dure le developpement après les 20 minutes de présentation du plan ? Dois-je donner des exemples dans l'introduction du plan, toutes les def et theorème ? Parce qu'en 20" c'est court.


Pour la deuxième leçon je suis perplexe, au niveau 1ere S, une leçon limite ça peut aller relativement vite, je n'ai que ça pour le moment:

Pré requis: Notions de fonction

Def d'une fonction
Graph d'une fonction
Fonctions majorée/min/bornée

I/ Limites
1.1 Limites en un point

Je peux donner la definition classique ? Avec les epsilons ? Parce que je vois pas comment l'introduire sans ça.
Donc j'ai mis la limite avec les epsilon + des exemples
Lim x+2 quand x tend vers 2 = 4

1.2 Limite en l'infini en un point

Idem, j'introduis A > 0, puis je montre avec un petit graph pour montrer visuellement.

1.3 Limite en l'infini

1.4 limite a gauche droite

Je met la def + un exemple avec la fonction 1/x

II/ Propriétés

2.1 Si la limite existe, elle est unique + preuve

2.2 Je prends deux fonctions f et g qui tendent vers L et L' en a

Lim f+g, f*g, gof...

2.3 Les formes indeterminées

J'ai fais un tableau récapitulatif des choses que l'ont peut avoir
Par exemple L*L', ou L*+oo (L>0, ou L < 0), et les fameuses formes indeterminées.


Dois-je aller plus loin et parler de continuité ?

Je compte ajouter: Les méthodes de comparaison et les asymptotes.

Vous en pensez quoi ? La encore, tres classique mais je me vois mal faire de l'original, bref un peu perdu vu que ce sont mes premières leçons...

Merci à vous tous

Réponses

  • ev
    ev
    Bonjour Côme.

    Il n'y a pas un seul niveau pour une leçon.

    Tu peux commencer ta leçon sur les entiers par les additions avec retenue et finir avec RSA.
    Pour les limites tu peux parler des développements limités pour obtenir des limites, comment faire pour ramener toutes les limites en zéro afin de les observer droit dans les yeux (Geogebra), du logiciel XCas - spécial coucou à Bernard Parisse - etc.

    Plus les niveaux sont différents, plus tu peux faire montre de ta connaissance transversale du sujet au jury.

    La présentation est là pour donner le cadre, pour donner à manger au jury.
    Tu n'es pas obligé de donner toutes les définitions et théorèmes.
    En revanche, chaque fois que tu le fais, cela doit être précis.

    Tu as la possibilité de projeter tout ou partie de ton plan.
    Dans ce cas-là il ne faut pas hésiter à le commenter et le compléter au besoin.

    Donc trop long, trop court, il n'y a que toi et ton chronomètre qui peuvent savoir.

    Bon courage pour la suite.

    e.v.
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


  • Come Prima
    Come Prima
    Bonjour EV,

    Merci pour ta réponse ! L'idée d'une leçon transversale est interessante... Mais, cela fait pas un peu "simpliste" pour l'arithmétique par exemple ?
    Dans le cas où j'ajoute des elements de collège, je dois virer une partie du programme de TS sur lequel je me suis placé, non ?
    Parce qu'en 20", je peux pas tout introduire...

    Dans ce cas, je peux retirer la congruence, et ajouter des trucs niveau collège et faire un peu plus transversal meme si non exhaustif ?

    Les DL c'est au programme de sup non ? C'est autorisé de faire ça à l'oral ? Je veux dire, c'est hors programme secondaire, ça craint pas trop de partir sur du sup/L1 ?

    Encore merci
  • ev
    ev
    Les DL sont au programme des BTS. Il ne faut pas les oublier.

    Retirer les congruences c'est donner moins à manger au jury, lui enlever le pain de la bouche. Ce serait dommage.
    Tu dois offrir un panorama large au jury sans que ce soit fourre-tout : tu dois justifier ce que tu mets, chiader des transitions, faire vivre le sujet.

    Ce n'est pas un cours !

    e.v.
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


  • Come Prima
    Come Prima
    Ah oui, j'oubliais BTS/dut.

    Merci EV.

    Le tout sera de faire ça sur 20min de présentation... Sinon, est-ce que je peux amener mon tout en un mpsi et tout en un L1 à l'oral ? C'est autorisé ?
  • ev
    ev
    Oui c'est autorisé ainsi que tout livre du commerce à l'exception de quelques ouvrages clairement orientés oral du capes.

    Je te conseille de consulter le site du capes et en particulier les rapports du jury.

    e.v.
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


  • Come Prima
    Come Prima
    Ok merci ev.

    J'ai une autre question, je vois dans les leçons par exemple : TVI. Applications.

    Je sais pas trop comment m'y prendre. J'ai fait un I/continuité
    Puis II/TVI.
    Mais la... Ça me paraît vraiment short. Je sais pas du tout quoi mettre. Par application ils entendent quoi ? Des exos ? Des exemples ? Des problèmes ?
  • ev
    ev
    Bonjour Côme.

    Les premières idées qui me viennent :
    Tu peux penser à la dichotomie.
    Un marcheur parcourt 6 km en 1h. Montrer qu'il existe un intervalle d'une demi-heure pendant lequel il parcourt exactement 3km.

    Aller vers le théorème de la bijection.
    Théorème du point fixe.

    etc.

    e.v.
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


  • Fin de partie
    Fin de partie
    Dans le paragraphe sur l'unicité de la décomposition en produit de puissances de nombres premiers; Calcul du pgcd/ppcm de deux nombres connaissant leur décomposition en produit de puissances de nombres premiers,
    Lien entre ppcm et pgcd? ($\text{max}(a,b)+\text{min}(a,b)=a+b$ )
  • Come Prima
    Come Prima
    Théorème bijection et point fixe. Je prend note merci ev.
    J'ai un peu de mal avec ces leçons. J'ai peur de m'éloigner du sujet... J'ai parlé de l'image d'un segment aussi.
    Bon je vais analyser cet aprèm et voir ce que je peux faire. L'exemple du marcheur est bien. Merci.

    @FinDePartie,

    Merci ! Cette leçon est vraiment riche en contenu. Pour le coup, y'a énormément de chose à dire là. Pas facile de s'y retrouver. Petit à petit j'ajouterai et enlèverai des éléments merci pour ta participation et je prend note de ça.
  • ev
    ev
    @ Côme.

    La propriété des valeurs intermédiaires caractérise-t-elle les fonctions continues ?

    e.v.
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


  • Math Coss
    Math Coss
    Non, ni les fonctions qui sont des dérivées.
  • Come Prima
    Come Prima
    La réciproque donc ? Si le TVI est applicable sur I alors elle est continue sur I ?

    Je me souviens d'un exemple :
    f : [-1,1] -> IR
    f(x)=sin(1/x), pour x différent de zéro.
    0 sinon

    La limite en 0 de sin(1/x) n'existe pas. La fonction n'est pas continue en 0. Pourtant le TVI s'applique sur [-1,1] je ne suis plus trop sûr mais je crois que c'est ça. L'application du TVI sur I n'implique pas la continuité sur I
  • ev
    ev
    Une question de jury de capes:

    Est-ce que la dichotomie est vraiment un algorithme ? Autrement dit, est-on sûr qu'il termine ?

    e.v.
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


  • Fin de partie
    Fin de partie
    Ev:

    Il faudrait savoir précisément ce que tu entends par dichotomie.

    S'il s'agit d'encadrer la racine $\alpha$, d'une équation $f(x)=0$ sur un intervalle $[a;b]$ avec $f$ continue, $f(a)f(b)<0$, sur $[a;b]$ l'algorithme peut ne pas s'arrêter. L'algorithme peut continuer indéfiniment donnant des couples $(a_n,b_n)$, $n$ entier naturel, de nombres réels tels que $a_n<\alpha<b_n$ avec $a_n-b_n$ de plus en plus petit.
  • Come Prima
    Come Prima
    Ah bah justement j'aurais dit que c'est un algorithme qui nous permet de trouver une solution à l'équation f(x)=d
    ... Un peu perplexe sur cette question.

    Merci ev et fin de partie.
  • Fin de partie
    Fin de partie
    Si tu ne te donnes pas un $\epsilon$ tel que $b_n-a_n<\epsilon$, $n$ un entier, l'algorithme pourrait ne pas s'arrêter.
    Et il faut prendre en compte que $\alpha$ pourrait être égale à $r(b-a)$ avec $r$ un rationnel.
  • Come Prima
    Come Prima
    Ok. Merci.
    J'espère être prêt le jour J...(:P)
  • ev
    ev
    La question est un peu plus tordue :
    Une fois le \( \varepsilon>0 \) donné, que se passe-t-il lorsque, suite à une erreur de calcul (d'arrondi), une des valeurs de la fonction qui est positive est calculée négative ?

    e.v.
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


  • Come Prima
    Come Prima
    Que se passe-t-il...

    Je dirais que le candidat stress.

    Je vais réfléchir à ça. Je vois pas la. Merci ev pour ta participation et ces petites questions.
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